高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课时练习

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1．若p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既充分又必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选D 依题意，当四边形ABCD是菱形时，不一定是矩形．当四边形ABCD是矩形时，不一定是菱形．∴p⇒/ q，q⇒/ p，∴p是q的既不充分又不必要条件．
2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A．若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若eq \r(x)＝eq \r(y)，则x＝y
D．若x＜y，则x2＜y2
解析：选AC 由于A、C显然为真命题，故A、C中p是q的充分条件，B不是，x2＝1⇒x＝1或x＝－1.D不是，如x＝－3，y＝－2，则x2＝9＞y2＝4.
3．对实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为( )
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：选B ∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ac＞bc，,c＞0))⇒a＞b，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ac＞bc，,c＜0))⇒a＜b，∴ac＞bc⇒/ a＞b，而由a＞b⇒/ ac＞bc，∴“ac＞bc”是“a＞b”的既不充分也不必要条件，故A、C错误．又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ac＝bc，,c≠0))⇒a＝b，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ac＝bc，,c＝0))⇒/ a＝b，∴由ac＝bc⇒/ a＝b，由a＝b⇒ac＝bc，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．故选B.
4．唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年，今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，其中设p：“是仙”，q：“到蓬莱”，则( )
A．p是q的充分条件
B．p是q的必要条件
C．既充分又必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题得，“是仙”一定是“到蓬莱”，“到蓬莱”不一定“是仙”．所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件．故选A.
5．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．
综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
6．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
答案：必要 充分
7．下列说法不正确的是________．(填序号)
①“x＞5”是“x＞4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2＜x＜2”是“x＜2”的充分条件．
解析：②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．
答案：②
8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但eq \a\vs4\al(q⇒/ p)，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：{a|a<1}
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？
(1)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除；
(2)p：x＞1，q：x2＞1；
(3)p：b2＝ac，q：eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)；
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
解：(1)实数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，q⇒/ p，所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(2)因为x2＞1⇒x＞1或x＜－1，所以p⇒q，且q⇒/ p.
所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．
(3)b2＝ac⇒/ eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)，如b＝0，c＝0时，b2＝ac，而eq \f(a,b)，eq \f(b,c)无意义．但eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)⇒b2＝ac，
所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件．
(4)画出Venn图(如图)．
结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．
10．已知a，b为实数，条件甲：“a＋b＝0”，条件乙：“eq \f(a,b)＝－1”．根据充分条件与必要条件的概念，判断甲是乙的什么条件．
解：当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但eq \f(a,b)＝－1不成立，即甲不是乙的充分条件；
若eq \f(a,b)＝－1，则a＝－b，即a＋b＝0，则甲是乙的必要条件．
综上，甲不是乙的充分条件，但甲是乙的必要条件．
[B级 综合运用]
11．(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件是( )
A．n＝4 B．n＝－5
C．n＝－1 D．n＝－12
解析：选BCD 设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根，则满足当x＝0时，y＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根的充分不必要条件可以为B、C、D.故选B、C、D.
12．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既充分又必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立；
若V1，V2相等，则S1，S2不一定相等，即充分性不成立．
所以“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选B.
13．已知p：－1＜x＜3，若－a＜x－1＜a(a＞0)是p的一个必要条件，则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是________．
解析：∵－a＜x－1＜a⇔1－a＜x＜1＋a，
∴{x|－1＜x＜3}⊆{x|1－a＜x＜1＋a}，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－a≤－1，,1＋a≥3，))解得a≥2.
又a＞b恒成立，因此b＜2，故实数b的取值范围是{b|b＜2}．
答案：{b|b＜2}
14．设α：0≤x≤1，β：x＜2m－1或x＞－2m＋1，m∈R，若α是β的充分条件，求实数m的取值范围．
解：记A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＜2m－1或x＞－2m＋1}．
因为α是β的充分条件，所以A⊆B.
①当2m－1＞－2m＋1，即m＞eq \f(1,2)时，B＝R，满足A⊆B；②当m≤eq \f(1,2)，即B≠R时，
1＜2m－1或0＞－2m＋1，m无解．
综上可得，实数m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(m＞\f(1,2))))).
[C级 拓展探究]
15．已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的值．
解：p：x∈{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，q：x∈{x|mx＋1＝0}，
因为p是q的必要条件但不是充分条件，
所以{x|mx＋1＝0}{2，－3}．
当{x|mx＋1＝0}＝∅，即m＝0时，符合题意；
当{x|mx＋1＝0}≠∅时，由{x|mx＋1＝0}{2，－3}，
得－eq \f(1,m)＝2或－eq \f(1,m)＝－3，解得m＝－eq \f(1,2)或m＝eq \f(1,3).
综上可知，m＝0或－eq \f(1,2)或eq \f(1,3).