安徽省宣城市宣州区雁翅初级中学2021--2022学年八年级下学期期中考试数学试卷（含答案）

2022年安徽省宣城市宣州区雁翅初级中学八年级期中考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于

A.
B.
C.
D.

2. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为   

A.
B.
C.
D.

5. 下列各式中，一定能成立的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，正方形中，点在边上，且，将沿对折至延长交边于点，连接、下列结论：≌；；；；是等边三角形，其中正确结论有个．

A.
B.
C.
D.

7. 已知 ，则与的大小关系是

A.  B.  C.  D. 不确定

8. 如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是

A.  B.  C.  D.

9. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，里米，则该沙田的面积为

A. 平方千米 B. 平方千米 C. 平方千米 D. 平方千米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 如图，矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使与点重合，则折痕的长为______．
    
    
     

12. 已知，那么的值是______．
13. 如图，在中，为边上的一点，若，，，，则的长为______．
    
     

14. 如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为______．
    
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15. 计算
    
    
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

16. 阅读下面的解题过程：
    化简
    
    
    
    
    ．
    请解答下列问题：利用上述方法化简．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，四边形是平行四边形，，．
    求证：；
    过点作于点，连接，求证：四边形是平行四边形．
    
     

18. 已知：在中，，，，边上有一只小虫，由向沿以秒的速度爬行，过做于，于，求：矩形的周长与爬行时间秒的函数关系式，及自变量的取值范围；

小虫爬行多长时间，四边形是正方形。






 

19. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，，求的长．

20. 分如图，在平行四边形中，、分别为边长、的中点，连结、、若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论   

21. 如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接，，，．
    求证：四边形为平行四边形；
    若矩形中，，，且，，求的长．

22. 年月阳光日报报道，我区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为、宽为．

求该长方形土地的周长；

若在该长方形土地上种植造价为每平方米元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用提示：






 

23. 观察、思考与验证
    如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式______；
    如图所示，，且，，在同一直线上．试说明：；
    伽菲尔德年任美国第届总统利用中的公式和图证明了勾股定理发表在年月日的新英格兰教育日志上，请你写出验证过程．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键．
根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：四边形是菱形，

，，，
，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了二次根式的化简，属于基础题．
根据二次根式的性质化简，即可解答．
【解答】
解：，
故选C．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的知识是解决问题的关键．
理解勾股数的定义，即在一组三个数中，两个数的平方和等于第三个数的平方．
【解答】
解：由题意可知，在组中，，
在组中，，
在组中，，
而在组中，，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
由在▱中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的性质，是需要熟练掌握的内容．

A.根据二次根式的性质即可判定； 
B.根据二次根式的性质即可判定； 
C.首先利用完全平方公式分解因式，然后利用二次根式的性质化简即可判定； 
D.根据二次根式的性质以及有意义的条件即可作出选择．

【解答】

解：．，故选项正确；
B.当时，无意义，故选项错误；
C.当时，式子不成立，故选项错误；
D.当时，与无意义，故选项错误．
故选A．

6.【答案】
 

【解析】解：由翻折变换可知，，，，，
，
在和中，
，
≌，因此正确；
，
又，
，因此正确；
由翻折变换可知，，
由全等三角形可知，
设正方形的边长为，，，则，，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，
，因此正确；
，
，
由三角形全等可得，，
又，
，
，因此正确，
，
，
，
，
，
，
不是等边三角形，因此不正确；
故选：．
据翻折变换的性质和正方形的性质可证≌；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；由于，得到，求得，根据平行线的性质得到，求得不是等边三角形．
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了分母有理化：两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．二次根式的分母有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同，将进行分母有理化，再与比较即可．

【解答】

解：，又，

．

故选 B．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方形，矩形的性质以及勾股定理的应用．根据图形，运用勾股定理分别求出、的长，即可解答．
【解答】
解：由图片可知：、均为长宽的矩形的对角线，
，，
．
故选B．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据合并同类二次根式、二次根式的化简以及二次根式的乘法进行计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，掌握化二次根式为最简二次根式是解题的关键．
【解答】
解：、，故A错误；
B、，不能合并，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选D．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键，直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形的面积求法得出答案即可．
【解答】
解：，
三条边长分别为里，里，里，构成了直角三角形，
面积为平方米平方千米．
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】解：连接交于点，由折叠可知，垂直平分，
，
在矩形纸片中，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
，
在中，，

故答案为：．
折叠即有全等形，根据对称的性质，可得，，进而通过三角形全等，看得出，根据折叠和勾股定理可求出，进而求出，计算出．
考查折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，根据折叠轴对称，得出直角三角形和相等的线段和角是解决问题和实现问题转化的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
．
两边平方，得，
整理，得，


．
故答案为：．
整理关于的等式后两边平方，先求出的值，再整体代入．
本题考查了二次根式及完全平方公式，求出的值是解决本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
是直角三角形，，
是直角三角形，
在中，．
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形，即，在中利用勾股定理可得出的长度．
本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】
解：由勾股定理得，，
正方形的面积，
故答案为．  

15.【答案】解：原式
；
原式
．
 

【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式计算．
 

16.【答案】解：




．
 

【解析】仿照例题的解题思路，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．

证明：，
，
，

，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】只要证明即可；
只要证明，即可；
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于常考题型．
 

18.【答案】解：小虫由向沿以秒的速度爬行，

，

在中，，，，

，，，

，

矩形的周长，

 矩形的周长与爬行时间秒的函数关系式为；

当小虫爬行秒时，四边形是正方形，理由如下：

由知四边形是矩形，若四边形是正方形，
则有，

根据题意可知，由知，

时，四边形是正方形，

解得，

当小虫爬行秒时，四边形是正方形．

【解析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及解直角三角形，一元一次方程的应用．

根据题意可得出，，然后利用周长求出即可；

由知四边形是矩形，若四边形是正方形，则有，即，解出方程即可．

19.【答案】证明：平分，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：如图，过点作，
四边形是菱形，
，，
，且，
，，
，，
，
，
．
 

【解析】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可证，可得，，再由菱形的判定可证结论；
过点作，由菱形的性质可得，，再由直角三角形的性质可得，，即可求的长．
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．
 

20.【答案】解答：四边形是菱形．

证明：，
是直角三角形，且是斜边，
为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
为中点，为中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

【解析】本题主要考查直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定根据直角三角形斜边上中线求出，根据平行四边形性质得出，，推出，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，，，
，，，
≌，
，
同理，
四边形为平行四边形；
解：设，则，
，
在中，，
解得：，
即的长为．
 

【解析】由矩形的性质得出，，证出，在和中，由勾股定理求出，同理：，即可得出四边形为平行四边形；
设，则，求得，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：

即该长方形土地的周长为；

每平方米造价为元

在该长方形土地上全部种植草坪的总费用为元．

【解析】本题主要考查了二次根式的应用，涉及长方形周长公式及面积的实际应用．

根据长方形的周长公式计算出长方形的周长即可；

首先计算出长方形土地的面积，然后根据每平方米造价为元即可求解．

23.【答案】解：
证明：≌，
，
，
，
；
证明：，
，
，即四边形是梯形，
四边形的面积，
整理得：．
 

【解析】

解：这个公式是完全平方公式：；理由如下：
大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积两个小正方形的面积两个矩形的面积，
；
故答案为：；
见答案

【分析】由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
由全等三角形的性质得出，再由角的互余关系得出，即可得出结论；
先证明四边形是梯形，由四边形的面积的两种计算方法即可得出结论．
本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．