【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第二册——专题07 导数的应用（专题过关）

专题07   导数的应用（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2019·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】

详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】

本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

2．（2021·吉林·长春市第二十九中学高三阶段练习（文））已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求得函数的导数，然后令，求得的值.

【详解】

依题意，令得，，故选D.

【点睛】

本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3．（2017·浙江·高考真题） 函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

4．（2022·全国·高三专题练习）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.

【详解】

根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.

【点睛】

本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.

5．（2021·全国·高二单元测试）已知，则

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值

【答案】C

【分析】

求出导函数，根据导函数的正负，导函数的零点判断各选项．

【详解】

由题意，当时，，递增，时，，　递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值．

故选：C．

6．（2021·全国·高三专题练习）若f′(x0)＝－3，则等于(　　)

A．－3 B．－6

C．－9 D．－12

【答案】D

【分析】

由于f′(x0)＝＝－3，而的形态与导数的定义形态不一样，故需要对转化成

利用＝

即可求解.

【详解】

f′(x0)＝＝－3，

＝

＝

＝

＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.

答案：D

【点睛】

本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于要把极限化成导数定义的形态，需要对分式进行合理变形.属于中等题.

7．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是

A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）

【答案】C

【详解】

由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．

8．（2020·全国·高二课时练习）已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

求得函数的导数，根据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案.

【详解】

由题意，函数，

可得，

又由函数在上有两个极值点，

则，即在上有两解，

即在在上有不等于2的解，

令，则，

所以函数在为单调递增函数，

所以且，

又由在上单调递增，则在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立，

又由函数在为单调递增函数，所以，

综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9．（2021·福建省将乐县第一中学高二阶段练习）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）

A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数

C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点

【答案】AC

【分析】

根据图象判断出的单调区间、极值（点）.

【详解】

由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.

所以A选项正确，B选项错误.

在区间上，有极大值为，C选项正确.

在区间上，是的极小值点，D选项错误.

故选：AC

10．（2021·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．有两个零点

C．曲线在点处切线的斜率为

D．是偶函数

【答案】AC

【分析】

根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.

【详解】

由知函数的定义域为，

，

当时，，，

故在单调递增，A正确；

由，当时，，

当，所以只有0一个零点，B错误；

令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；

由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.

11．（2021·江苏·高二单元测试）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（    ）

A．-3是的一个极小值点；

B．-2和-1都是的极大值点；

C．的单调递增区间是；

D．的单调递减区间是．

【答案】ACD

【分析】

由导函数与单调性、极值的关系判断．

【详解】

当时，，时，

∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．

故选：ACD.

【点睛】

本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．

12．（2021·福建·福清西山学校高三期中）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx＝，相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx＝．若直线x＝m与双曲余弦函数C1与双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线l1与曲线C2在点B处的切线l2相交于点P，则下列结论正确的为（    ）

A．cosh(x﹣y)＝coshxcoshy﹣sinhxsinhy

B．y＝sinhxcoshx是偶函数

C．(coshx)′＝sinhx

D．若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m＝0

【答案】ACD

【分析】

根据函数的定义代入验证判断A，求出的表达式后由奇偶性定义可判断B，对函数求导判断C，由在点的导数值为0求得值判断D．

【详解】

cosh(x﹣y)，A正确；

y＝sinhxcoshx，记以，则，为奇函数，即y＝sinhxcoshx是奇函数，B错误；

，即(coshx)′＝sinhx，C正确；

对于D，因为轴，因此若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则，由解得

D正确．

故选：ACD．

【点睛】

思路点睛：本题考查新定义函数，考查新定义函数的性质．解题方法是正确理解新定义函数，然后根据奇偶性，求导法则，导数的几何意义等知识求解．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2018·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【分析】

求导，利用导数的几何意义计算即可．

【详解】

解：

则

所以

故答案为-3.

【点睛】

本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．

14．（2018·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【分析】

先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

【详解】

【点睛】

求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

15．（2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．

【答案】.

【详解】

分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.

详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，

点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

16．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

【答案】①②③

【分析】

根据定义逐一判断，即可得到结果

【详解】

表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·新疆·皮山县高级中学高二阶段练习（理））已知函数

（Ⅰ）求这个函数的导数；

（Ⅱ）求这个函数在处的切线方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）由导数的运算法则直接计算即可得出结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果求出，再求出切点坐标，进而可得出结果.

【详解】

（Ⅰ）因为，所以；

（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1，

所以切线的斜率是，

又，所以切线方程为，整理得.

【点睛】

本题主要考查导数的运算以及导数的几何意义，熟记运算法则和几何意义即可，属于基础题型.

18．（2021·全国·高二专题练习）已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的解集.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）求得函数的定义域为，然后在上解不等式即可得解集.

【详解】

（1）依题意，函数的定义域为，且，

，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）依题意，函数的定义域为，且，

令且，解得，，故不等式的解集为.

19．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）见解析.

【详解】

分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.

详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；

当x∈（，）时，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．

点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.

（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.

20．（2020·全国·高考真题（理））已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）

【分析】

(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.

(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.

【详解】

(1)当时，，，

由于，故单调递增，注意到，故：

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)由得，，其中，

①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；

②.当时，分离参数a得，，

记，，

令，

则，，

故单调递增，，

故函数单调递增，，

由可得：恒成立，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

因此，,

综上可得，实数a的取值范围是.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

21．（2019·全国·高考真题（理））已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)见详解；(2) 或.

【分析】

(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.

【详解】

(1)对求导得.所以有

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.

若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为

而，故所以区间上最大值为.

即相减得，即，又因为，所以无解.

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为

而，故所以区间上最大值为.

即相减得，解得，又因为，所以无解.

若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为

即解得.

综上得或.

【点睛】

这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．

22．（2020·全国·高考真题（理））设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【分析】

（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；

（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.

【详解】

（1）因为，

由题意，，即

则；

（2）由（1）可得，

，

令，得或；令，得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

且，

若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，

即或.

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，所有零点的绝对值都不大于1.

【点晴】

本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.