【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第二册——专题05 数列（专题过关）

专题05   数列（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·陕西·渭南市杜桥中学高二阶段练习（文））在等比数列中，，则（    ）

A． B． C．27 D．81

【答案】D

【分析】

利用等比数列的性质计算即可.

【详解】

由等比数列的性质得

故选：D.

2．（2021·福建南安·高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则=（    ）

A．12 B．24 C．36 D．48

【答案】C

【分析】

根据等差数列的下标和性质和等差数列前项和的计算，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】

因为是等差数列，且，故可得：；

又.

故选：C.

3．（2020·陕西·渭南市杜桥中学高二阶段练习（文））已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由已知得，根据递推式反复代入计算即可.

【详解】

由得，

.

故选：C.

4．（2021·广东·深圳实验学校高中部高二阶段练习）已知数列，如果是首项为1，公比为的等比数列，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

分析条件，直接把数列的前项求和即可得到答案．

【详解】

由题意可知，，

故选：A﹒

5．（2021·广东·深圳实验学校高中部高二阶段练习）已知等差数列满足，则数列的前项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用等差中项的性质求出的值，再利用等差数列求和公式可求得的值.

【详解】

因为，因此，.

故选：C.

6．（2021·河南商丘·高二阶段练习（文））已知等差数列的各项均为正数，且，则其前13项之和为（    ）

A．21 B．26 C．36 D．39

【答案】D

【分析】

利用等差数列的性质及前n项和公式即得.

【详解】

∵等差数列的各项均为正数，

∴，

∴.

故选：D.

7．（2021·北京·北科大附中高二期末）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.

【详解】

若，则，即，此时，数列为单调递增数列，

即“”“数列为单调递增数列”；

若等差数列为单调递增数列，则，

即“”“数列为单调递增数列”.

因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.

故选：C.

8．（2021·江苏常熟·高二期中）南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为（    ）

A．5043 B．5047 C．5048 D．5052

【答案】D

【分析】

根据题意，结合“杨辉三角”的性质求出，进而得到数列，根据数列中整数项的规律，求出，即可求解.

【详解】

根据题意，结合“杨辉三角”的性质，

知，因此，

由题意得，此数列的整数项为2，3，7，8，12，13，，其规律为各项之间以+1，+4，+1，+4，+1，+4，，递增，

因此数列的奇数项是以5为公差，2为首项的等差数列，偶数项是以5为公差，3为首项的等差数列，

即，故.

故选：D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9．（2021·江苏连云港·高三期中）等差数列的前项和为，，，则（    ）

A． B．

C．当时，的最小值为 D．

【答案】AC

【分析】

根据，由等差中项可知，从而判断出，即可判断AB，再由，化为关于的一元二次不等式即可判断C，计算的正负，即可判断D.

【详解】

因为，∴，∴，即.

又，所以，A对，B错；

当，解得

，∴，故C对；

∴，D错.

故选：AC

10．（2021·江苏·南京师大附中高二阶段练习）对于公差为1的等差数列，，公比为2的等比数列，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．数列为等差数列 D．数列的前n项和为

【答案】ACD

【分析】

A.用等差数列的通项公式求解判断；B.用等比数列的通项公式求解判断；C.用等差数列的定义求解判断；D.用错位相减法求解判断.

【详解】

因为等差数列的公差为1，，所以，故A正确；

因为等比数列的公比为2，，所以，故B错误；

因为，则，所以数列为等差数列，故C正确；

数列的通项公式为，则其前n项和为，

则，

两式相减得，

，

，

，

所以，故D正确；

故选：ACD

11．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

依题意可知，，B选项错误.

，

，A正确.

，

，C正确.

，

.D选项正确.

故选：ACD

12．（2021·江苏常州·高三期中）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（    ）

A． B．

C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数n的值为4039

【答案】ABD

【分析】

根据给定条件探求出，且，，再逐个选项推理、分析判断作答.

【详解】

等比数列的公比为，由得：，而，则，，A正确；

由及，得等比数列是递增数列，即有，又，

于是得，，有，所以，B正确；

，，又，，于是当时，，当时，，

因此有，即的值不是中最小的，C不正确；

又，，

当时，，当时，，数列在时是递增的，

因此，当时，，当时，，则使成立，，

所以使成立的最大正整数n的值为4039，D正确.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2020·陕西·渭南市杜桥中学高二阶段练习（文））等差数列中，若，公差，则________.

【答案】0

【分析】

根据等差数列的通项公式计算即可.

【详解】

由已知

故答案为：0.

14．（2021·广东·深圳实验学校高中部高二阶段练习）已知等差数列的公差， 且、、成等比数列，_____.

【答案】

【分析】

根据已知条件求得、的等量关系，利用等差中项的性质可求得结果.

【详解】

由已知可得，即，，，

因此，.

故答案为：.

15．（2020·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）在正项数列中，，且，令，则数列的前2020项和___________．

【答案】

【分析】

利用关系式的变换求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法的应用求出数列的和．

【详解】

正项数列中，，

整理得：，则，即，

∴数列是以为公比的等比数列．

由于，则，即，

∴，

∴，

∴，

则．

故答案为：﹒

16．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第41项为 _________．

【答案】372

【分析】

根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值．

【详解】

根据题意，数列3，4，6，9，13，18，24，，

满足：，，

∴

∴．

故答案为：372．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·河南商丘·高二阶段练习（理））已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式；

（2）用错位相减法求数列的和．

（1）

设的公差为d，的公比为q（q>0），

由，得d+q=5①

再由得②

联立①和②解得或（舍去），

所以.

（2）

由（1）知，

则，①

，②

①-②，得

.

所以.

18．（2021·福建南安·高二阶段练习）已知为等差数列的前n项和．

（1）求；

（2）设，为数列的前n项和，求证：．

【答案】

（1）

（2）证明见解析

【分析】

（1）根据已知条件求得，由此求得.

（2）根据等比数列前项和公式求得，由此证得不等式成立.

（1）

设数列的公差为d，则.

（2）

由题意，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

则.

19．（2021·广东·深圳实验学校高中部高二阶段练习）已知正项数列的前项和为，若是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的前项和．

【答案】

（1）；

（2）﹒

【分析】

(1)根据和关系可求的通项公式；

(2)根据通项公式可知，其前n项和采用错位相减法求解﹒

（1）

∵，∴当，

∴，，

因此当时：

，

∴，

∵，

∴时，即

∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，

；

（2）

，

……①

……②

①－②得：

∴

﹒

20．（2021·广东·深圳实验学校高中部高二阶段练习）设数列的前项和为， 已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项的和.

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）由可求得数列的通项公式；

（2）化简的表达式，分、两种情况求的表达式，综合即可得解.

（1）

解：当时，，

当时，.

不满足，因此，.

（2）

解：.

当时，，

满足；

当时，.

综上所述，.

21．（2021·河南商丘·高二阶段练习（文））设数列满足.

（1）求的通项公式

（2）记数列的前n项和为，是否存在实数k，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）；

（2）存在，k的最小值为2.

【分析】

（1）由题可得当时，，结合条件可得，即求；

（2）利用裂项相消法可得，由题可得，即得.

（1）

因为，

∴当时，，

当时，，

两式相减得，所以，

又，满足上式，

故的通项公式为.

（2）

由（1）知.

则.

因为，所以，所以，

由题可得,

∴存在实数k，使得对任意恒成立，k的最小值为2.

22．（2021·四川达州·一模（文））数列和满足，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】

（1），；

（2）

【分析】

（1）由等比数列的定义求，由累加法求；

（2）先求出，再由错位相减法求和即可

（1）

因为，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，

又，

则，

所以由累加法得；

所以，；

（2）

因为，

所以，

所以，

所以

所以