初三一轮复习（三角形）17-21练习偏难

这是一份初三一轮复习（三角形）17-21练习偏难，共22页。试卷主要包含了相交线与平行线，直角三角形，解答与计算题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知：AB∥CD，∠ABE=120°，∠C=25°，则∠α度数为（ ）
A．60°B．75°C．85°D．80°
2. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=80°，则∠GFD′= ．
3.如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
4. 如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）2+=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
三角形、多边形的认识
1. 如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（ ）
A．174B．176C．178D．180
2. 如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为（ ）
A．360° B．540°C．720°D．900°
3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 度．
4.如图1,△ABC中D,E,F三点分别在AB,AC,BC上，过点D的直线与线段EF交点为点H，∠1+∠2=180°∠3=∠C．
（1）求证：DE∥BC；
（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，记∠C=α，探究：要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足何条件（可以是便于画出准确位置的条件）．直接写出你探究得到的结果，并根据它画出符合题意的图形．
（1）证明：DE∥BC
（2）要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足 ∠DEF=90°﹣（或点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置） ．
5. 如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
等腰三角形
1.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①C．①②D．②③
2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（ ）
A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'
C．△E′EC∽△AFDD．△AE′F是等腰三角形
3. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是 ．
4.如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
5.（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MG⊥NG ．
（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
四、直角三角形
一、选择题：
1. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
2.如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2B．4C．2D．4
3. 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
4. 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
5. 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2方式折叠成一个矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段AE，GF；S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
五．全等三角形
1.如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．B．2C．2D．
2. 如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )
3.已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
5. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出线段DE、AD和BE的数量关系，并说明理由．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，直接写出DE、AD和BE的数量关系（不用说明理由）
6. （1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系： AD=DE ；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
参考答案：
一、相交线与平行线
1. 已知：AB∥CD，∠ABE=120°，∠C=25°，则∠α度数为（ ）
A．60°B．75°C．85°D．80°
【解答】解：过E作EF∥CD，
∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等），∴∠FEC=25°，
∵AB∥CD（已知），∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BEF=60°，∴∠α=∠BEF+∠FEC=85°，故选C
2. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=80°，则∠GFD′= ．
【解答】解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，
∵∠CEF=80°，
∴∠EFG=∠CEF=80°，
∴∠EFD=180°﹣80°=100°，
根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=100°，
∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，
=100°﹣80°=20°．
故答案为：20°．
3.如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
【解答】解：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD；
（2）∠BAE+∠MCD=90°；
过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；
（3）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．
4. 如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）2+=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵（a+2）2+=0，∴a+2=0，b﹣2=0，∴a=﹣2，b=2，
∴A（﹣2，0），C（2，2）．∵CB⊥AB，∴B（2，0），∴AB=4，CB=2，则S三角形ABC=×4×2=4．
（2）如图甲，过E作EF∥AC．
∵CB⊥x轴，∴CB∥y轴，∠CBA=90°，∴∠ODB=∠6．
又∵BD∥AC，∴∠CAB=∠5，∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°﹣∠CBA=90°．
∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠3=∠CAB，∠4=∠ODB，
∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4=（∠CAB+∠ODB）=45°．
（3）①当P在y轴正半轴上时，如图乙．
设点P（0，t），分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点M，N，则AN=t，CM=t﹣2，MN=4，PM=PN=2．
∵S三角形ABC=4，∴S三角形ACP=S梯形MNAC﹣S三角形ANP﹣S三角形CMP=4，
∴×4（t﹣2+t）﹣×2t﹣×2（t﹣2）=4，解得t=3，即点P的坐标为（0，3）．
②当P在y轴负半轴上时，如图丙，同①作辅助线．
设点P（0，a），则AN=﹣a，CM=﹣a+2，PM=PN=2．
∵S三角形ACP=S梯形MNAC﹣S三角形ANP﹣S三角形CMP=4，
∴×4（﹣a+2﹣a）﹣×2•（﹣a）﹣×2（2﹣a）=4，
解得a=﹣1，∴点P的坐标为（0，﹣1）．综上所述，P点的坐标为（0，﹣1）或（0，3）．
三角形、多边形的认识
1. 如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（ ）
A．174B．176C．178D．180
【解答】解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．
故选：A．
2. 如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为（ ）
A．360° B．540°C．720°D．900°
【解答】解：如图，
AA1之间添加两条边，可得B1+∠C1+∠D1=∠EAD+∠AEA1+∠EA1B1
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1=∠EAB+∠B+∠C+∠D+∠DA1E+∠E=720°；
故选：C．
3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 度．
【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36度．
4.如图1,△ABC中D,E,F三点分别在AB,AC,BC上，过点D的直线与线段EF交点为点H，∠1+∠2=180°∠3=∠C．
（1）求证：DE∥BC；
（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，记∠C=α，探究：要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足何条件（可以是便于画出准确位置的条件）．直接写出你探究得到的结果，并根据它画出符合题意的图形．
（1）证明：DE∥BC
（2）要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足 ∠DEF=90°﹣（或点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置） ．
【解答】解：（1）证明：如图1，∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠4．
又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE∥BC；
（2）分两种情况：
情况一：如图2，∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠BFE=∠2+∠C，当∠1=∠BFH时，∠1=∠2+∠C，②
由①②得，∠3+∠DEF=∠2+∠C，∵∠3=∠C，∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC
∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立．
情况二：如图2，∵∠1是△DEH的外角，∠C=α=∠3，
∴∠1=∠3+∠DEF=α+∠DEF，①∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠2=∠BFE﹣∠C，
当∠1=∠BFH时，∠2=∠1﹣∠C=（∠3+∠DEF）﹣∠C，
∵∠C=α=∠3，∴∠2=α+∠DEF﹣α=∠DEF，②
将①、②代入∠1+∠2=180°，可得：α+∠DEF+∠DEF=180°，
∴∠DEF=90°﹣，∴当∠DEF=90°﹣时，∠1=∠BFH也成立．
综上所述，当∠DEF=90°﹣（或点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置）时，∠1=∠BFH成立．
5. 如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）填表如下：
（2）存在一个正n边形，使其中的∠α=20°，理由是：根据题意得：=20°，
解得：n=9，即当多边形是正九边形，能使其中的∠α=20°；
（3）不存在，理由如下：假设存在正 n 边形使得∠α=21°，得 ，
解得：，又 n 是正整数，所以不存在正 n 边形使得∠α=21°．
等腰三角形
1.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①C．①②D．②③
【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE ∴
∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD 所以①正确
∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD
∴ ∴MP•MD=MA•ME 所以②正确
∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM
∵AC=AB ∴2CB2=CP•CM 所以③正确 故选：A．
2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（ ）
A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'
C．△E′EC∽△AFDD．△AE′F是等腰三角形
【解答】解：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，
∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；
∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴∠E′AD=∠BAE，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，
∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，
∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正确；
∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，
∴△E′EC∽△AFD，故C正确；
∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，
∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．
3. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是 ．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，
则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=130°，
∴∠A′+∠A″=50°，
∵∠A′=∠FAA′，∠EAD=∠A″，
∴∠FAA′+∠A″AE=50°，
∴∠EAF=130°﹣50°=80°，
故答案为：80°．
三、解答与计算题：
4.如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，∵EP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案为：PA=PB=PC；
（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°，
∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°，∵PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
5.（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MG⊥NG ．
（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MGCD，
同理：NGBE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；
（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG
四、直角三角形
一、选择题：
1. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故选B。
2.如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2B．4C．2D．4
【解答】解：作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．
在Rt△AHB中，∠ABH=30°，∴BH=AB•cs30°=9，∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4，∴AF=CH=4，故选：B．
3. 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD=240km，
所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，
答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；
（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，
∵台风速度为15km/h，
∴210÷15=14时，270÷15=18，
∵早上6：00接到台风警报，
∴6+14=20时，6+18=24时，
∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．
4. 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
【解答】解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0
即（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0 ∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0 ∴a=5，b=12，c=13
∵52+122=169=132 ∴a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形．
5. 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2方式折叠成一个矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段AE，GF；S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；
由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，
∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，
∴S矩形AEFG=S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；
（2）∵四边形EFGH是矩形，EF=5，EH=12，∠FEH=90°，∴FH===13，
由折叠的性质得：DH=NH，AH=HM，CF=FN，∴CF=AH，∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13；
（3）有以下两种基本折法：
①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM=FM=4，∴GM=CM===3，
∴AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH=CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，∵∠B=90°，∴FM=BM==3，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，∴AD+BC=，∴BC=﹣x，∴MC=BC﹣BM=﹣x﹣3，
∵MN=MC，∴3+x=﹣x﹣3，解得：x=，∴AD=，BC=﹣=．
五．全等三角形
1.如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．B．2C．2D．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2故选：B．
2. 如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )
A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个
C．∠AOB＝90° D．点O是CD的中点
【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．
∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；
∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=∠EOD，∠BOC=∠MOE，∴∠AOB=(∠EOD+∠MOE)=×180°=90°，故C选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．
3.已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．
【解答】解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°
5. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出线段DE、AD和BE的数量关系，并说明理由．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，直接写出DE、AD和BE的数量关系（不用说明理由）
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，∴△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）解：结论：DE=AD﹣BE．
理由：如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．
（3）解：结论：DE=BE﹣AD．
理由如下：如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CED=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．
6. （1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系： AD=DE ；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BFD=60°，∴△BDF是等边三角形，∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，∴DF=CD∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD与△EDC中，
，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；（2）AD=DE；
证明：如图2，过点D作DF∥AC，交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BFD=60°，∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD≌△DCE中，
，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；
（3）解：∵BC=CD，∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，∴CE垂直平分AD，∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ABC∽△ADE，
在Rt△CDO中，，∴，∴，∴==．
正多边形的边数
3
4
5
6
……
18
∠α的度数




……

正多边形的边数
3
4
5
6
……
18
∠α的度数




……

正多边形的边数
3
4
5
6
……
18
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
……
10°