2022届初中数学一轮复习 课时作业17 全等三角形

课时作业17　全等三角形

1.(2020·湖南怀化)在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为(　　)

A.3 B. C.2 D.6

2.(2020·黑龙江大兴安岭)如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　　　.(只填一个即可) 

3.(2020·湖南怀化)如图，在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，∠B=130°，则∠D=　　　　. 

4.(2020·贵州铜仁)如图，∠B=∠E，BF=EC，AC∥DF.求证：△ABC≌△DEF.

5.(2020·湖北黄冈)如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD=CE.

6.(2020·江苏常州)如图，点A，B，C，D在一条直线上，BF∥AE，BF=AE，AB=CD.

(1)求证：∠E=∠F；

(2)若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数.

7.(2020·湖南衡阳)如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.

(1)求证：DE=DF；

(2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数.

8.(2020·山东菏泽)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC=ED，求证：CE=DB.

9.(2020·湖北鄂州)如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：

①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD

其中正确的结论个数为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

10.(2020·江苏徐州)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F.

(1)求证：AE=BD；

(2)求∠AFD的度数.

11.(2020·湖南株洲)如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF，CF，满足△ABF≌△CBE.

(1)求证：∠EBF=90°.

(2)若正方形ABCD的边长为1，CE=2，求tan∠AFC的值.

12.(2020·湖南湘西)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC于E，F.探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系.

小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是　　　　； 

探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC于E，F.上述结论是否仍然成立?请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不需要说明理由.

　　　图1　　　　　　　　　图2

探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC于点E，F.上述结论是否仍然成立?并说明理由.

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.

　图3　　　　　　　　　　　图4

参考答案

1.A　解析 ∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD.

又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED(AAS).

∴DE=BE=3，故选A.

2.AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC等)

解析 ∵∠DAB=∠CAB，AB=AB，

∴当添加AD=AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；

当添加∠D=∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；

当添加∠ABD=∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC.

故答案为AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC等).

3.130°　解析 ∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，

∴∠D=∠B=130°.

4.证明 ∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE.∵BF=CE，∴BC=EF.

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(ASA).

5.证明 ∵点O是CD的中点，∴DO=CO.　

在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠D=∠DCE，∠DAO=∠E.

在△ADO和△ECO中，

∴△ADO≌△ECO(AAS)，∴AD=CE.

6.(1)证明 ∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF.

∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD.

又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF(SAS)，

∴∠E=∠F.

(2)解 ∵△ACE≌△BDF，

∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，

∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.

7.(1)证明 ∵点D为BC的中点，∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°.

在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)，

∴DE=DF.

(2)解 ∵∠BDE=40°，

∴∠B=180°-(∠BDE+∠BED)=50°，

∴∠C=50°.

在△ABC中，∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°，

故∠BAC=80°.

8.证明 ∵ED⊥AB，∴∠ADE=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADE，

在△AED和△ABC中，

∴△AED≌△ABC(AAS)，∴AE=AB，AC=AD，

∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD.

9.B　解析 ∵∠AOB=∠COD=36°，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，

即∠AOC=∠BOD.

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC ≌△BOD(SAS)，

∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；

∴∠OAC=∠OBD，

由三角形的外角性质，得∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，

∴∠AMB=∠AOB=36°，①正确；

作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，如图所示：

则∠OGC=∠OHD=90°，

在△OCG和△ODH中，

∴△OCG≌△ODH(AAS)，∴OG=OH，

∴MO平分∠AMD，④正确；

∵∠AOB=∠COD，

∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，

假设∠DOM=∠AOM，

∴∠COM=∠BOM，

∵MO平分∠AMD，∴∠AMO=∠DMO.

∵∠AMO+∠CMO=180°，∠BMO+∠DMO=180°，

∴∠CMO=∠BMO，

在△COM和△BOM中，

∴△COM≌△BOM(ASA)，

∴OB=OC，

∵OA=OB，

∴OA=OC，与OA<OC矛盾，

∴③错误；

正确的有①②④.

故选B.

10.(1)证明 ∵AC⊥BC，DC⊥EC，

∴∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，

即∠ACE=∠BCD，

又AC=BC.DC=EC，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，

∴AE=BD.

(2)解 ∵△ACE≌△BCD，

∴∠A=∠B.

设AE与BC交于O点，

∴∠AOC=∠BOF，

∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°，

∴∠BFO=∠ACO=90°，

故∠AFD=180°-∠BFO=90°.

11.(1)证明 ∵△ABF≌△CBE，

∴∠ABF=∠CBE.

∵∠ABF+∠CBF=90°，

∴∠CBF+∠CBE=90°，

∴∠EBF=90°.

(2)解 ∵△ABF≌△CBE，

∴∠AFB=∠CEB.

∵∠FGA=∠EGB，

∴∠FAC=∠EBF=90°，

∵正方形边长为1，CE=2.

∴AC=，AF=CE=2.

∴tan∠AFC=.

12.解 EF=AE+CF.

理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，

在△BCG和△BAE中，

∴△BCG≌△BAE(SAS)，

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE.

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE+∠CBF=60°，

∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°.

在△BGF和△BEF中，

∴△BGF≌△BEF(SAS)，∴GF=EF.

∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF.

探究延伸1：结论EF=AE+CF成立.

理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，

在△BCG和△BAE中，

∴△BCG≌△BAE(SAS)，

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，

即∠GBF=∠ABC.

在△BGF和△BEF中，

∴△BGF≌△BEF(SAS)，

∴GF=EF.

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF.

探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立.

理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG.

∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCG+∠BCD=180°，

∴∠BCG=∠BAD

在△BCG和△BAE中，

∴△BCG≌△BAE(SAS)，

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE.

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，

即∠GBF=∠ABC.

在△BGF和△BEF中，

∴△BGF≌△BEF(SAS)，∴GF=EF.

∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF.

实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，

∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB.

∵OA=OB，∠OAC+∠OBC

=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，

∴符合探索延伸中的条件，

∴结论仍然成立，

即EF=75×1.2+100×1.2=210(海里).

答：此时两舰艇之间的距离为210海里.