备战中考初中数学导练学案50讲—第47讲二次函数与圆及其变换的综合(讲练版)
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第47讲 二次函数与圆及其变换的综合
【疑难点拨】
1.图像平移
(1)沿Y轴平移
向上平移n个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h)2+k+n
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 y=ax2+bx+c+n
向下平移n个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h)2+k+n
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为y=a(x-h)2+k-n
(2沿x轴平移
向左平移m个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h+m)2+k
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c
向右平移m个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h-m)2+k
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c
2.图像对称
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
3.图像旋转
绕原点旋转180°顶点纵横坐标与a全部符号变相反
绕顶点旋转180°顶点坐标符号不变,a符号变相反
【基础篇】
一、选择题:
1. (2017江苏盐城)如图,将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( )
A. B. C. D.
2. (2017浙江义乌)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为( )
A.y=x2+8x+14 B.y=x2﹣8x+14 C.y=x2+4x+3 D.y=x2﹣4x+3
3. (2017•温州)如图,过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;
①连结BD,求BD的最小值;
②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.
4. (2018•宁波)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
5. (2017深圳)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0),B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使S△ABC=S△ABD?若存在请直接给出点D坐标;若不存在请说明理由;
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E,求BE的长.
6. (2017湖北江汉)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0有实数根.
(1)求m的值;
(2)先作y=x2﹣(m+1)x+(m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求n2﹣4n的最大值和最小值.
7. (2018•徐州)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5)
①求该函数的关系式;
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
③将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.
8. 如图,矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上,线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0(OA>OC),直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点,将△BCN沿直线BN折叠,点C恰好落在直线MN上的点D处,且tan∠CBD=
(1)求点B的坐标;
(2)求直线BN的解析式;
(3)将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移,求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t(0<t≤13)的函数关系式.
9. (2017内蒙古赤峰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
10. (2017•宁德)如图,抛物线l:y=(x﹣h)2﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折,x轴上方的图象保持不变,就组成了函数ƒ的图象.
(1)若点A的坐标为(1,0).
①求抛物线l的表达式,并直接写出当x为何值时,函数ƒ的值y随x的增大而增大;
②如图2,若过A点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P,Q,且S△ABQ=2S△ABP,求点P的坐标;
(2)当2<x<3时,若函数f的值随x的增大而增大,直接写出h的取值范围.
【能力篇】
11. (2018·湖北江汉·12分)抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=t(t<)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.
(1)点A,B,D的坐标分别为 (,0) , (3,0) , (,) ;
(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;
(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
12. (2017绥化)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,与直线y=﹣+1交于点C(4,﹣2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作ME∥y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时,求△DEM的周长.
(3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到△A1O1B1,点A,O,B的对应点分别是点A1,O1,B1,若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的坐标.
13. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图,抛物线y=ax2+4x+c(a≠0)经过点A(﹣1,0),点E(4,5),与y轴交于点B,连接AB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将△ABO绕点O旋转,点B的对应点为点F.
①当点F落在直线AE上时,求点F的坐标和△ABF的面积;
②当点F到直线AE的距离为时,过点F作直线AE的平行线与抛物线相交,请直接写出交点的坐标.
14. (2017贵州)如图,⊙M的圆心M(﹣1,2),⊙M经过坐标原点O,与y轴交于点A,经过点A的一条直线l解析式为:y=﹣x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C(﹣4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:直线l是⊙M的切线;
(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E,PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小?若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.
15. (2018·湖北咸宁·10分)如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A.B两点,与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限抛物线上的点,连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的数关系式,并求出PQ与OQ的比值的最大值;
(3)点D是抛物线对称轴上的一动点,连接OD.CD,设△ODC外接圆的圆心为M,当sin∠ODC的值最大时,求点M的坐标.
16. (2017日照)如图所示,在平面直角坐标系中,⊙C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上,与⊙C交于N,H,P三点,P为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.
(1)求线段CD的长及顶点P的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)设抛物线交x轴于A,B两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形OPMN=8S△QAB,且△QAB∽△OBN成立?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
17. (2017四川南充)如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为﹣,直线l的解析式为y=x.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l′,l′与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上点E′时(图2),求直线l′的解析式;
(3)在(2)的条件下,l′与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′,P为l′上的动点,当△PB′N′为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.
18. (2017广西河池)抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A,B(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)抛物线的对称轴上存在点P,使∠APB=∠ABC,利用图1求点P的坐标;
(3)点Q在y轴右侧的抛物线上,利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小,并说明理由.
【探究篇】
19. (2017哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.
20. (2017.江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC、BC.
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;
(2)求△ABC外接圆的半径;
(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
第47讲 二次函数与圆及其变换的综合
【疑难点拨】
1.图像平移
(1)沿Y轴平移
向上平移n个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h)2+k+n
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 y=ax2+bx+c+n
向下平移n个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h)2+k+n
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为y=a(x-h)2+k-n
(2沿x轴平移
向左平移m个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h+m)2+k
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c
向右平移m个单位:
二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h-m)2+k
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c
2.图像对称
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
3.图像旋转
绕原点旋转180°顶点纵横坐标与a全部符号变相反
绕顶点旋转180°顶点坐标符号不变,a符号变相反
【基础篇】
一、选择题:
1. (2017江苏盐城)如图,将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( )
A. B. C. D.
【考点】H6:二次函数图象与几何变换.
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标,再过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C(4,1),AC=4﹣1=3,根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),得出AA′=3,然后根据平移规律即可求解.
【解答】
解:∵函数y=(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),
∴m=(1﹣2)2+1=1,n=(4﹣2)2+1=3,
∴A(1,1),B(4,3),
过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C(4,1),
∴AC=4﹣1=3,
∵曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),
∴AC•AA′=3AA′=9,
∴AA′=3,
即将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象,
∴新图象的函数表达式是y=(x﹣2)2+4.
故选D.
2. (2017浙江义乌)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为( )
A.y=x2+8x+14 B.y=x2﹣8x+14 C.y=x2+4x+3 D.y=x2﹣4x+3
【考点】H6:二次函数图象与几何变换.
【分析】先由对称计算出C点的坐标,再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题.
【解答】解:∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,
∴矩形ABCD关于坐标原点对称,
∵A点C点是对角线上的两个点,
∴A点、C点关于坐标原点对称,
∴C点坐标为(﹣2,﹣1);
∴抛物线由A点平移至C点,向左平移了4个单位,向下平移了2个单位;
∵抛物线经过A点时,函数表达式为y=x2,
∴抛物线经过C点时,函数表达式为y=(x+4)2﹣2=x2+8x+14,
故选A.
3. (2017•温州)如图,过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;
①连结BD,求BD的最小值;
②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.
【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H8:待定系数法求二次函数解析式.
【分析】(1)思想确定点A的坐标,利用对称轴公式求出对称轴,再根据对称性可得点B坐标;
(2)①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,推出当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD;
②当点D在对称轴上时,在Rt△OD=OC=5,OE=4,可得DE=OD2-OE2=52-42=3,求出P、D的坐标即可解决问题;
【解答】解:(1)由题意A(﹣2,5),对称轴x=﹣-22×14=4,
∵A、B关于对称轴对称,
∴B(10,5).
(2)①如图1中,
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,
∴当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD=52+102﹣5=55﹣5.
②如图2中,
图2
当点D在对称轴上时,在Rt△ODE中,OD=OC=5,OE=4,
∴DE=OD2-OE2=52-42=3,
∴点D的坐标为(4,3).
设PC=PD=x,在Rt△PDK中,x2=(4﹣x)2+22,
∴x=,
∴P(,5),
∴直线PD的解析式为y=﹣x+253.
【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,学会利用辅助圆解决最短问题,属于中考常考题型.
4. (2018•宁波)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
【分析】(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可;
(2)指出满足题意的平移方法,并写出平移后的解析式即可.
【解答】解:(1)把(1,0),(0,)代入抛物线解析式得:,
解得:,
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+;
(2)抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣(x+1)2+2,
将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为y=﹣x2.
5. (2017深圳)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0),B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使S△ABC=S△ABD?若存在请直接给出点D坐标;若不存在请说明理由;
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E,求BE的长.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由条件可求得点D到x轴的距离,即可求得D点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D点坐标;
(3)由条件可证得BC⊥AC,设直线AC和BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,则可得BF=BC,利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE解析式,联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标,则可求得BE的长.
【解答】解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0),B(4,0),
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)由题意可知C(0,2),A(﹣1,0),B(4,0),
∴AB=5,OC=2,
∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5,
∵S△ABC=S△ABD,
∴S△ABD=×5=,
设D(x,y),
∴AB•|y|=×5|y|=,解得|y|=3,
当y=3时,由﹣x2+x+2=3,解得x=1或x=2,此时D点坐标为(1,3)或(2,3);
当y=﹣3时,由﹣x2+x+2=﹣3,解得x=﹣2(舍去)或x=5,此时D点坐标为(5,﹣3);
综上可知存在满足条件的点D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,﹣3);
(3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,
∴AC==,BC==2,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,即BC⊥AC,
如图,设直线AC与直线BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,
由题意可知∠FBC=45°,
∴∠CFB=45°,
∴CF=BC=2,
∴=,即=,解得OM=2, =,即=,解得FM=6,
∴F(2,6),且B(4,0),
设直线BE解析式为y=kx+m,则可得,解得,
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12,
联立直线BE和抛物线解析式可得,解得或,
∴E(5,﹣3),
∴BE==.
6. (2017湖北江汉)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0有实数根.
(1)求m的值;
(2)先作y=x2﹣(m+1)x+(m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求n2﹣4n的最大值和最小值.
【考点】HA:抛物线与x轴的交点;AA:根的判别式;H6:二次函数图象与几何变换;H7:二次函数的最值.
【分析】(1)由题意△≥0,列出不等式,解不等式即可;
(2)画出翻折.平移后的图象,根据顶点坐标即可写出函数的解析式;
(3)首先确定n的取值范围,利用二次函数的性质即可解决问题;
【解答】解:(1)对于一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0,
△=(m+1)2﹣2(m2+1)=﹣m2+2m﹣1=﹣(m﹣1)2,
∵方程有实数根,
∴﹣(m﹣1)2≥0,
∴m=1.
(2)由(1)可知y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
图象如图所示:
平移后的解析式为y=﹣(x+2)2+2=﹣x2﹣4x﹣2.
(3)由消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意△≥0,
∴36﹣4n﹣8≥0,
∴n≤7,
∵n≤m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,
∴n=2时,y′的值最小,最小值为﹣4,
n=7时,y′的值最大,最大值为21,
∴n2﹣4n的最大值为21,最小值为﹣4.
7. (2018•徐州)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5)
①求该函数的关系式;
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
③将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.
【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B点坐标代入,即可求出二次函数的解析式.
(2)根据的函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标.
(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.
【解答】解:(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4
将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1
∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3)
令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)
(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0)
当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位
故A'(2,4),B'(5,﹣5)
∴S△OA′B′=×(2+5)×9﹣×2×4﹣×5×5=15.
8. 如图,矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上,线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0(OA>OC),直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点,将△BCN沿直线BN折叠,点C恰好落在直线MN上的点D处,且tan∠CBD=
(1)求点B的坐标;
(2)求直线BN的解析式;
(3)将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移,求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t(0<t≤13)的函数关系式.
【考点】FI:一次函数综合题.
【分析】(1)由非负数的性质可求得x、y的值,则可求得B点坐标;
(2)过D作EF⊥OA于点E,交CB于点F,由条件可求得D点坐标,且可求得=,结合DE∥ON,利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长,则可求得N点坐标,利用待定系数法可求得直线BN的解析式;
(3)设直线BN平移后交y轴于点N′,交AB于点B′,当点N′在x轴上方时,可知S即为▱BNN′B′的面积,当N′在y轴的负半轴上时,可用t表示出直线B′N′的解析式,设交x轴于点G,可用t表示出G点坐标,由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′,可分别得到S与t的函数关系式.
【解答】解:
(1)∵|x﹣15|+=0,
∴x=15,y=13,
∴OA=BC=15,AB=OC=13,
∴B(15,13);
(2)如图1,过D作EF⊥OA于点E,交CB于点F,
由折叠的性质可知BD=BC=15,∠BDN=∠BCN=90°,
∵tan∠CBD=,
∴=,且BF2+DF2=BD2=152,解得BF=12,DF=9,
∴CF=OE=15﹣12=3,DE=EF﹣DF=13﹣9=4,
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°,且∠ONM+∠CND=180°,
∴∠ONM=∠CBD,
∴=,
∵DE∥ON,
∴==,且OE=3,
∴=,解得OM=6,
∴ON=8,即N(0,8),
把N、B的坐标代入y=kx+b可得,解得,
∴直线BN的解析式为y=x+8;
(3)设直线BN平移后交y轴于点N′,交AB于点B′,
当点N′在x轴上方,即0<t≤8时,如图2,
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形,且NN′=t,
∴S=NN′•OA=15t;
当点N′在y轴负半轴上,即8<t≤13时,设直线B′N′交x轴于点G,如图3,
∵NN′=t,
∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t,
令y=0,可得x=3t﹣24,
∴OG=24,
∵ON=8,NN′=t,
∴ON′=t﹣8,
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣(t﹣8)(3t﹣24)=﹣t2+39t﹣96;
综上可知S与t的函数关系式为S=.
9. (2017内蒙古赤峰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)可设抛物线解析式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的解析式,则可求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD解析式;
(2)设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;
(3)过Q作QG∥y轴,交BD于点G,过Q和QH⊥BD于H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得△DHG为等腰直角三角形,则可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标.
【解答】解:
(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4,
∵点B(3,0)在该抛物线的图象上,
∴0=a(3﹣1)2+4,解得a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3,
∵点D在y轴上,令x=0可得y=3,
∴D点坐标为(0,3),
∴可设直线BD解析式为y=kx+3,
把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直线BD解析式为y=﹣x+3;
(2)设P点横坐标为m(m>0),则P(m,﹣m+3),M(m,﹣m2+2m+3),
∴PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,PM有最大值;
(3)如图,过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H,
设Q(x,﹣x2+2x+3),则G(x,﹣x+3),
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)|=|﹣x2+3x|,
∵△BOD是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°,
∴∠HGQ=∠BGE=45°,
当△BDQ中BD边上的高为2时,即QH=HG=2,
∴QG=×2=4,
∴|﹣x2+3x|=4,
当﹣x2+3x=4时,△=9﹣16<0,方程无实数根,
当﹣x2+3x=﹣4时,解得x=﹣1或x=4,
∴Q(﹣1,0)或(4,﹣5),
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5).
10. (2017•宁德)如图,抛物线l:y=(x﹣h)2﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折,x轴上方的图象保持不变,就组成了函数ƒ的图象.
(1)若点A的坐标为(1,0).
①求抛物线l的表达式,并直接写出当x为何值时,函数ƒ的值y随x的增大而增大;
②如图2,若过A点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P,Q,且S△ABQ=2S△ABP,求点P的坐标;
(2)当2<x<3时,若函数f的值随x的增大而增大,直接写出h的取值范围.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)①利用待定系数法求抛物线的解析式,由对称性求点B的坐标,根据图象写出函数ƒ的值y随x的增大而增大(即呈上升趋势)的x的取值;
②如图2,作辅助线,构建对称点F和直角角三角形AQE,根据S△ABQ=2S△ABP,得QE=2PD,证明△PAD∽△QAE,则,得AE=2AD,设AD=a,根据QE=2FD列方程可求得a的值,并计算P的坐标;
(2)先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标,根据图象中呈上升趋势的部分,有两部分:分别讨论,并列不等式或不等式组可得h的取值.
【解答】解:(1)①把A(1,0)代入抛物线y=(x﹣h)2﹣2中得:
(x﹣h)2﹣2=0,
解得:h=3或h=﹣1,
∵点A在点B的左侧,
∴h>0,
∴h=3,
∴抛物线l的表达式为:y=(x﹣3)2﹣2,
∴抛物线的对称轴是:直线x=3,
由对称性得:B(5,0),
由图象可知:当1<x<3或x>5时,函数ƒ的值y随x的增大而增大;
②如图2,作PD⊥x轴于点D,延长PD交抛物线l于点F,作QE⊥x轴于E,则PD∥QE,
由对称性得:DF=PD,
∵S△ABQ=2S△ABP,
∴AB•QE=2×AB•PD,
∴QE=2PD,
∵PD∥QE,
∴△PAD∽△QAE,
∴,
∴AE=2AD,
设AD=a,则OD=1+a,OE=1+2a,P(1+a,﹣[(1+a﹣3)2﹣2]),
∵点F、Q在抛物线l上,
∴PD=DF=﹣[(1+a﹣3)2﹣2],
QE=(1+2a﹣3)2﹣2,
∴(1+2a﹣3)2﹣2=﹣2[(1+a﹣3)2﹣2],
解得:a=或a=0(舍),
∴P(,);
(2)当y=0时,(x﹣h)2﹣2=0,
解得:x=h+2或h﹣2,
∵点A在点B的左侧,且h>0,
∴A(h﹣2,0),B(h+2,0),
如图3,作抛物线的对称轴交抛物线于点C,
分两种情况:
①由图象可知:图象f在AC段时,函数f的值随x的增大而增大,
则,
∴3≤h≤4,
②由图象可知:图象f点B的右侧时,函数f的值随x的增大而增大,
即:h+2≤2,
h≤0,
综上所述,当3≤h≤4或h≤0时,函数f的值随x的增大而增大.
【点评】本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定,与方程相结合,找等量关系,第二问还运用了
【能力篇】
11. (2018·湖北江汉·12分)抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=t(t<)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.
(1)点A,B,D的坐标分别为 (,0) , (3,0) , (,) ;
(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;
(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标;
(2)由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围;
(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m,分m<或m>3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解.
【解答】解:(1)当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0,
解得:x1=,x2=3,
∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(3,0).
∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x2﹣x)﹣1=﹣(x﹣)2+,
∴点D的坐标为(,).
故答案为:(,0);(3,0);(,).
(2)∵点E.点D关于直线y=t对称,
∴点E的坐标为(,2t﹣).
当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,
∴点C的坐标为(0,﹣1).
设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,
将B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,
,解得:,
∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1.
∵点E在△ABC内(含边界),
∴,
解得:≤t≤.
(3)当x<或x>3时,y=﹣x2+x﹣1;
当≤x≤3时,y=x2﹣x+1.
假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m.
①当m<或m>3时,点Q的坐标为(m,﹣x2+x﹣1)(如图1),
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,
整理,得:m1=,m2=,
∴点P的坐标为(,0)或(,0);
②当≤m≤3时,点Q的坐标为(m,x2﹣x+1)(如图2),
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,
整理,得:11m2﹣28m+12=0,
解得:m3=,m4=2,
∴点P的坐标为(,0)或(1,0).
综上所述:存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).
12. (2017绥化)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,与直线y=﹣+1交于点C(4,﹣2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作ME∥y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时,求△DEM的周长.
(3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到△A1O1B1,点A,O,B的对应点分别是点A1,O1,B1,若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)如图1,A与E重合,根据直线y=﹣x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长,由勾股定理得AB的长,利用等角的三角函数得:sin∠ABO=,cos∠ABO==,则可得DE和DM的长,根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标,即ME的长,相加得△DEM的周长;
(3)由旋转可知:O1A1⊥x轴,O1B1⊥y轴,设点A1的横坐标为x,则点B1的横坐标为x+1,所以点O1,A1不可能同时落在抛物线上,分以下两种情况:
①如图2,当点O1,B1同时落在抛物线上时,根据点O1,B1的纵坐标相等列方程可得结论;
②如图3,当点A1,B1同时落在抛物线上时,根据点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大,列方程可得结论.
【解答】解:(1)∵直线y=﹣x+1交y轴于点B,
∴B(0,1),
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C(4,﹣2).
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+1;
(2)如图1,∵直线y=﹣x+1交x轴于点A,
当y=0时,﹣ x+1=0,
x=,
∴A(,0),
∴OA=,
在Rt△AOB中,
∵OB=1,
∴AB=,
∴sin∠ABO=,cos∠ABO==,
∵ME∥x轴,
∴∠DEM=∠ABO,
∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,
∴∠EDM=90°,
∴DE=ME•cos∠DEM=ME,
DM=ME•sin∠DEM=ME,
当点E在x轴上时,E和A重合,则m=OA=,
当x=时,y=﹣×+×+1=;
∴ME=,
∴DE==,DM==,
∴△DEM的周长=DE+DM+ME=++=;
(3)由旋转可知:O1A1⊥x轴,O1B1⊥y轴,设点A1的横坐标为x,则点B1的横坐标为x+1,
∵O1A1⊥x轴,
∴点O1,A1不可能同时落在抛物线上,分以下两种情况:
①如图2,当点O1,B1同时落在抛物线上时,
点O1,B1的纵坐标相等,
∴﹣=﹣(x+1)2+(x+1)+1,
解得:x=,
此时点A1的坐标为(,),
②如图3,当点A1,B1同时落在抛物线上时,
点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大,
﹣=﹣(x+1)2+(x+1)+1,
解得:x=﹣,
此时A1(﹣,),
综上所述,点A1(,)或(﹣,).
13. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图,抛物线y=ax2+4x+c(a≠0)经过点A(﹣1,0),点E(4,5),与y轴交于点B,连接AB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将△ABO绕点O旋转,点B的对应点为点F.
①当点F落在直线AE上时,求点F的坐标和△ABF的面积;
②当点F到直线AE的距离为时,过点F作直线AE的平行线与抛物线相交,请直接写出交点的坐标.
【解答】解:(1)将A,E点坐标代入函数解析式,得
,解得,抛物线的解析式是y=﹣x2+4x+5,(2)设AE的解析式为y=kx+b,将A,E点坐标代入,得
,解得,AE的解析式为y=x+1,x=0时,y=1即C(0,1),设F点坐标为(n,n+1),由旋转的性质得:OF=OB=5,n2+(n+1)2=25,解得n1=﹣4,n2=3,F(﹣4,﹣3),F(3,4),当F(﹣4,﹣3)时如图1,S△ABF=S△BCF﹣S△ABC=BC•|xF|﹣BC•|xA|=BC•(xA﹣xF)
S△ABF=×4(﹣1+4)=6;
当F(3,4)时,如图2,S△ABF=S△BCF+S△ABC=BC•|xF|+BC•|xA|=BC•(xF﹣xA)
S△ABF=×4(3+1)=8;
(3)如图3.
∵∠HCG=∠ACO,∠HGC=∠COA,∴△HGC∽△COA.
∵OA=OC=1,∴CG=HG=,由勾股定理,得
HC==2,直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位,l的解析是为y=x+3,l1的解析是为y=x﹣1,联立解得x1=,x2=,,解得x3=,x4=,F点的坐标为(,),(,),(,),(,).
14. (2017贵州)如图,⊙M的圆心M(﹣1,2),⊙M经过坐标原点O,与y轴交于点A,经过点A的一条直线l解析式为:y=﹣x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C(﹣4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:直线l是⊙M的切线;
(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E,PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小?若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x+4),将点M的坐标代入可求得a的值,从而得到抛物线的解析式;
(2)连接AM,过点M作MG⊥AD,垂足为G.先求得点A和点B的坐标,可求得,可得到AG、ME、OA、OB的长,然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD,故此可证明AM⊥AB;
(3))先证明∠FPE=∠FBD.则PF:PE:EF=:2:1.则△PEF的面积=PF2,设点P的坐标为(x,﹣x2﹣x+),则F(x,﹣x+4).然后可得到PF与x的函数关系式,最后利用二次函数的性质求解即可.
【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x+4),将点M的坐标代入得:﹣9a=2,解得:a=﹣.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+.
(2)连接AM,过点M作MG⊥AD,垂足为G.
把x=0代入y=﹣x+4得:y=4,
∴A(0,4).
将y=0代入得:0=﹣x+4,解得x=8,
∴B(8,0).
∴OA=4,OB=8.
∵M(﹣1,2),A(0,4),
∴MG=1,AG=2.
∴tan∠MAG=tan∠ABO=.
∴∠MAG=∠ABO.
∵∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠MAG+∠OAB=90°,即∠MAB=90°.
∴l是⊙M的切线.
(3)∵∠PFE+∠FPE=90°,∠FBD+∠PFE=90°,
∴∠FPE=∠FBD.
∴tan∠FPE=.
∴PF:PE:EF=:2:1.
∴△PEF的面积=PE•EF=×PF•PF=PF2.
∴当PF最小时,△PEF的面积最小.
设点P的坐标为(x,﹣x2﹣x+),则F(x,﹣x+4).
∴PF=(﹣x+4)﹣(﹣x2﹣x+)=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=(x﹣)2+.
∴当x=时,PF有最小值,PF的最小值为.
∴P(,).
∴△PEF的面积的最小值为=×()2=.
15. (2018·湖北咸宁·10分)如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A.B两点,与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限抛物线上的点,连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的数关系式,并求出PQ与OQ的比值的最大值;
(3)点D是抛物线对称轴上的一动点,连接OD.CD,设△ODC外接圆的圆心为M,当sin∠ODC的值最大时,求点M的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x+3;(2)y=﹣m2+m,PQ与OQ的比值的最大值为;(3)点M的坐标为(﹣1,)或(﹣1,﹣).
【解析】【分析】(1)根据直线解析式求得点A.B的坐标,将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得;
(2)过点P作y轴的平行线交AB于点E,据此知△PEQ∽△OBQ,根据对应边成比例得y=PE,由P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3)得PE=﹣m2+m,结合y=PE可得函数解析式,利用二次函数性质得其最大值;
(3)设CO的垂直平分线与CO交于点N,知点M在CO的垂直平分线上,连接OM、CM、DM,根据∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=,当MD取最小值时,sin∠ODC最大,据此进一步求解可得.
【详解】(1)在y=﹣x+3种,令y=0得x=4,令x=0得y=3,
∴点A(4,0)、B(0,3),
把A(4,0)、B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3;
(2)如图1,过点P作y轴的平行线交AB于点E,
则△PEQ∽△OBQ,∴,
∵=y、OB=3,∴y=PE,
∵P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3),
则PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m,
∴y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+,
∵0<m<3,∴当m=2时,y最大值=,∴PQ与OQ的比值的最大值为;
(3)如图,由抛物线y=﹣x2+x+3易求C(﹣2,0),对称轴为直线x=1,
∵△ODC的外心为点M,
∴点M在CO的垂直平分线上,
设CO的垂直平分线与CO交于点N,连接OM、CM、DM,
则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD,
∴sin∠ODC=sin∠OMN=,
又MO=MD,∴当MD取最小值时,sin∠ODC最大,
此时⊙M与直线x=1相切,MD=2,
MN==,∴点M(﹣1,﹣),
根据对称性,另一点(﹣1,)也符合题意;
综上所述,点M的坐标为(﹣1,)或(﹣1,﹣).
【点睛】本题考查了函数与几何综合题,涉及到待定系数法、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、最值问题等,综合性质较强,有一定的难度,正确添加辅助线,利用数形结合思想、灵活应用相关知识是解题的关键.
16. (2017日照)如图所示,在平面直角坐标系中,⊙C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上,与⊙C交于N,H,P三点,P为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.
(1)求线段CD的长及顶点P的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)设抛物线交x轴于A,B两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形OPMN=8S△QAB,且△QAB∽△OBN成立?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)连接OC,由勾股定理可求得MN的长,则可求得OC的长,由垂径定理可求得OD的长,在Rt△OCD中,可求得CD的长,则可求得PD的长,可求得P点坐标;
(2)可设抛物线的解析式为顶点式,再把N点坐标代入可求得抛物线解析式;
(3)由抛物线解析式可求得A、B的坐标,由S四边形OPMN=8S△QAB可求得点Q到x轴的距离,且点Q只能在x轴的下方,则可求得Q点的坐标,再证明△QAB∽△OBN即可.
【解答】解:
(1)如图,连接OC,
∵M(4,0),N(0,3),
∴OM=4,ON=3,
∴MN=5,
∴OC=MN=,
∵CD为抛物线对称轴,
∴OD=MD=2,
在Rt△OCD中,由勾股定理可得CD===,
∴PD=PC﹣CD=﹣=1,
∴P(2,﹣1);
(2)∵抛物线的顶点为P(2,﹣1),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x﹣2)2﹣1,
∵抛物线过N(0,3),
∴3=a(0﹣2)2﹣1,解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3;
(3)在y=x2﹣4x+3中,令y=0可得0=x2﹣4x+3,解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴AB=3﹣1=2,
∵ON=3,OM=4,PD=1,
∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB,
∴S△QAB=1,
设Q点纵坐标为y,则×2×|y|=1,解得y=1或y=﹣1,
当y=1时,则△QAB为钝角三角形,而△OBN为直角三角形,不合题意,舍去,
当y=﹣1时,可知P点即为所求的Q点,
∵D为AB的中点,
∴AD=BD=QD,
∴△QAB为等腰直角三角形,
∵ON=OB=3,
∴△OBN为等腰直角三角形,
∴△QAB∽△OBN,
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,﹣1).
17. (2017四川南充)如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为﹣,直线l的解析式为y=x.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l′,l′与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上点E′时(图2),求直线l′的解析式;
(3)在(2)的条件下,l′与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′,P为l′上的动点,当△PB′N′为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,﹣),设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣,把(0,0)代入得到a=,即可解决问题;
(2)如图1中,设E(m,0),则C(m, m2﹣m),B(﹣m2+m,0),由E、B关于对称轴对称,可得=2,由此即可解决问题;
(3)分两种情形求解即可①当P1与N重合时,△P1B′N′是等腰三角形,此时P1(0,﹣3).②当N′=N′B′时,设P(m,m﹣3),列出方程解方程即可;
【解答】解:(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,﹣),设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣,
把(0,0)代入得到a=,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣2)2﹣,即y=x2﹣x.
(2)如图1中,设E(m,0),则C(m, m2﹣m),B(﹣m2+m,0),
∵E′在抛物线上,
∴E、B关于对称轴对称,
∴=2,
解得m=1或6(舍弃),
∴B(3,0),C(1,﹣2),
∴直线l′的解析式为y=x﹣3.
(3)如图2中,
①当P1与N重合时,△P1B′N′是等腰三角形,此时P1(0,﹣3).
②当N′=N′B′时,设P(m,m﹣3),
则有(m﹣)2+(m﹣3﹣)2=(3)2,
解得m=或,
∴P2(,),P3(,).
综上所述,满足条件的点P坐标为(0,﹣3)或(,)或(,).
18. (2017广西河池)抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A,B(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)抛物线的对称轴上存在点P,使∠APB=∠ABC,利用图1求点P的坐标;
(3)点Q在y轴右侧的抛物线上,利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小,并说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由抛物线解析式可求得B、C的坐标,利用待定系数法可求得直线BC的解析式;
(2)由直线BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°,设抛物线对称轴交直线BC于点D,交x轴于点E,结合二次函数的对称性可求得PD=BD,在Rt△BDE中可求得BD,则可求得PE的长,可求得P点坐标;
(3)设Q(x,﹣x2+2x+3),当∠OCQ=∠OCA时,利用两角的正切值相等可得到关于x的方程,可求得Q点的横坐标,再结合图形可比较两角的大小.
【解答】解:
(1)在y=﹣x2+2x+3中,令y=0可得0=﹣x2+2x+3,解得x=﹣1或x=3,令x=0可得y=3,
∴B(3,0),C(0,3),
∴可设直线BC的解析式为y=kx+3,
把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直线BC解析式为y=﹣x+3;
(2)∵OB=OC,
∴∠ABC=45°,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线对称轴为x=1,
设抛物线对称轴交直线BC于点D,交x轴于点E,当点P在x轴上方时,如图1,
∵∠APB=∠ABC=45°,且PA=PB,
∴∠PBA==67.5°,∠DPB=∠APB=22.5°,
∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°,
∴∠DPB=∠DBP,
∴DP=DB,
在Rt△BDE中,BE=DE=2,由勾股定理可求得BD=2,
∴PE=2+2,
∴P(1,2+2);
当点P在x轴下方时,由对称性可知P点坐标为(1,﹣2﹣2);
综上可知P点坐标为(1,2+2)或(1,﹣2﹣2);
(3)设Q(x,﹣x2+2x+3),当点Q在x轴下方时,如图2,过Q作QF⊥y轴于点F,
当∠OCA=∠OCQ时,则△QEC∽△AOC,
∴==,即=,解得x=0(舍去)或x=5,
∴当Q点横坐标为5时,∠OCA=∠OCQ;
当Q点横坐标大于5时,则∠OCQ逐渐变小,故∠OCA>∠OCQ;
当Q点横坐标小于5且大于0时,则∠OCQ逐渐变大,故∠OCA<∠OCQ.
【探究篇】
19. (2017哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)首先求出点B、C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)根据S△ABC=S△AMC+S△AMB,由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式;
(3)如图2,由抛物线对称性可得D(2,﹣3),过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,可得四边形OCKB为正方形,过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H,OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R,可得四边形OHQI为矩形,可证△OBQ≌△OCH,△OSR≌△OGR,得到tan∠QCT=tan∠TBK,设ST=TD=m,可得SK=2m+1,CS=2﹣2m,TK=m+1=BR,SR=3﹣m,RK=2﹣m,在Rt△SKR中,根据勾股定理求得m,可得tan∠PCD=,过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′,得到P(t,﹣ t﹣3),可得﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3,求得t,再根据MN=d求解即可.
【解答】解:(1)∵直线y=x﹣3经过B、C两点,
∴B(3,0),C(0,﹣3),
∵y=x2+bx+c经过B、C两点,
∴,
解得,
故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图1,y=x2﹣2x﹣3,
y=0时,x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),
∴OA=1,OB=OC=3,
∴∠ABC=45°,AC=,AB=4,
∵PE⊥x轴,
∴∠EMB=∠EBM=45°,
∵点P的横坐标为1,
∴EM=EB=3﹣t,
连结AM,
∵S△ABC=S△AMC+S△AMB,
∴AB•OC=AC•MN+AB•EM,
∴×4×3=×d+×4(3﹣t),
∴d=t;
(3)如图2,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴对称轴为x=1,
∴由抛物线对称性可得D(2,﹣3),
∴CD=2,
过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,
∴四边形OCKB为正方形,
∴∠OBK=90°,CK=OB=BK=3,
∴DK=1,
∵BQ⊥CP,
∴∠CQB=90°,
过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H,OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R,
∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°,
∴四边形OHQI为矩形,
∵∠OCQ+∠OBQ=180°,
∴∠OBQ=∠OCH,
∴△OBQ≌△OCH,
∴QG=OS,∠GOB=∠SOC,
∴∠SOG=90°,
∴∠ROG=45°,
∵OR=OR,
∴△OSR≌△OGR,
∴SR=GR,
∴SR=CS+BR,
∵∠BOR+∠OBI=90°,∠IBO+∠TBK=90°,
∴∠BOR=∠TBK,
∴tan∠BOR=tan∠TBK,
∴=,
∴BR=TK,
∵∠CTQ=∠BTK,
∴∠QCT=∠TBK,
∴tan∠QCT=tan∠TBK,
设ST=TD=m,
∴SK=2m+1,CS=2﹣2m,TK=m+1=BR,SR=3﹣m,RK=2﹣m,
在Rt△SKR中,
∵SK2+RK2=SR2,
∴(2m+1)2+(2﹣m)2=(3﹣m)2,
解得m1=﹣2(舍去),m2=;
∴ST=TD=,TK=,
∴tan∠TBK==÷3=,
∴tan∠PCD=,
过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′,
∵CF′=OE′=t,
∴PF′=t,
∴PE′=t+3,
∴P(t,﹣ t﹣3),
∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3,
解得t1=0(舍去),t2=.
∴MN=d=t=×=.
20. (2017.江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC、BC.
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;
(2)求△ABC外接圆的半径;
(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标,利用对称性可求得C的坐标,利用待定系数法可求得曲线N的解析式;
(2)由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点,即直线y=x与抛物线对称轴的交点,可求得外接圆的圆心,再利用勾股定理可求得半径的长;
(3)设Q(x,0),当BC为平行四边形的边时,则有BQ∥PC且BQ=PC,从而可用x表示出P点的坐标,代入抛物线解析式可得到x的方程,可求得Q点坐标,当BC为平行四边形的对角线时,由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标,从而可表示出P点坐标,代入抛物线解析式可得到关于x的方程,可求得P点坐标.
【解答】解:
(1)在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得x2﹣2x﹣3=0,解得x=﹣1或x=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
令x=0可得y=﹣3,
又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N,
∴C(0,3),
设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C的坐标代入可得,解得,
∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3;
(2)设△ABC外接圆的圆心为M,则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点,
∵B(3,0),C(0,3),
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,
又线段AB的解析式为曲线N的对称轴,即x=1,
∴M(1,1),
∴MB==,
即△ABC外接圆的半径为;
(3)设Q(t,0),则BQ=|t﹣3|
①当BC为平行四边形的边时,如图1,则有BQ∥PC,
∴P点纵坐标为3,
即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P,x轴上对应的即为点Q,
当点P在曲线M上时,在y=x2﹣2x﹣3中,令y=3可解得x=1+或x=1﹣,
∴PC=1+或PC=﹣1,
当x=1+时,可知点Q在点B的右侧,可得BQ=t﹣3,
∴t﹣3=1+,解得t=4+,
当x=1﹣时,可知点Q在点B的左侧,可得BQ=3﹣t,
∴3﹣t=﹣1,解得t=4﹣,
∴Q点坐标为(4+,0)或(4﹣,0);
当点P在曲线N上时,在y=﹣x2+2x+3中,令y=3可求得x=0(舍去)或x=2,
∴PC=2,
此时Q点在B点的右侧,则BQ=t﹣3,
∴t﹣3=2,解得t=5,
∴Q点坐标为(5,0);
②当BC为平行四边形的对角线时,
∵B(3,0),C(0,3),
∴线段BC的中点为(,),设P(x,y),
∴x+t=3,y+0=3,解得x=3﹣t,y=3,
∴P(3﹣t,3),
当点P在曲线M上时,则有3=(3﹣t)2﹣2(3﹣t)﹣3,解得t=2+或t=2﹣,
∴Q点坐标为(2+,0)或(2﹣,0);
当点P在曲线N上时,则有3=﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3,解得t=3(Q、B重合,舍去)或t=1,
∴Q点坐标为(1,0);
综上可知Q点的坐标为(4+,0)或(4﹣,0)或(5,0)或(2+,0)或(2﹣,0)或(1,0).
【参考答案】
备战中考初中数学导练学案50讲—第46讲二次函数与四边形的综合(讲练版): 这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第46讲二次函数与四边形的综合(讲练版),共44页。学案主要包含了疑难点拨等内容,欢迎下载使用。
备战中考初中数学导练学案50讲—第44讲四边形与图像变换的综(讲练版): 这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第44讲四边形与图像变换的综(讲练版),共31页。学案主要包含了疑难点拨等内容,欢迎下载使用。
备战中考初中数学导练学案50讲—第32讲有关圆的计算(讲练版): 这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第32讲有关圆的计算(讲练版),共26页。学案主要包含了疑难点拨等内容,欢迎下载使用。