备战中考初中数学导练学案50讲—第13讲二次函数（暂不涉及复杂综合题）（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第13讲 二次函数（暂不涉及复杂综合题）
【疑难点拨】
1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点：
（1）据抛物线的特征，判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数a、b、c的符号容易混淆；
（2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误，还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好；
（3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方.
求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）和交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还容易出错.
3. 忽视自变量的实际取值范围而出错.
在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时，利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错.
【基础篇】
一、选择题：
1. 关于函数y=2x2﹣4x，下列叙述中错误的是（　　）
A．函数图象经过原点
B．函数图象的最低点是（1，﹣2）
C．函数图象与x轴的交点为（0，0），（2，0）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
2. （2018·台湾·分）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（　　）
A．1 B．9 C．16 D．24
3. （2018•四川成都•3分）关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ）
A. 图像与轴的交点坐标为       B. 图像的对称轴在轴的右侧      
C. 当 时，的值随值的增大而减小   D. 的最小值为-3
4. （2018•山东菏泽•3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
5. （2018•山东滨州•3分）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：
6. （2018·广东广州·3分）已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）
7. （2018·四川自贡·4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 　．
8. (2018四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

三、解答与计算题：
9. 某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）请写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？




10. 如图所示，电源电压U保持不变，当滑动变阻器的滑片P从中点c移到b时，电压表前后示数之比为1.4：1．
求：（1）若变阻器总电阻Rab=48Ω，则电阻R的阻值是多少？
（2）若电源电压为12V，则在滑动变阻器的滑片P从a移到b的过程中，会使变阻器上消耗的功率最大，这个最大值是多少？

　



【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•北京•2分） 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A． B． C． D．
12. （2018·山东威海·3分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　）

A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
13. （2018·山东潍坊·3分）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
二、填空题：
14. （2018·湖北省孝感·3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是　 　．

15. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于
4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是　 　（填写所有正确结论的序号）．

三、解答与计算题：
16. （2018•山东滨州•12分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？








17. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）






18. 定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．
①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．







【探究篇】
19. （2018•江苏扬州•10分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．




















20. （2018•江西•12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验
(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点 (-1,0),则= ，顶点坐标为 ，
该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .
抽象感悟
我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),以轴上的点M(0,m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”.
(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求
m的取值范围.
问题解决
(3) 已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)
①若抛物线的衍生抛物线为y'=bx2-2bx+a2(b≠0),两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1 ,其顶点为A1；关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…(为 正整数).求AnAn+1的长(用含的式子表示).





第13讲 二次函数（暂不涉及复杂综合题）
【疑难点拨】
1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点：
（1）据抛物线的特征，判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数a、b、c的符号容易混淆；
（2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误，还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好；
（3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方.
求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）和交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还容易出错.
3. 忽视自变量的实际取值范围而出错.
在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时，利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错.
【基础篇】
一、选择题：
1. 关于函数y=2x2﹣4x，下列叙述中错误的是（　　）
A．函数图象经过原点
B．函数图象的最低点是（1，﹣2）
C．函数图象与x轴的交点为（0，0），（2，0）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可解决问题．
【解答】解：对于抛物线y=2x2﹣4x，
令x=0则y=0，
令y=0则x=2或0，
∴抛物线经过原点，故A正确，
抛物线与x轴交于点（0，0），（2，0），故C正确，
∵y=2（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点为（1，﹣2），故B正确．
∵x＞1时，y随x的增大而增大，故D错误，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，配方法确定顶点坐标，函数的增减性等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
2. （2018·台湾·分）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（　　）
A．1 B．9 C．16 D．24
【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；
【解答】解：如图，

由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
3. （2018•四川成都•3分）关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ）
A. 图像与轴的交点坐标为       B. 图像的对称轴在轴的右侧      
C. 当 时，的值随值的增大而减小   D. 的最小值为-3
【答案】D
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、 对称轴为直线x=-1，对称轴再y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、 当x＜-1时y的值随值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。
4. （2018•山东菏泽•3分））已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0．
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，
故选：B．

【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
5. （2018•山东滨州•3分）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
二、填空题：
6. （2018·广东广州·3分）已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=1＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大.
故答案为：增大.
【分析】根据二次函数性质：当a＞0时，在对称轴右边，y随x的增大而增大.由此即可得出答案.
7. （2018·四川自贡·4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为　﹣1　．
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．
8. (2018四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

【答案】4 -4
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），

依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,
∵C（0,2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）,
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2,
∴x1=2 ，x2=-2 ，
∴下降之后的水面宽为：4 .
∴水面宽度增加了：4 -4.
故答案为：4 -4.
【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
三、解答与计算题：
9. 某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）请写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
【分析】（1）题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式；
（2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，
列出方程式为：y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]，
即y=﹣10x2+280x﹣1600（10≤x≤20）；
（2）将（1）中方程式配方得：
y=﹣10（x﹣14）2+360，
∴当x=14时，y最大=360元，
答：售价为14元时，利润最大．
【点评】本题主要考查对与二次函数的应用，要注意找好题中的等量关系．
10. 如图所示，电源电压U保持不变，当滑动变阻器的滑片P从中点c移到b时，电压表前后示数之比为1.4：1．
求：（1）若变阻器总电阻Rab=48Ω，则电阻R的阻值是多少？
（2）若电源电压为12V，则在滑动变阻器的滑片P从a移到b的过程中，会使变阻器上消耗的功率最大，这个最大值是多少？

　【分析】（1）设P在c点和b点时，电压表示数分别为U1和U2，求出U1和U2，列出等式关系，求出R，
（2）设P在从a移到b的过程中，电路中电流为I，滑动变阻器连入电路中的电阻为Rp，加在R和Rp上的电压分别为UR，UP，UP上消耗的功率为P，列出p与I的关系式，求最值．
【解答】解：（1）设P在c点和b点时，电压表示数分别为U1和U2
即P在c点时电源电压U1=
当P在b时，电源电压U2=．
∴
即1.4（R+24）=（R+48），
得R=36Ω．
（2）设P在从a移到b的过程中，电路中电流为I，滑动变阻器连入电路中的电阻为Rp，加在R和Rp上的电压分别为UR，UP，UP上消耗的功率为P．
由题意，得P=UPI=（U﹣UR）I=（U﹣IR）I=﹣RI2+UI．
根据二次函数的性质，
∵﹣R＜0，
∴P有最大值．
∴P最大值．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•北京•2分） 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，故选B．
【考点】抛物线的对称轴．
12. （2018·山东威海·3分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　）

A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．
【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，
整理得x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；
y=4x﹣x2
=﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
13. （2018·山东潍坊·3分）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
二、填空题：
14. （2018·湖北省孝感·3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是　x1=﹣2，x2=1　．

【答案】，
【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．
详解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1
故答案为x1=-2，x2=1．
点睛：本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题
15. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于
4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是　②③　（填写所有正确结论的序号）．

【分析】①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线y1=﹣x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
此题得解．
【解答】解：①当x＞2时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②当x＜0时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＜0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有﹣x2+4x=2，
解得：x1=2﹣（舍去），x2=2+；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
三、解答与计算题：
16. （2018•山东滨州•12分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
【解答】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．
又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，
∴当x=32时，W=2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000
解这个方程得：x1=30，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000
∵k=﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小．
∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
18. 定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．
①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．
　

【解答】解：（1）y=ax﹣3的相关函数y=，
将A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，
解得a=1；
（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，
①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+
得m2﹣4m+=，
解得：m=2+（舍去），或m=2﹣，
当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：
﹣m2+4m﹣=，
解得：m=2+或m=2﹣．
综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣；
②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为，
当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，
当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．
【探究篇】
19. （2018•江苏扬州•10分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），
w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10（x﹣50）2=﹣250，
x﹣50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
20. （2018•江西•12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验
(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点 (-1,0),则= ，顶点坐标为 ，
该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .
抽象感悟
我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),以轴上的点M(0,m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”.
(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求
m的取值范围.
问题解决
(3) 已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)
①若抛物线的衍生抛物线为y'=bx2-2bx+a2(b≠0),两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1 ,其顶点为A1；关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…(为 正整数).求AnAn+1的长(用含的式子表示).

【解析】 求解体验
(1)把(-1,0)代入 y=-x2+bx-3 得 b=-4
∴y=-x2-4x-3=－(x+2)2+1
∴顶点坐标是(-2,1)
∵(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1)
∴成中心对称的抛物线表达式是：
y=x-22+1
即 y=x2-4x+5 (如右图)
抽象感悟
(2) ∵ y=-x2-2x+5
=-(x+1)2+6
∴ 顶点是（-1,6）
∵ (-1,6)关于(0,m)的对称点是(1,2m-6)
∴ y'=(x-1)2+2m-6
∵ 两抛物线有交点
∴ -(x+1)2+6=(x-1)2+2m-6有解
∴ x2=5-m 有解
∴ 5-m≥0
∴ m≤5 (如右图)
问题解决
(3) ① ∵ y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b
∴ 顶点（-1，-a-b）
代入 y'=bx2-2bx+a2 得：
b+2b+a2=-a-b ①
∵ y'=bx2-2bx+a2=b(x-1)2+a2-b
∴ 顶点（1，a2-b）
代入 y=ax2+2ax-b 得：
a+2a-b=a2-b ②
由① ② 得 a2+a+4b=0a2-3a=0
∵ a≠0 , b≠0
∴ a=3 b=-3
∴ 两顶点坐标分别是（-1,0），（1,12）
由中点坐标公式得
“衍生中心”的坐标是（0,6）
② 如图，设AA1 , AA2 … AAn , AAn+1 与轴分别相于B1 , B2 … Bn , Bn+1 .
则A与A1 ,A与A2,… A与An，A与An+1 分别关于B1 , B2 … Bn , Bn+1 中心对称.
∴B1 B2 , B2 B3 … Bn Bn+1 分别是△AA1A2 , AA2A3 …AAnAn+1 的中位线，
∴A1A2=2B1 B2 ，A2A3=2B2 B3 … AnAn+1=2Bn Bn+1
∵Bn(0,k+n2) , Bn+1(0 , k+n+12)
∴AnAn+1=2Bn Bn+1 = 2[k+n+12-(k+n2)]=4n+2