备战中考初中数学导练学案50讲—第31讲正多边形与圆（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第31讲 正多边形与圆
【疑难点拨】
1. 转化是“正多边形与圆”中的灵魂
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。
关于正多边形与圆的计算问题。解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。正三角形、正六边形和正八边形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。
2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主。
【基础篇】
一、选择题：
1. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是(　　)
A．72° B．60° C．54° D．36°

2. （2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（　　）
A． B．2 C． D．1
3. 若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于(　　)
A． 120° B． 6° C． 114° D． 114°或6°
4. （2017湖南株洲）
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5. （2017·资阳）边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC为（ ）°.

A． 24° B． 12° C． 45° D．30°
二、填空题：
6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为　 ．

7. （2017毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为　 　cm2．
8. （2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是　 ．

三、解答与计算题：
9. 如图，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点．
求证：△ABF≌△BCG.






10. 如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．






【能力篇】
一、选择题：
11. （2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
12. （2017•黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（　　）

A． B． C． D．
13. （2018·四川宜宾·3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S的值是（ ）．（结果保留根号）
A．2 B． C．3 D．4
二、填空题：
14. （2017绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为　 ．
15. （2017湖南岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈==3，那么当n=12时，π≈=　 　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）

三、解答与计算题：
16. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．





17. 如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为∶1；
(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．





18. 如图9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．




【探究篇】
19. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
 
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)若△ABC中AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.



20. 如图①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.

(1)求图①中∠APB的度数．
(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．










第31讲 正多边形与圆
【疑难点拨】
1. 转化是“正多边形与圆”中的灵魂
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。
关于正多边形与圆的计算问题。解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。正三角形、正六边形和正八边形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。
2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主。
【基础篇】
一、选择题：
1. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是(　　)
A．72° B．60° C．54° D．36°

[解析] ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠AOB＝360°÷5＝72°.
2. （2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（　　）
A． B．2 C． D．1
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE=OA=．
故选A．

3. 若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于(　　)
A． 120° B． 6° C． 114° D． 114°或6°
【解析】【分析】先根据题意画出图形，根据正多边形与圆的关系分别求出中心角∠AOC=60°，∠AOB=72°，再由等边对等角及三角形内角和定理分别求出∠OAC=54°，∠OAB=54°，然后分两种情况进行讨论：①AB、AC都在OA同侧；②AB、AC在OA两侧．
【详解】如图，连接OA，OB，OC，
∵AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360∘6=60∘，∠AOB=360∘5=72°，
∵OA=OC=OB，
∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，
若AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAC-∠OAB=6°，
当AB、AC在OA两侧时，则∠BAC=∠OAC+∠OAB=54°+60°=114°．
∴∠BAC=6°或114°．

故选：D
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，等边对等角及三角形内角和定理，正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
4. （2017湖南株洲）
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
5. 5. （2017·资阳）边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC为（ ）°.

A． 24° B． 12° C． 45° D．30°
[解析] 正六边形的一个内角＝×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角＝×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB＝AC，∴∠ABC＝×(180°－132°)＝24°.
三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
二、填空题：
6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为　3　．

【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM==30°，
∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3；
故答案为：3．

7. （2017毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为　96　cm2．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．
【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD==60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OE=CE•tan60°=×=4cm，
∴S△OCD=CD•OE=×8×4=16cm2．
∴S正六边形=6S△OCD=6×16=96cm2．

8. （2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是　8+8　．

【考点】MM：正多边形和圆．.
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
【解答】解：由题意可得，
AD=2+×2=2+2，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2）=8+8，
故答案为：8+8．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本
三、解答与计算题：
9. 如图，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点．
求证：△ABF≌△BCG.

证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD.
∵F，G分别是BC，CD的中点，
∴BF＝BC，CG＝CD，∴BF＝CG.
在△ABF和△BCG中，
∵AB＝BC，∠ABF＝∠BCG，BF＝CG，
∴△ABF≌△BCG.
10. 如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．


证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，
即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，
∴＝＝＝＝，
∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，
∴五边形AEBCD是正五边形．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，

∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=；
如图2，

∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=；
如图3，

∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：、、，
∵（）2+（）2=（）2，
∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是××=，
故选：D．
12. （2017•黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（　　）

A． B． C． D．
【考点】M6：圆内接四边形的性质．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°，
∴OD==．
故选D．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
13. （2018·四川宜宾·3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S的值是（ ）．（结果保留根号）
A．2 B． C．3 D．4
【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．
【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为：2．故选A。

【点评】本题考查了正多边形和圆、
二、填空题：
14. （2017绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为　1：：　．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．
【解答】解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2×=1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2×，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2×，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：：，
故答案为：1：：．
15. （2017湖南岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈==3，那么当n=12时，π≈=　3.10　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）

【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r，d=2r，进而得到π≈=≈3.10．
【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为30°，即∠O=30°，∠ABO=∠A=75°，
作BC⊥AO于点C，则∠ABC=15°，
∵AO=BO=r，
∴BC=r，OC=r，
∴AC=（1﹣）r，
∵Rt△ABC中，cosA=，
即0.259=，
∴AB≈0.517r，
∴L=12×0.517r=6.207r，
又∵d=2r，
∴π≈=≈3.10，
故答案为：3.10

【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
三、解答与计算题：
16. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．

解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.

在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝R，由勾股定理可得AH＝＝＝R.
而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6××R×R＝48 ，解得R＝8，
即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.
17. 如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为∶1；
(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．

解：BE是⊙O的内接正十二边形的一边，
理由：连接OA，OB，OE，
在正方形ABCD中，
∠AOB＝90°，
在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝30°.
∵n＝＝12，
∴BE是正十二边形的边．
18. 如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

图24－3－9
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.

图①
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
方法二：如图②，连接OA，OB.

图②
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90°　72°　(3)∠MON＝.
【探究篇】
19. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
 
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)若△ABC中AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.

(1) 【答案】用尺规作出两边的垂直平分线(2分)
 作出圆(3分)
 ⊙O即为所求作的花园的位置
 (2) 【答案】∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
 ∴BC＝10米
 ∴△ABC外接圆的半径为5米(5分)
 ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.(6分)
 20. 如图①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.

(1)求图①中∠APB的度数．
(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
解：(1)∵点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在圆周上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN.
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°.
(2)90°　72°
(3)能推广到一般的正n边形的情况．
问题：正n边形ABCD…内接于⊙O，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P，求∠APB的度数．
结论：∠APB的度数为所在多边