备战中考初中数学导练学案50讲—第50讲跨学科结合与高中衔接问题（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第50讲 跨学科结合与高中衔接问题
【疑难点拨】
1. 跨学科问题特征：
跨学科型问题是指数学与其他学科的交叉运用，它考查运用数学知识解决其他科目中的问题的能力.让大家了解到数学的应用价值以及数学与其他学科的关系.
类型：
（1）与地理，时事，外语等学科的结合；
（2）与物理，化学，生物信息技术等的结合；
（3）与体育，寓言故事等的结合.
解题策略：
利用相关学科的知识、原理，建立数学模型（如函数模型，方程模型，不等式模型，几何模型，三角函数模型等），把其他学科的问题转化为数学问题，再把数学问题的答案还原成实际问题的答案.
2. 初高中知识衔接 
（1）因式分解初中一般只限于二次项系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
（2）初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
（3）二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
（4）图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
（5）含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
【基础篇】
一、选择题：
1. 《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础. 它是下列哪位数学家的著作（ ）
A．高斯 B．欧几里得 C．祖冲之 D．杨辉
2. 如图，一束光线与水平面成 的角度照射地面，现在地面上支放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成角的度数等于 ( )

A． B． C． D．
3. （2016山东省聊城市，3分）如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是( )．

A． B． C． D．
4. （2018•山东菏泽•3分）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：=（m，n）．已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么点与互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（　　）
A．=（3，2），=（﹣2，3） B．=（﹣1，1），=（+1，1）
C．=（3，20180），=（﹣，﹣1） D．=（，﹣），=（（）2，4）
二、填空题：
5. 如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是　 　；点P2014的坐标是　 　．

6. （2018•湖南省永州市•4分）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2y，若log22=1，则log216=　 　．
7. （2015广西崇左第18题3分）4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad﹣bc．若=12，则x=　　　　　　．
8. （2016·四川乐山·3分）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.
例如：，.
则下列结论：
①；
②；
若，则的取值范围是；
当时，的值为、、.
其中正确的结论有___▲__（写出所有正确结论的序号）.
三、解答与计算题：
9. （2017张家界）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3=　 　，i4=　 　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
10. （2017日照）阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．
例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为　 ；
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．


【能力篇】
一、选择题：
11. （2018年湖北省宜昌市3分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（　　）

A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1
12. （2018·四川巴中·3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2m
13. （2015•娄底，第10题3分）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（　　）


二、填空题：
14. （2018·重庆(A)·4分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮。其中，甲种粗粮每袋装有3千克粗粮，1千克粗粮，1千克粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克粗粮，2千克粗粮，2千克粗粮。甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中三种粗粮的成本价之和。已知粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%。若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 。
（）
15. （2017山东临沂）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为=（m，n）．
已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么与互相垂直，下列四组向量：
①=（2，1），=（﹣1，2）；
②=（cos30°，tan45°），=（1，sin60°）；
③=（﹣，﹣2），=（+，）；
④=（π0，2），=（2，﹣1）．
其中互相垂直的是　 　（填上所有正确答案的符号）．
三、解答与计算题：
16. 阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．
如果有＞0，求x的解集．
17. （2018·江苏常州·10分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=　 　，x3=　 　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD.DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．


18. （2018·四川自贡·10分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an
∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga（M•N）=logaM+logaN
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式　 　；
（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=　 　．



【探究篇】
19.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料煅烧到800 ℃,然后停止煅烧进行锻造操作.经过8 min时,材料温度降为600 ℃.煅烧时,温度y( ℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图),已知该材料初始温度是32 ℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围;
(2)根据工艺要求,当材料温度低于480 ℃时,须停止操作,那么锻造的操作时间有多长?


20.（2018•北京•7分）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．
已知点（，6），（，），（6，）．
（1）求（点，）；
（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；
（3）的圆心为（，0），半径为1．若（，），直接写出的取值范围．



第50讲 跨学科结合与高中衔接问题
【疑难点拨】
1. 跨学科问题特征：
跨学科型问题是指数学与其他学科的交叉运用，它考查运用数学知识解决其他科目中的问题的能力.让大家了解到数学的应用价值以及数学与其他学科的关系.
类型：
（1）与地理，时事，外语等学科的结合；
（2）与物理，化学，生物信息技术等的结合；
（3）与体育，寓言故事等的结合.
解题策略：
利用相关学科的知识、原理，建立数学模型（如函数模型，方程模型，不等式模型，几何模型，三角函数模型等），把其他学科的问题转化为数学问题，再把数学问题的答案还原成实际问题的答案.
2. 初高中知识衔接 
（1）因式分解初中一般只限于二次项系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
（2）初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
（3）二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
（4）图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
（5）含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
【基础篇】
一、选择题：
1. 《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础. 它是下列哪位数学家的著作（ ）
A．高斯 B．欧几里得 C．祖冲之 D．杨辉
【解析】《几何原本》是欧几里得的著作．故选B．
2. 如图，一束光线与水平面成 的角度照射地面，现在地面上支放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成角的度数等于 ( )

A． B． C． D．

【解析】∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠2，
∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线平行，
∴∠2=∠4，
又∵∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠3，
∵光线与水平面成60°的角度照射地面，
∴∠3=60°÷2=30°，
∴∠4=30°，即∠DCB=30°．
故选A．
3. （2016山东省聊城市，3分）如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是( )．

A． B． C． D．
【考点】概率公式；概率的意义．
【分析】求出随机闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，共有几种可能情况，以及能让灯泡L1，L2同时发光的有几种可能，由此即可解决问题．
【解答】解：∵随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个共有10种可能，能够使灯泡L1，L2同时发光有2种可能（S1，S2，S4或S1，S2，S5）．
∴随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是=．
故答案为．故选B。
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4. （2018•山东菏泽•3分）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：=（m，n）．已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么点与互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（　　）
A．=（3，2），=（﹣2，3） B．=（﹣1，1），=（+1，1）
C．=（3，20180），=（﹣，﹣1） D．=（，﹣），=（（）2，4）
【考点】LM：*平面向量；24：立方根；6E：零指数幂．
【分析】根据垂直的向量满足的条件判断即可；
【解答】解：A、∵3×（﹣2）+2×3=0，∴与垂直，故本选项符合题意；
B、∵（﹣1）（+1）+1×1=2≠0，∴与不垂直，故本选项不符合题意；
C、∵3×（﹣）+1×（﹣1）=﹣2≠，∴与不垂直，故本选项不符合题意；
D、∵×（）2+（﹣）×4=2≠0，∴与不垂直，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量、平面向量垂直的条件，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
二、填空题：
5. 如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是　 　；点P2014的坐标是　 　．

解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；
∵2014÷6=335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（8，3），（5，0）．

【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
6. （2018•湖南省永州市•4分）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2y，若log22=1，则log216=　4　．
【分析】利用log2（x•y）=log2x+log2y得到log216=log22+log22+log22+log22，然后根据log22=1进行计算．
【解答】解：log216=log2（2•2•2•2）=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
7. （2015广西崇左第18题3分）4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad﹣bc．若=12，则x=　　　　　　．
【解析】 =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1.
点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解决.本题新定义的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同类项法则等进行化简，最后转化为解方程确定结果.
8. （2016·四川乐山·3分）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.
例如：，.
则下列结论：
①；
②；
若，则的取值范围是；
当时，的值为、、.
其中正确的结论有___▲__（写出所有正确结论的序号）.
答案：①③
解析：①，正确；
②取特殊值＝1时，，故错误；
若，则，即的取值范围是，正确；
当时，有，不能同时大于1小于2，
则的值可取不到，错误。
三、解答与计算题：
9. （2017张家界）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3=　 　，i4=　 　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
【考点】2C：实数的运算．
【分析】（1）把i2=﹣1代入求出即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=﹣1代入求出即可；
（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
【解答】解：（1）i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．
故答案为：﹣i，1；
（2）（1+i）×（3﹣4i）
=3﹣4i+3i﹣4i2
=3﹣i+4
=7﹣i；
（3）i+i2+i3+…+i2017
=i﹣1﹣i+1+…+i
=i．
10. （2017日照）阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．
例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为　4　；
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．

【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，
故答案为4．
（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，
∴=1，
解得b=5或15．
（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018年湖北省宜昌市3分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（　　）

A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：∵p= ，F＞0，
∴p随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是4：2：1，
∴p1，p2，p3的大小关系是：p3＞p2＞p1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
12. （2018·四川巴中·3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【知识点】二次函数与体育结合.
【解答】解：A.∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣，
∴y=﹣x2+3.5．
故本选项正确；
B.由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D.设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．

13. （2015•娄底，第10题3分）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（　　）


考点： 函数的图象．
分析： 开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．
解答： 解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．
故选：A．
点评： 本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象．
二、填空题：
14. （2018·重庆(A)·4分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮。其中，甲种粗粮每袋装有3千克粗粮，1千克粗粮，1千克粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克粗粮，2千克粗粮，2千克粗粮。甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中三种粗粮的成本价之和。已知粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%。若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 。
（）
【考点】不定方程的应用、销售问题.
【解析】 用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：
品种
类别
甲
乙

3
1

1
2

1
2
甲中总成本价为元，根据甲的售价、利润率列出等式，可知甲总成本为45元。甲中与总成本为元。乙中与总成本为元。乙总成本为元。
设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为24%.
。

【点评】 本题考查了不定方程的应用，其中包括销售问题，难度较高。
15. （2017山东临沂）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为=（m，n）．
已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么与互相垂直，下列四组向量：
①=（2，1），=（﹣1，2）；
②=（cos30°，tan45°），=（1，sin60°）；
③=（﹣，﹣2），=（+，）；
④=（π0，2），=（2，﹣1）．
其中互相垂直的是　 　（填上所有正确答案的符号）．
【分析】根据向量垂直的定义进行解答．
【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以与互相垂直；
②因为cos30°×1+tan45°•sin60°=×1+1×=≠0，所以与不互相垂直；
③因为（﹣）（+）+（﹣2）×=3﹣2﹣1=0，所以与互相垂直；
④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以与互相垂直．
综上所述，①③④互相垂直．
故答案是：①③④．
【点评】本题考查了平面向量，零指数幂以及解直角三角形．解题的关键是掌握向量垂直的定义．
三、解答与计算题：
16. 阅读理解：
我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．
如果有＞0，求x的解集．
【解析】首先看懂题目所给的运算法则，再根据法则得到2x﹣（3﹣x）＞0，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可．
解：由题意得2x﹣（3﹣x）＞0，
去括号得：2x﹣3+x＞0，
移项合并同类项得：3x＞3，
把x的系数化为1得：x＞1．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，关键是看懂题目所给的运算法则，根据题意列出不等式．
17. （2018·江苏常州·10分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=　 　，x3=　 　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD.DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解答】解：（1）x3+x2﹣2x=0，
x（x2+x﹣2）=0，
x（x+2）（x﹣1）=0
所以x=0或x+2=0或x﹣1=0
∴x1=0，x2=﹣2，x3=1；
故答案为：﹣2，1；
（2）=x，
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2﹣2x﹣3=0
（x﹣3）（x+1）=0
∴x﹣3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=﹣1，
当x=﹣1时，=1≠﹣1，
所以﹣1不是原方程的解．
所以方程=x的解是x=3；
（3）因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设AP=xm，则PD=（8﹣x）m
因为BP+CP=10，
BP= ，CP=
∴+ =10
∴=10﹣
两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20+9+x2
整理，得5=4x+9
两边平方并整理，得x2﹣8x+16=0
即（x﹣4）2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m．
【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
18. （2018·四川自贡·10分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an
∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga（M•N）=logaM+logaN
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式　 　；
（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=　 　．
【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；
（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga，
又∵m﹣n=logaM﹣logaN，
∴loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36﹣log34，
=log3（2×6÷4），
=log33，
=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
【探究篇】
19.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料煅烧到800 ℃,然后停止煅烧进行锻造操作.经过8 min时,材料温度降为600 ℃.煅烧时,温度y( ℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图),已知该材料初始温度是32 ℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围;
(2)根据工艺要求,当材料温度低于480 ℃时,须停止操作,那么锻造的操作时间有多长?

解:(1)设锻造时y与x的函数关系式为y=(k≠0),
则600=,
∴k=4 800,
∴锻造时y与x的函数关系式为y=4 800x.
当y=800时,800=4 800x,解得x=6,
∴点B的坐标为(6,800),
自变量的取值范围是x>6.
设煅烧时y与x的函数关系式为y=ax+b(a≠0),
则b=32,6a+b=800.
解得a=128,b=32.
∴煅烧时y与x的函数关系式为y=128x+32(0≤x≤6).
(2)当y=480时,x=4 800480=10,10-6=4(min),
∴锻造的操作时间有4 min.
20.（2018•北京•7分）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．
已知点（，6），（，），（6，）．
（1）求（点，）；
（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；
（3）的圆心为（，0），半径为1．若（，），直接写出的取值范围．
【解析】（1）如下图所示：

∵（，），（6，）∴（0，）
∴（，）
（2）或


（3）或或．

【考点】点到直线的距离，圆的切线