备战中考初中数学导练学案50讲—第08讲 二次根式（讲练版）

备战中考初中数学导练学案50讲

第08讲   二次根式

【疑难点拨】

1. 二次根式加减时，必须先将所给式子中的每个二次根式化成最简二次根式，所谓“最简二次根式”就是二次根式必须符合如下的两个特征：被开方数不含分母.如果被开方数是分式或分数，可以利用，然后再分母有理化得到.，再将被开方数相同的二次根式进行合并，所以进行二次根式的加减运算时，可以分成“三步六字”围攻：第一步：化简——把每一个根式化简成“最简二次根式”；第二步：观察——观察被开方数相同的项；第三步：合并——合并同类二次根式（即被开方数相同二次根式）。

2. 二次根式的化简运算是中考数学命题的热点之一，它主要有两种题目类型：一类是因式开平方后“外移”，另一类是因式平方后“内移”。在进行二次根式“外移”“内移”运算时，若能根据二次根式的性质，结合题目特征灵活运用，常常能使问题迎刃而解，（1）在进行二次根式“外移”运算时，应先把根号内的因式写成平方形式，再根据二次根式的性质： 进行化简。（2）在进行二次根式 “内移”运算时，应先确定根号外因式的符号，若根号外的因式是非负数，则把因式平方后移到根号内；若根号外的因式是负数，则把负号留在根号外，再把根号外因式的相反数平方后移到根号内进行化简。

【基础篇】

一、选择题：

1. （2018•江苏扬州•3分）使有意义的x的取值范围是（　　）

A．x＞3     B．x＜3     C．x≥3      D．x≠3

2. （2018·重庆市B卷）（4.00分）估计5﹣的值应在（　　）

A．5和6之间     B．6和7之间     C．7和8之间     D．8和9之间

3. （2018·台湾·分）算式×（﹣1）之值为何？（　　）

A．      B．    C．2      D．1

 4. 下列运算正确的是（　　）

A．（x﹣y）2=x2﹣y2   B．|﹣2|=2﹣     C．﹣=    D．﹣（﹣a+1）=a+1

5. （2018·湖北江汉·3分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1为（    ）．

A．2     B．1     C． -2      D．0

二、填空题：

6.（2018四川省泸州市3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是    　．

7. （2018·广东广州·3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________

8. （2018·天津·3分） 计算的结果等于__________．

三、解答与计算题：

9. 计算：

(1)(2017·湖州)2×(1－)＋；

(2)(4＋3)÷2；

(3)－2＋－3；

(4)(3－2)(3＋2)．

10. 已知：a+=1+，求的值．

【能力篇】

一、选择题：

11. （2018年江苏省宿迁）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）。           

A. 12       B. 10      C. 8      D. 6

12. (2018四川省绵阳市)等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（     ）           

A.   B.  C.  D.

13. （2018·湖北十堰·3分）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（　　）

A．2       B．     C．5      D．

二、填空题：

14. （2018·山东潍坊·3分）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是　  　．

15. （2018•山东滨州•5分）观察下列各式：

=1+，

=1+，

=1+，

……

请利用你所发现的规律，

计算+++…+，其结果为　　．

16. （2018•山东枣庄•4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　．

三、解答与计算题：

17. （1）（2018·湖南省常德·5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．

（2）（2018•山东淄博•5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．

18. 已知：x，y为实数，且，化简：．

【探究篇】

19. 计算：．

20. 已知a，b，c满足|a－|＋＋(c－)2＝0.

(1)求a，b，c的值；

(2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．

第08讲   二次根式

【疑难点拨】

1. 二次根式加减时，必须先将所给式子中的每个二次根式化成最简二次根式，所谓“最简二次根式”就是二次根式必须符合如下的两个特征：被开方数不含分母.如果被开方数是分式或分数，可以利用，然后再分母有理化得到.，再将被开方数相同的二次根式进行合并，所以进行二次根式的加减运算时，可以分成“三步六字”围攻：第一步：化简——把每一个根式化简成“最简二次根式”；第二步：观察——观察被开方数相同的项；第三步：合并——合并同类二次根式（即被开方数相同二次根式）。

2. 二次根式的化简运算是中考数学命题的热点之一，它主要有两种题目类型：一类是因式开平方后“外移”，另一类是因式平方后“内移”。在进行二次根式“外移”“内移”运算时，若能根据二次根式的性质，结合题目特征灵活运用，常常能使问题迎刃而解，（1）在进行二次根式“外移”运算时，应先把根号内的因式写成平方形式，再根据二次根式的性质： 进行化简。（2）在进行二次根式 “内移”运算时，应先确定根号外因式的符号，若根号外的因式是非负数，则把因式平方后移到根号内；若根号外的因式是负数，则把负号留在根号外，再把根号外因式的相反数平方后移到根号内进行化简。

【基础篇】

一、选择题：

1. （2018•江苏扬州•3分）使有意义的x的取值范围是（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．

【解答】解：由题意，得

x﹣3≥0，

解得x≥3，

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．

2. （2018·重庆市B卷）（4.00分）估计5﹣的值应在（　　）

A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间

【分析】先合并后，再根据无理数的估计解答即可．

【解答】解：，

∵7＜＜8，

∴5﹣的值应在7和8之间，

故选：C．

【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．

3. （2018·台湾·分）算式×（﹣1）之值为何？（　　）

A． B． C．2 D．1

【分析】根据乘法分配律可以解答本题．

【解答】解：×（﹣1）

=，

故选：A．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

4. 下列运算正确的是（　　）

A．（x﹣y）2=x2﹣y2 B．|﹣2|=2﹣ C．﹣= D．﹣（﹣a+1）=a+1

【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答．

【解答】解：A、原式=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；

B、原式=2﹣，故本选项正确；

C、原式=2﹣，故本选项错误；

D、原式=a﹣1，故本选项错误；

故选：B．

【点评】本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基础题，难度不大．

5. （2018·湖北江汉·3分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1为（    ）．

A．2 B．1 C．-2 D．0

【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．

【解答】解：原式=+2﹣﹣2

=0

故答案为：0．故选D。

二、填空题：

6. ．（2018四川省泸州市3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，

∴x﹣1≥0，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

7. （2018·广东广州·3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________

【答案】2 

【考点】实数在数轴上的表示，二次根式的性质与化简  

【解析】【解答】解：由数轴可知：
0<a<2，

∴a-2<0，

∴原式=a+ =a+2-a=2.

故答案为：2.

【分析】从数轴可知0<a<2，从而可得a-2<0，再根据二次根式的性质化简计算即可得出答案.

8. （2018·天津·3分） 计算的结果等于__________．

【答案】3

【解析】分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．

详解：原式=（）2-（）2

=6-3

=3，

故答案为：3．

点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．

三、解答与计算题：

9. 计算：

(1)(2017·湖州)2×(1－)＋；

解：原式＝2－2＋2＝2.

(2)(4＋3)÷2；

解：原式＝4÷2＋3÷2＝2＋.

(3)－2＋－3；

解：原式＝2－10＋－＝(2＋)×＋(－10－)×＝－.

(4)(3－2)(3＋2)．

解：原式＝(3)2－(2)2＝9×2－4×3＝6.

10. 已知：a+=1+，求的值．

【考点】二次根式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】把a+=1+的两边分别平方，进一步整理得出的值即可．

【解答】解：∵a+=1+，

∴（a+）2=（1+）2，

∴+2=11+2，

∴=9+2．

【点评】此题考查二次根式的混合运算和代数式求值，注意式子特点，灵活计算．

【能力篇】

一、选择题：

11. （2018年江苏省宿迁）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）。           

A. 12    B. 10    C. 8     D. 6

【答案】B 

【考点】等腰三角形的性质，非负数之和为0  

【解析】【解答】解：依题可得： ，∴ .
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，
此时不能构成三角形，舍去.
②若腰为4，底为2，
∴C△ABC=4+4+2=10.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.

12. (2018四川省绵阳市)等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（     ）           

A.   B.  C.  D.

【答案】B 

【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集  

【解析】【解答】解：依题可得： x-3≥0且x+1〉0，∴x≥3，故答案为：B.

【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，如果二次根式做分母，根号里面的数只要大于0即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案.

13. （2018·湖北十堰·3分）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（　　）

A．2 B． C．5 D．

【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．

【解答】解：由图形可知，第n行最后一个数为=，

∴第8行最后一个数为==6，

则第9行从左至右第5个数是=，

故选：B．

【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．

二、填空题：

14. （2018·山东潍坊·3分）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是　34+9　．

【分析】先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得．

【解答】解：由题意知输入的值为32=9，

则输出的结果为[（9+3）﹣]×（3+）

=（12﹣）×（3+）

=36+12﹣3﹣2

=34+9，

故答案为：34+9．

【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

15. （2018•山东滨州•5分）观察下列各式：

=1+，

=1+，

=1+，

……

请利用你所发现的规律，

计算+++…+，其结果为　9　．

【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．

【解答】解：由题意可得：

+++…+

=1++1++1++…+1+

=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=9+

=9．

故答案为：9．

【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．

16. （2018•山东枣庄•4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　1　．

【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．

【解答】解：∵S=，

∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：

S==1，

故答案为：1．

【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．

三、解答与计算题：

17. （1）（2018·湖南省常德·5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．

【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，

=1﹣2+1+2﹣4，

=﹣2．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

（2）（2018•山东淄博•5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．

【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；76：分母有理化．

【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．

【解答】解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a

=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a

=2ab﹣1，

当时，

原式=2（+1）（）﹣1

=2﹣1

=1．

【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

18. 已知：x，y为实数，且，化简：．

【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．

【专题】计算题．

【分析】应用二次根式的化简，注意被开方数的范围，再进行加减运算，得出结果．

【解答】解：依题意，得

∴x﹣1=0，解得：x=1

∴y＜3

∴y﹣3＜0，y﹣4＜0

∴

=3﹣y﹣

=3﹣y﹣（4﹣y）

=﹣1．

【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时， =a；a＜0时， =﹣a；a=0时， =0．

【探究篇】

19. 计算：．

【考点】二次根式的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】由于分母有理化后变为﹣1，其他的也可以分母有理化，然后一起相加，最后做乘法即可求解．

【解答】解：

=（﹣1+﹣+…+﹣）（+1）

=（）（）

=2009﹣1

=2008．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是首先把所有的根式分母有理化达到化简的目的，然后利用平方差公式计算即可求解．

20. 已知a，b，c满足|a－|＋＋(c－)2＝0.

(1)求a，b，c的值；

(2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．

解：(1)由题意，得a－＝0，b－5＝0，c－＝0，

即a＝2，b＝5，c＝3.

(2)∵2＋3＝5＞5，

∴以a，b，c为边能构成三角形．

三角形的周长为2＋3＋5＝5＋5.