备战中考初中数学导练学案50讲—第06讲不等式（组）（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第06讲 不等式（组）
【疑难点拨】
1. 在一元一次不等式的求解过程中，少数同学由于忽视了变形前后的同解性及不等式的基本性质，常会出现这样那样的问题，现就几类比较常见的错误举例剖析如下，希望同学们能引以为鉴，防患于未然：
（1）移项忘记变号致错；（2）违背不等式的基本性质致错；（3）违背去括号法则致错：去括号有两点错误：①一个数与多项式相乘，去括号时，应将这个数与括号内的每一项相乘；②括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都要改变符号；（4）去分母时漏乘某些项致错：错解对不等式基本性质2理解不深，在去分母时，应将最简公分母乘以不等式的每一项；（5）忽视了分数线的括号作用致错：错解对分数线的意义理解不深，分数线除了表示除号（比号）外，当分子是多项式时，还起着括号的作用，错解正是由于忽视了这一点，从而导致了错误的结果。（6）性质混用致错：：不等式左边的两个分数的分子、分母均含有小数，为了简化运算，根据分数的基本性质，分子、分母同时扩大了10倍，把它们化成了整数，这种变形是局部变形，与右边无关，而错解却把分数的恒等变形误以为是不等式的同解变形，将不等式右边也扩大了10倍，混淆了分数的基本性质和不等式性质2的运用，造成了错误。（7）化系数为1时，受思维定势的影响致错：受思维定势的影响，认为运算结果整数总比分数好，一看就能得出结果，事实上，只要认真算一下，就会得到正确答案；（8）忽视分类讨论致错。
2.在不等式（组）及其应用过程中经常体现到以下几种思想方法，要特别注意：
（1）类比思想：类比是学习数学常用的数学思想方法，类比相关的旧知识，学习新知识，会将新知识学得更易、更深、更透。在本章的学习中多次运用类比的思想方法，如不等式的基本性质的学习类比了等式的基本性质；一元一次不等式的定义及解法类比了一元一次方程的定义及解法；列一元一次不等式（组）解实际应用问题类比了列一元一次方程解实际应用问题等。通过类比找出新、旧知识的共同点和不同点，在类比的过程中加以区别，这样学起来既简单又快，还能达到准确掌握新知识的目的。
（2）数形结合思想：求不等式的解集的过程是解释数量不等关系的过程，用数轴表示不等式（组）的解集的过程是将数量不等关系图形化的过程，在此“数”与“形”要巧妙结合。
（3）转化思想：一元一次方程（组）和一元一次不等式（组），它们之间可以相互转化，也就是说，有时可把一次方程（组）问题转化为不等式（组）来求解；有时又可以把不等式（组）问题转化为一次方程（组）来求解 。
（4）数学建模思想：根据实际应用问题，获得的数字为整数且都不能是负数，因此可建立不等式组模型来解。
（5）分类讨论思想：由于有些问题是方案设计问题，又存在不等关系，因此先建立不等式，然后分情况讨论。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·浙江衢州·3分）不等式3x+2≥5的解集是（　　）
A．x≥1　　　　　　B．x≥　　　　　　C．x≤1　　　　　　D．x≤﹣1
2. （2018年江苏省宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（   ）。
A. a-1＜b-1   B. 2a＜2b     C.       D. 
3. （2018•湖北荆门•3分）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（　　）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
4. 2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（　　）

A．112 B．121 C．134 D．143
5. （2018•山东滨州•3分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：
6. （2018•北京•2分） 用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以_____，______，_______．
7. （2018•江苏扬州•3分）不等式组的解集为　 　．
8. （2018•山西•3分） 2018 年 国 内 航 空 公 司 规 定 ： 旅 客 乘 机 时 ， 免 费 携 带 行 李 箱 的 长 、 宽 、 高 之 和 不 超 过 115cm. 某厂家生产符合该 规 定的行李箱，已知 行 李箱的宽为 20cm， 长 与 高 的 比 为 8:11， 则 符 合 此 规 定 的行李箱的高的最 大 值为 _____cm.

三、解答与计算题：
9. (1)（2018•广西桂林•6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.


(2)（2018·湖北省宜昌·6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．



(3) （2018·湖南省常德·5分）求不等式组的正整数解．



10. （2018·四川自贡·8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．


【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•湖南省永州市•4分）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　）
A．商贩A的单价大于商贩B的单价B．商贩A的单价等于商贩B的单价
C．商版A的单价小于商贩B的单价D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
12. （2018·山东泰安·3分）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
13. （2018·重庆(A)·4分） 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
A．-3 B． -2 C．1 D．2
二、填空题：
14. （2018·四川宜宾·3分）不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为　 　．
15. （2018•四川凉州•3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=　 　．
三、解答与计算题：
16. （2018·广东深圳·8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？







17. （2018•湖北恩施•10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？









18. （2018·湖北省孝感·10分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．
（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．









【探究篇】
19. （2018·湖南省常德·7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？





20. （2018·重庆(A)·10分）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造。
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值。2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入。经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值。




























第06讲 不等式（组）
【疑难点拨】
1. 在一元一次不等式的求解过程中，少数同学由于忽视了变形前后的同解性及不等式的基本性质，常会出现这样那样的问题，现就几类比较常见的错误举例剖析如下，希望同学们能引以为鉴，防患于未然：
（1）移项忘记变号致错；（2）违背不等式的基本性质致错；（3）违背去括号法则致错：去括号有两点错误：①一个数与多项式相乘，去括号时，应将这个数与括号内的每一项相乘；②括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都要改变符号；（4）去分母时漏乘某些项致错：错解对不等式基本性质2理解不深，在去分母时，应将最简公分母乘以不等式的每一项；（5）忽视了分数线的括号作用致错：错解对分数线的意义理解不深，分数线除了表示除号（比号）外，当分子是多项式时，还起着括号的作用，错解正是由于忽视了这一点，从而导致了错误的结果。（6）性质混用致错：：不等式左边的两个分数的分子、分母均含有小数，为了简化运算，根据分数的基本性质，分子、分母同时扩大了10倍，把它们化成了整数，这种变形是局部变形，与右边无关，而错解却把分数的恒等变形误以为是不等式的同解变形，将不等式右边也扩大了10倍，混淆了分数的基本性质和不等式性质2的运用，造成了错误。（7）化系数为1时，受思维定势的影响致错：受思维定势的影响，认为运算结果整数总比分数好，一看就能得出结果，事实上，只要认真算一下，就会得到正确答案；（8）忽视分类讨论致错。
2.在不等式（组）及其应用过程中经常体现到以下几种思想方法，要特别注意：
（1）类比思想：类比是学习数学常用的数学思想方法，类比相关的旧知识，学习新知识，会将新知识学得更易、更深、更透。在本章的学习中多次运用类比的思想方法，如不等式的基本性质的学习类比了等式的基本性质；一元一次不等式的定义及解法类比了一元一次方程的定义及解法；列一元一次不等式（组）解实际应用问题类比了列一元一次方程解实际应用问题等。通过类比找出新、旧知识的共同点和不同点，在类比的过程中加以区别，这样学起来既简单又快，还能达到准确掌握新知识的目的。
（2）数形结合思想：求不等式的解集的过程是解释数量不等关系的过程，用数轴表示不等式（组）的解集的过程是将数量不等关系图形化的过程，在此“数”与“形”要巧妙结合。
（3）转化思想：一元一次方程（组）和一元一次不等式（组），它们之间可以相互转化，也就是说，有时可把一次方程（组）问题转化为不等式（组）来求解；有时又可以把不等式（组）问题转化为一次方程（组）来求解 。
（4）数学建模思想：根据实际应用问题，获得的数字为整数且都不能是负数，因此可建立不等式组模型来解。
（5）分类讨论思想：由于有些问题是方案设计问题，又存在不等关系，因此先建立不等式，然后分情况讨论。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·浙江衢州·3分）不等式3x+2≥5的解集是（　　）
A．x≥1　　　　　　B．x≥　　　　　　C．x≤1　　　　　　D．x≤﹣1
【考点】一元一次不等式的解法
【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
【解答】解：3x≥3
x≥1
故选A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．
2. （2018年江苏省宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（   ）。
A. a-1＜b-1   B. 2a＜2b     C.       D. 
【答案】D
【考点】不等式及其性质
【解析】【解答】解：A.∵a＜b，∴ a-1＜b-1，故正确，A不符合题意；B.∵a＜b，∴ 2a＜2b，故正确，B不符合题意；
C.∵a＜b，∴ ＜ ，故正确，C不符合题意；
D.当a＜b＜0时，a2>b2 ， 故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.不等式性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等式任然成立；由此即可判断对错；
B.不等式性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式任然成立；由此即可判断对错；
C.不等式性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式任然成立；由此即可判断对错；
D.题中只有a＜b，当当a＜b＜0时，a2>b2 ， 故错误
3. （2018•湖北荆门•3分）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（　　）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤＜2，
解得：4≤m＜7，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
4. 2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（　　）

A．112 B．121 C．134 D．143
【分析】设妮娜需印x张卡片，根据利润=收入﹣成本结合利润超过成本的2成，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内最小的整数即可得出结论．
【解答】解：设妮娜需印x张卡片，
根据题意得：15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x），
解得：x＞133，
∵x为整数，
∴x≥134．
答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
5. （2018•山东滨州•3分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
二、填空题：
6. （2018•北京•2分） 用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以_____，______，_______．
【答案】答案不唯一，满足，即可，例如：，，
【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【考点】不等式的基本性质
7. （2018•江苏扬州•3分）不等式组的解集为　 　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤，
解不等式＞﹣2，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤，
故答案为：﹣3＜x≤．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
8. （2018•山西•3分） 2018 年 国 内 航 空 公 司 规 定 ： 旅 客 乘 机 时 ， 免 费 携 带 行 李 箱 的 长 、 宽 、 高 之 和 不 超 过 115cm. 某厂家生产符合该 规 定的行李箱，已知 行 李箱的宽为 20cm， 长 与 高 的 比 为 8:11， 则 符 合 此 规 定 的行李箱的高的最 大 值为 _____cm.

【答案】 55
【考点】 一 元 一 次 不 等 式 的 实 际 应 用
【解析】 解 ： 设 行 李 箱 的 长 为 8xcm， 宽 为 11xcm
20 + 8x +11x £ 115
解得 x £ 5
∴高的最大值为 11´ 5 = 55 cm
三、解答与计算题：
9. (1)（2018•广西桂林•6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】x<2,图见解析.
【解析】分析：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
详解：去分母得，5x-1<3（x+1），
去括号得，5x-1<3x+3，
移项得，5x-3x<3+1，
合并同类项得，2x<4，
把x的系数化为1得，x<2．
在数轴上表示为：
．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
(2)（2018·湖北省宜昌·6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】解一元一次不等式组的方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分；并把它的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式①，得：x≥1；
解不等式②，得：x＜2；
∴原不等式组的解集是1≤x＜2．
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
(3) （2018·湖南省常德·5分）求不等式组的正整数解．
【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤，
不等式组的解集是﹣2＜x≤，
不等式组的正整数解是1，2，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键．
10. （2018·四川自贡·8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．
【解答】解：解不等式①，得：x≤2；
解不等式②，得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2．
将其表示在数轴上，如图所示．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．

【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•湖南省永州市•4分）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　）
A．商贩A的单价大于商贩B的单价B．商贩A的单价等于商贩B的单价
C．商版A的单价小于商贩B的单价D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0
∴0.5b﹣0.5a＜0，
∴a＞b．
故选：A．
【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．
12. （2018·山东泰安·3分）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解有3个整数解，可得答案．
【解答】解：不等式组，
由﹣x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组有3个整数解，
解得：7≤2﹣a＜8，
解得：﹣6＜a≤﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
13. （2018·重庆(A)·4分） 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
A．-3 B． -2 C．1 D．2
【考点】不等式组和分式方程的应用
【分析】解关于x的不等式组，根据题意求出的取值范围，然后解关于y的方程，
排除分式方程无解的情况，结合不等式组的结果，找出符合条件的所有整数a并求其和.
【解答】 解不等式，由于不等式有四个整数解，根据题意，，则，解得。解分式方程得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式组的结果有a的取值范围为，又a为整数,所以a的取值为,和为1.故选C
【点评】此题考查不等式组和分式方程的应用，需要特别注意分式方程无解情况的考虑，属于中档题
二、填空题：
14. （2018·四川宜宾·3分）不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为　15　．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先解不等式组得到6＜x≤8，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的和即可．
【解答】解：由题意可得，
解不等式①，得：x＞6，
解不等式②，得：x≤8，
则不等式组的解集为6＜x≤8，
所以不等式组的所有整数解的和为7+8=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
15. （2018•四川凉州•3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=　﹣1　．
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集﹣1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案．
【解答】解：由不等式得x＞a+2，x＜b，
∵﹣1＜x＜1，
∴a+2=﹣1，=1
∴a=﹣3，b=2，
∴（a+b）2009=（﹣1）2009=﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
三、解答与计算题：
16. （2018·广东深圳·8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【答案】（1）解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批进货价为x+2，依题可得：解得： .
经检验： 是原分式方程的解.
答：第一批饮料进货单价为8元.
（2）解：设销售单价为 元，依题可得：（m-8）·200+（m-10）·600≥1200，
化简得：（m-8）+3（m-10）≥6，
解得：m≥11.
答：销售单价至少为11元.
【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为 x 元，则第二批进货价为x+2，根据第二批饮料的数量是第一批的3倍，由此列出分式方程，解之即可得出答案.（2）设销售单价为 m 元，根据获利不少于1200元，列出一元一次不等式组，解之即可得出答案.
17. （2018•湖北恩施•10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12，
∴a=10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
（3）设总费用为w元，
w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，
∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
18. （2018·湖北省孝感·10分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．
（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．
【分析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，
根据题意得：=，
解得：m=2000，
经检验，m=2000是分式方程的解，
∴m﹣200=1800．
答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．
（2）根据题意得：2000x+180（50﹣x）≤98000，
解得：x≤40．
W=（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax=（120﹣a）x+19000，
∵当70＜a＜80时，120﹣a＞0，
∴W随x增大而增大，
∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000=23800﹣40a，
∴W的最大值是（23800﹣40a）元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．
【探究篇】
19. （2018·湖南省常德·7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90．
∵k=﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
20. （2018·重庆(A)·10分）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造。
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值。2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入。经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值。
【考点】。一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用
【解析】解：(1)设道路硬化的里程数至少是x千米。
则由题意得：x≥4(50-x)
解不等式得：x≥40
答：道路硬化的里程数至少是40千米。
(2)由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：20万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元
∴列方程：
13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)
化简得：2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)
t(10t-1)=0
∴（舍去），.
∴a = 10
答：a的值为10。
【点评】
本题考察一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。
(1)利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的4倍”列出不等式求解。
(2)根据2017年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费，表示出6月起道路硬化及道路拓宽的里程数及每千米经费。表示出总费用列方程求解。