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备战中考初中数学导练学案50讲—第29讲圆的有关性质（讲练版）
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这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第29讲圆的有关性质（讲练版），共28页。学案主要包含了疑难点拨等内容，欢迎下载使用。
备战中考初中数学导练学案50讲
第29讲 圆的有关性质
【疑难点拨】
1. 圆的定义在证题中的作用
我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．
2. 垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
垂径定理的应用类型：
（1）如图（1），基于圆的对称性，下列五个结论：①弧AC＝弧CB；②弧AD＝弧DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立；
（2）设半径 OA为 r，弦心距OE为 d，弦AB为 2a，由 OE⊥AB得，AE＝a，在Rt△AOE中，满足r2＝d2，＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．
3. 圆周角定理及其推论应用注意事项：
（1）同圆的半径相等，有时还需要连接半径， 用它来构造等腰三角形， 有了等腰三角 形， 再利用等边对等角以及三线合一的性质来进行证明和计算；
（2）当出现圆的直径时，往往通过作辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算 ．
（3）同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等．
（4）一条弦（除直径外）所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：①优弧所对应的圆周角是钝角；②劣弧所对应的圆周角是锐角，这一组圆周角互补；一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
2. （2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（ ）
A． B．5 C． D．5
3. （2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
4. （2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
5. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
二、填空题：
6. （2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是 ．
7. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80° ．
8. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
三、解答与计算题：
9. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
10. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
12. （2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
13. 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（ ）
A．60 B．65 C．72 D．75
二、填空题：
14. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小亮的作法如下：
老师说：“小亮的作法正确．”
请你回答：小亮的作图依据是 ．
15. （2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 cm．
三、解答与计算题：
16. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
17. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
18. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【探究篇】
19. 如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图①，若点P是的中点，求PA的长；
(2)如图②，若点P是的中点，求PA的长．
20. （2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
第29讲 圆的有关性质
【疑难点拨】
1. 圆的定义在证题中的作用
我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．
2. 垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
垂径定理的应用类型：
（1）如图（1），基于圆的对称性，下列五个结论：①弧AC＝弧CB；②弧AD＝弧DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立；
（2）设半径 OA为 r，弦心距OE为 d，弦AB为 2a，由 OE⊥AB得，AE＝a，在Rt△AOE中，满足r2＝d2，＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．
3. 圆周角定理及其推论应用注意事项：
（1）同圆的半径相等，有时还需要连接半径， 用它来构造等腰三角形， 有了等腰三角 形， 再利用等边对等角以及三线合一的性质来进行证明和计算；
（2）当出现圆的直径时，往往通过作辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算 ．
（3）同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等．
（4）一条弦（除直径外）所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：①优弧所对应的圆周角是钝角；②劣弧所对应的圆周角是锐角，这一组圆周角互补；一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
【考点】垂径定理和勾股定理
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6．
故选：A．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
2. （2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（ ）
A． B．5 C． D．5
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AB为弦，点C为的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，AE=，
∴AB=，
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
3. （2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
【考点】垂径定理
【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
4. （2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
二、填空题：
6. （2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是 50° ．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80° ．
【考点】圆周角定理；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠C=80°．
故答案为80°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．
8. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 （2，0） ．
【考点】确定圆的条件；坐标与图形性质．
【专题】网格型．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：（2，0）
【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．
三、解答与计算题：
9. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．
【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，
在直角△CON中，CN==，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=2，
∵OM⊥AB，
∴AM=AB=x，
在△AOM中，OM==，
∴OM=CD．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
10. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【考点】等边三角形的判定；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；
（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．
【解答】证明：（1）连接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE=AD=AB，
∴EC=3AE；
∴AE=CE．
【点评】本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
【解答】解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．
12. （2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
13. 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（ ）
A．60 B．65 C．72 D．75
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求．
【解答】解：连结OD，如图，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POR=×360°=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOP=×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
二、填空题：
14. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小亮的作法如下：
老师说：“小亮的作法正确．”
请你回答：小亮的作图依据是 垂径定理 ．
【考点】垂径定理的应用；作图—复杂作图．
【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．
【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．
故答案是：垂径定理．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．
15. （2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 30 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 10﹣10 cm．
【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．
∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=15，
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，
在Rt△GB2D2中，GD2==10
∴D1D2=10﹣10．
故答案为30，10﹣10，
三、解答与计算题：
16. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．
17. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 1 寸，CD= 10 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．
【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；
故答案为：1，10；
（2）连接CO，如图所示：
∵BO⊥CD，
∴．
设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，
在Rt△CAO中，∠CAO=90°，
∴AO2+CA2=CO2．
∴（x﹣1）2+52=x2．
解得：x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．
18. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC==4，
∴△ABC外接圆的半径=×4=2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【探究篇】
19. 如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图①，若点P是的中点，求PA的长；
(2)如图②，若点P是的中点，求PA的长．
(1)如图①所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°，又∵在等腰三角形△ABP中有AB＝13，∴PA＝＝＝
(2)如图②所示：连接BC，OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，又因为AB为直径∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB，又因为∠ACB＝∠ONP＝90°，∴△ACB∽△ONP，∴＝，又∵AB＝13，AC＝5，OP＝，代入得ON＝，∴AN＝OA＋ON＝9，∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2－ON2＝36，在Rt△ANP中，有PA＝＝＝3，∴PA＝3
20. （2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，
∴•2=4CD，
∴CD=．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD=a，
由（1）知AC=AB=4，
则AD=4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2
整理得：a=，
即：CD=．
备战中考初中数学导练学案50讲
第29讲 圆的有关性质
【疑难点拨】
1. 圆的定义在证题中的作用
我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．
2. 垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
垂径定理的应用类型：
（1）如图（1），基于圆的对称性，下列五个结论：①弧AC＝弧CB；②弧AD＝弧DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立；
（2）设半径 OA为 r，弦心距OE为 d，弦AB为 2a，由 OE⊥AB得，AE＝a，在Rt△AOE中，满足r2＝d2，＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．
3. 圆周角定理及其推论应用注意事项：
（1）同圆的半径相等，有时还需要连接半径， 用它来构造等腰三角形， 有了等腰三角 形， 再利用等边对等角以及三线合一的性质来进行证明和计算；
（2）当出现圆的直径时，往往通过作辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算 ．
（3）同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等．
（4）一条弦（除直径外）所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：①优弧所对应的圆周角是钝角；②劣弧所对应的圆周角是锐角，这一组圆周角互补；一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
2. （2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（ ）
A． B．5 C． D．5
3. （2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
4. （2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
5. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
二、填空题：
6. （2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是 ．
7. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80° ．
8. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
三、解答与计算题：
9. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
10. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
12. （2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
13. 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（ ）
A．60 B．65 C．72 D．75
二、填空题：
14. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小亮的作法如下：
老师说：“小亮的作法正确．”
请你回答：小亮的作图依据是 ．
15. （2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 cm．
三、解答与计算题：
16. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
17. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
18. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【探究篇】
19. 如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图①，若点P是的中点，求PA的长；
(2)如图②，若点P是的中点，求PA的长．
20. （2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
第29讲 圆的有关性质
【疑难点拨】
1. 圆的定义在证题中的作用
我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．
2. 垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
垂径定理的应用类型：
（1）如图（1），基于圆的对称性，下列五个结论：①弧AC＝弧CB；②弧AD＝弧DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立；
（2）设半径 OA为 r，弦心距OE为 d，弦AB为 2a，由 OE⊥AB得，AE＝a，在Rt△AOE中，满足r2＝d2，＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．
3. 圆周角定理及其推论应用注意事项：
（1）同圆的半径相等，有时还需要连接半径， 用它来构造等腰三角形， 有了等腰三角 形， 再利用等边对等角以及三线合一的性质来进行证明和计算；
（2）当出现圆的直径时，往往通过作辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算 ．
（3）同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等．
（4）一条弦（除直径外）所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：①优弧所对应的圆周角是钝角；②劣弧所对应的圆周角是锐角，这一组圆周角互补；一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
【考点】垂径定理和勾股定理
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6．
故选：A．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
2. （2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（ ）
A． B．5 C． D．5
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AB为弦，点C为的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，AE=，
∴AB=，
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
3. （2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
【考点】垂径定理
【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
4. （2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
二、填空题：
6. （2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是 50° ．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80° ．
【考点】圆周角定理；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠C=80°．
故答案为80°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．
8. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 （2，0） ．
【考点】确定圆的条件；坐标与图形性质．
【专题】网格型．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：（2，0）
【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．
三、解答与计算题：
9. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．
【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，
在直角△CON中，CN==，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=2，
∵OM⊥AB，
∴AM=AB=x，
在△AOM中，OM==，
∴OM=CD．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
10. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【考点】等边三角形的判定；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；
（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．
【解答】证明：（1）连接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE=AD=AB，
∴EC=3AE；
∴AE=CE．
【点评】本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
【解答】解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．
12. （2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
13. 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（ ）
A．60 B．65 C．72 D．75
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求．
【解答】解：连结OD，如图，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POR=×360°=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOP=×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
二、填空题：
14. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小亮的作法如下：
老师说：“小亮的作法正确．”
请你回答：小亮的作图依据是 垂径定理 ．
【考点】垂径定理的应用；作图—复杂作图．
【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．
【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．
故答案是：垂径定理．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．
15. （2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 30 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为 10﹣10 cm．
【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．
∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=15，
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，
在Rt△GB2D2中，GD2==10
∴D1D2=10﹣10．
故答案为30，10﹣10，
三、解答与计算题：
16. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．
17. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 1 寸，CD= 10 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．
【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；
故答案为：1，10；
（2）连接CO，如图所示：
∵BO⊥CD，
∴．
设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，
在Rt△CAO中，∠CAO=90°，
∴AO2+CA2=CO2．
∴（x﹣1）2+52=x2．
解得：x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．
18. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC==4，
∴△ABC外接圆的半径=×4=2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【探究篇】
19. 如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图①，若点P是的中点，求PA的长；
(2)如图②，若点P是的中点，求PA的长．
(1)如图①所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°，又∵在等腰三角形△ABP中有AB＝13，∴PA＝＝＝
(2)如图②所示：连接BC，OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，又因为AB为直径∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB，又因为∠ACB＝∠ONP＝90°，∴△ACB∽△ONP，∴＝，又∵AB＝13，AC＝5，OP＝，代入得ON＝，∴AN＝OA＋ON＝9，∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2－ON2＝36，在Rt△ANP中，有PA＝＝＝3，∴PA＝3
20. （2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，
∴•2=4CD，
∴CD=．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD=a，
由（1）知AC=AB=4，
则AD=4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2
整理得：a=，
即：CD=．
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