9.4矩形，菱形，正方形学案

这是一份9.4矩形，菱形，正方形学案，共11页。学案主要包含了例题精讲，巩固训练等内容，欢迎下载使用。
理解菱形的定义，掌握菱形的性质。掌握菱形的判别条件并能应用于菱形的判定。
理解正方形的定义，掌握正方形的性质。掌握正方形的判别条件并能应用于正方形的判定。
4、在矩形、菱形或正方形中，会利用它们的性质来解题
二．知识梳理
知识点一：矩形
1、一个活动的平行四边形木框，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上。
拉动一对不相邻的顶点A、C，即可改变平行四边形的形状，如图所示。
（1）无论∠α如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？
（2）随着∠α的变化，两条对角线长度有没有变化？
（3）当∠α为直角时，平行四边形就变成 。
总结：
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：
① 矩形具有平行四边形的所有性质；
② 矩形的四个角都是直角；
③ 矩形的对角线相等。
3.矩形的判定方法：
①.有三个角是直角的四边形是矩形；
②.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
③.有一个角为直角的平行四边形是矩形；
④.对角线相等的平行四边形是矩形。
三、例题精讲：
A
D
B
C
F
E
例 1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
A
B
D
C
E
例2：如图，在矩形ABCD中，AB＝3， BC ＝ 4， BE⊥AC于E．试求出AC、BE的长。


四、巩固训练：
1、矩形的定义中有两个条件：一是 ____________,二是 _________________。
2、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形：每一个矩形最少有 条对称轴；矩形对称中心是 的交点．
3、判断：
（1）有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
（2）矩形的对角线互相平分。（ ）
（3）矩形是轴对称图形，对角线是它的对称轴。（ ）
（4）平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（ ）
（5）AD是直角三角形ABC的中线，那么AD就等于BC边的一半。（ ）
4、下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A、对角线相等 B、 四个角都相等
C、对角线垂直 D、是轴对称图形
5、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A、两组对边分别平行 B、对角相等
C、对角线互相平分 D、对角线相等
6、O为矩形ABCD的对角线交点，∠AOB=2∠BOC，对角线AC=12，则CB=_______。
7．如图，在矩形ABCD中，点E为边AB中点，过点E作直线EF交对边CD于点F，若SAEFD:SBCFE=2:1，则DF : FC=（ ）
A．5:1 B．5:2 C．4:1 D．3:1
8．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC =2 ∠AOB，如果对角线AC=10cm，则AD=______cm.
9．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，求AB的长。
知识点二．菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形性质：
对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心.
边：菱形的对边平行且相等．菱形的四条边相等
角：菱形的对角相等．
对角线：菱形的对角线互相垂直平分．
典例精讲
A
D
B
C
E
F
G
H
M
例1 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离.

巩固练习：
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
菱形的判定：
判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
判定方法2：四条边相等的四边形是菱形
判定方法3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形面积计算：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半
A
B
C
D
O
典例精讲：
例1、如图：已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是_____形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是_____ 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是____ 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是____ 形。
例2 .菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，那么菱形的面积是_____.
例3 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
例4 如图， 平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.

例5 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O，
（1）用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积S；
（2）a=3，b=4，求菱形ABCD的面积和周长。
提炼总结：
证明一个四边形是菱形的方法有：
（1）
（2）先证明是平行四边形，再证明 或者 。
巩固训练：
1、在菱形ABCD中，观察图思考：
（1）图中有哪些三角形是等腰三角形？（2）图中有哪些直角三角形？

2、在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，如图所示，试说明△ABC是等边三角形。
3、如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1 ：2．
求：（1）较短对角线长是多少？（2）一组对边的距离是多少？
4、已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，且BE=EC，若AC=6，求菱形ABCD的各边长．
知识点三：正方形
作等腰直角三角形ABC关于斜边中点的对称图形，四边形ABCD 有什么特点？
（首先由它是中心对称图形，可知它是平行四边形，又有一组邻边相等，则它是菱形，又有一个角是直角，是正方形）
问题1： 的平行四边形是正方形
问题2：正方形是在什么前提下定义的？（平行四边形）
问题3：包括哪两层意思？
（有一组邻边相等的平行四边形（菱形），并且有一个角是直角的平行四边形（矩形））
（正方形概念：有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形）
操作：1、你能把菱形变形成正方形吗？
2、你能把矩形变形成正方形吗？
问题：正方形是矩形吗？是菱形吗？
画图表示正方形与平行四边形，矩形与菱形的关系如图。
总结
正方形定义：有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
一组邻边相等的矩形是正方形。
一个角为直角的菱形是正方形。
正方形的性质：性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角。
性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角。
判定正方形的方法:1、先推导到矩形，再到正方形
2、先推导到菱形，再到正方形
典例精讲：例1 如图4－51，已知正方形ABCD，延长AB到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F，求证：AF＝CE。
变式：如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．
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巩固练习：
1如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于_______．
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3．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
4．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．

6．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．
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课后作业：
1．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A． B． C．5 D．4
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2．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
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3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
4.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（ ）
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5．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 ( )
A．B．C．D．不确定
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．
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7．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_______．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于 ．
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9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 ．
10．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为
11．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，点E、F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF是等边三角形．
12．如图，将□ ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
(1)求证：△ABF≌△ECF．
(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
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