平行四边形，矩形，菱形，正方形（中上）2学案（无答案）

这是一份平行四边形，矩形，菱形，正方形（中上）2学案（无答案），共12页。学案主要包含了平行四边形，矩形，菱形，正方形等内容，欢迎下载使用。
平行四边形、矩形、菱形、正方形一、教学目标1、以中心对称为主线，研究平行四边形的条件及性质，会利用定理判定四边形是平行四边形；2、理解矩形的概念，掌握矩形的性质；掌握矩形的判别条件并能应用于矩形的判定；3、理解菱形的概念，掌握菱形的性质；掌握菱形的判别条件并能应用于菱形的判定；4、理解正方形的概念，掌握正方形的性质；掌握正方形的判别条件并能应用于正方形的判定；5、在平行四边形、矩形、菱形或正方形中，会利用它们的性质来解题。二、知识梳理知识点一 平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.性质：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。平行四边形的对边平行且相等，对角相等（邻角互补），对角线互相平分。3.判定：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形（对角分别相等的四边形是平行四边形）②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（一组对边相等，一组对边平行的四边形可能是等腰梯形）③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形★反证法：先提出与结论相反的假设，然后由这个假设出发推导出矛盾的结果。说明假设是错误的，因而命题的结论成立。这种证明方法称为反证法。知识点二 矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形角做矩形。2.性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等。3.判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）；③有三个角是直角的四边形是矩形；知识点三 菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：①菱形的四条边相等，对角线互相垂直；②菱形面积=对角线乘积的一半；③每条对角线平分一组对角3.判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）；        ③四边都相等的四边形是菱形；知识点四 正方形1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2. 性质：①四边都相等，四个角都是直角。对角线互相垂直平分且相等。     ②正方形面积=对角线乘积的一半     ③每条对角线平分一组对角3.判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；        ②有一组邻边相等的矩形是正方形；        ③有一个角是直角的菱形是正方形；        补充：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；              对角线互相垂直的矩形是正方形；              对角线相等的菱形是正方形；              对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 4.判定正方形的过程:1、先推导到矩形，再到正方形                   2、先推导到菱形，再到正方形                   3、先推导到平行四边形，再到正方形 矩形菱形正方形定义有一角是直角的平行四边形叫做矩形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有一个角是直角的平行四边形;·有三个角是直角的四边形;·两条对角线相等的平行四边形;.·对角线相等且互相平分的四边形·有一组邻边相等的平行四边形；·四边相等的四边形；·两条对角线互相垂直的平行四边形;。·对角线互相垂直平分的是四边形·有一组邻边相等的矩形；·对角线互相垂直的矩形；·有一个角是直角的菱形；·对角线相等的菱形。        对称性 (条数）既是轴对称图形，又是中心对称图形224面积长*宽对角线乘积的一半/底乘高边长*边长或对角线乘积的一半*补充由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．·菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍·在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的√3倍正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质与特性                  三、典例精讲题型一（线段之和为定值）例1.如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是    (    )A．    B．  C．   D．无法确定练习．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．    (1)如图①，当P点在线段AB上时，求PE＋PF的值；(2)如图②，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值．题型二（最值）例2、.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AF＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是_______．练习.如图，正方形的边长为2 . 是等边三角形，点在正方形内，在对  角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为_________    题型三（面积问题）例3、. 如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则＝（    ）A.    B.     C.    D. 练习、图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为                 题型四（翻折）例4、.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　）　　A．邻边相等的矩形是正方形　　   B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形　  D．轴对称图形是正方形练习.小明尝试着将矩形纸片 (如图(1) , )沿过点的直线折叠，使得点 落在边上的点处，折痕为 (如图(2));再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在边上的点处，折痕为 (如图(3)).如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，那么矩形长与宽的比值为           .      题型五（旋转）例5、如图，P是正△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与P'之间的距离为PP'＝_______，∠APB＝_______度． 练习1. 如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90⁰到△CBE’的位置．若AE=I，BE=2，CE=3，则么∠BE’C=          ． 2、如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10，O为AC上一个动点，OMBD，则BO+OC+OM的最小值为        ．  四、巩固练习1. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（    ）A.两组角分别相等的四边形    B. 平行四边形   C. 对角线互相垂直的四边形    D. 对角线相等的四边形2.如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.                             3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为 ________.4. 如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为________. 5. 如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________.6.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝C  D．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝(BC－AD)，⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是    (    )  A．1        B．2        C．3        D．4               7. 如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.其中，正确结论的序号是______________．                              8. 如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为(     )A . 12            B．8             C.              D.                                         9. 如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.   10.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为(     )A .        B．         C.         D.     11.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中一定成立的是(      )A . ①②③            B．①②④           C. ②③④             D. ①②③④    12.如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.                                                       13.如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．       14.已知 ：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．                                   15.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；              五、课后作业1. 如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________.2. 如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝________.3.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　）A．1         B．         C．             D．4. 已知，如图，矩形ABCD边AB=6，BC=8，再沿EF折叠，使D点与B点重合，C点的对应点为G，将△BEF绕着点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°），记旋转这程中的三角形为△BE′F′，在旋转过程中设直线E′F′与射钱EF、射线ED分别交于点M、N，当EN=MN时，则FM的长为　　．   5.如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④6.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.7.如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2).(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α=30°时,求证：△AOE1为直角三角形。            如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，．（1）探究线段，的关系，并加以证明．（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变。 探究线段，的关系，并证明．                   9.在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C. D都在第一象限。(1)当∠BAO=45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；(3)设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。        10.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG（如图3），求∠BDG的度数.