平行四边形，矩形，菱形，正方形（中上）1学案（无答案）

平行四边形、矩形、菱形、正方形

一、教学目标

1、以中心对称为主线，研究平行四边形的条件及性质，会利用定理判定四边形是平行四边形；

2、理解矩形的概念，掌握矩形的性质；掌握矩形的判别条件并能应用于矩形的判定；

3、理解菱形的概念，掌握菱形的性质；掌握菱形的判别条件并能应用于菱形的判定；

4、理解正方形的概念，掌握正方形的性质；掌握正方形的判别条件并能应用于正方形的判定；

5、在平行四边形、矩形、菱形或正方形中，会利用它们的性质来解题。

二、知识梳理

知识点一 平行四边形

1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

平行四边形的对边平行且相等，对角相等（邻角互补），对角线互相平分。

3.判定：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形（对角分别相等的四边形是平行四边形）

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（一组对边相等，一组对边平行的四边形可能是等腰梯形）

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④对角线互相平分的四边形是平行四边形

★反证法：先提出与结论相反的假设，然后由这个假设出发推导出矛盾的结果。说明假设是错误的，因而命题的结论成立。这种证明方法称为反证法。

知识点二 矩形

1.定义：有一个角是直角的平行四边形角做矩形。

2.性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等。

3.判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）；

③有三个角是直角的四边形是矩形；

知识点三 菱形

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.性质：①菱形的四条边相等，对角线互相垂直；②菱形面积=对角线乘积的一半；③每条对角线平分一组对角

3.判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）；

        ③四边都相等的四边形是菱形；

知识点四 正方形

1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2. 性质：①四边都相等，四个角都是直角。对角线互相垂直平分且相等。

     ②正方形面积=对角线乘积的一半

     ③每条对角线平分一组对角

3.判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

        ②有一组邻边相等的矩形是正方形；

        ③有一个角是直角的菱形是正方形；

        补充：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

              对角线互相垂直的矩形是正方形；

              对角线相等的菱形是正方形；

              对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

4.判定正方形的过程:1、先推导到矩形，再到正方形

                   2、先推导到菱形，再到正方形

                   3、先推导到平行四边形，再到正方形

三、巩固练习

1. 如图，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的面积为________.

2. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（    ）

A.两组角分别相等的四边形    B. 平行四边形   C. 对角线互相垂直的四边形    D. 对角线相等的四边形

3.如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.

4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为 ________.

5. 如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为________.

6. 如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________.

7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正确的是（    ）

A. ②③   B.③④   C.  ①②④  D. ②③④

8. 如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则＝（    ）

A.    B.     C.    D.

9. 如图，已知∠A＝∠B，，，均垂直于，＝17，＝16，＝20，＝12，则AP+PB的值为（    ）

A. 15   B.14    C. 13   D.12

10. 如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.其中，正确结论的序号是______________．                      

11. 如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为(     )

A . 12            B．8             C.              D.

12. 如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.

第12题                第13题

13.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为(     )

A .        B．         C.         D.    

14.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中一定成立的是(      )

A . ①②③            B．①②④           C. ②③④             D. ①②③④ 

15.如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.

16.如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．  

17.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AB、BC上，且EF//AC，求证：ΔAED与ΔDCF面积相等。 　

18.已知：E是正方形ABCD的边CD上任一点，F是边AD上的点，且BF平分∠ABE. 求证：BE=AF+CE。
 

19.已知 ：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．

 当绕点旋转到时（如图1），易证．

（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．         

20.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）

（1）求证：；

（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

课后作业

1. 如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________.

2. 如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝________.

3.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　）

A．1         B．         C．             D．

4. 已知，如图，矩形ABCD边AB=6，BC=8，再沿EF折叠，使D点与B点重合，C点的对应点为G，将△BEF绕着点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°），记旋转这程中的三角形为△BE′F′，在旋转过程中设直线E′F′与射钱EF、射线ED分别交于点M、N，当EN=MN时，则FM的长为　　．

5.如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）

①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．

A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④

6.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.

7.如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2).

(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；

(2)当α=30°时,求证：△AOE1为直角三角形。

8.   如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，．

（1）探究线段，的关系，并加以证明．

（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变。 探究线段，的关系，并证明．

9.已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E. F，垂足为O.

(1)如图1，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

(2)如图2，动点P、Q分别从A. C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周。即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止。在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。

②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm,ab≠0)，已知A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式。

10.在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C. D都在第一象限。

(1)当∠BAO=45°时，求点P的坐标；

(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

(3)设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。

11.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.

（1）在图1中证明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG（如图3），求∠BDG的度数.