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2022届中考数学二轮复习专题 圆的基本性质解析版
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这是一份2022届中考数学二轮复习专题 圆的基本性质解析版，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮复习专题 圆的基本性质
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的弦，圆心O到弦AB的距离，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则 的长为（ ）
A．π B． π C．2π D． π
3．如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．如图，点 是以 为直径的半圆上的动点， 于点 ，连接 ，设 ，则下列函数图象能反映 与 之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
10．如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB=90°，则∠ACB的大小为
12．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是，油面高为，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为 ．
13．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
14．如图5，AB是半圆 O 的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为 cm.
15．如图，AB是 的直径，点C，D，E都在 上，∠1=55°，则∠2= °
16．在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为 .
17．已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为 ．
18．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点.
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为 ；.
（2）根据（1）中的条件填空：
①圆D的半径= （结果保留根号）；
②点（7，0）在圆D （填“上”、“内”或“外”）；
③∠ADC的度数为 .
三、作图题
19．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm, CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径
四、解答题
20．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．
21．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
五、综合题
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；
（2）当BE＝4，CD＝ AB时，求⊙O的直径长．
23．以的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
（1）求证：AB=AC；
（2）若BE=1，，求⊙O的半径．
24．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以O为圆心，OA为半径作，交y轴于点C，直线l：经过点C．
（1）设直线l与的另一个交点为如图，求弦CD的长；
（2）将直线l向上平移2个单位，得直线m，如图2，求证：直线m与相切；
（3）在的前提下，设直线m与切于点P，Q为上一动点，过点P作，交直线QA于点如图，则的最大面积为 ．
答案解析部分
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC三点，
∵点C是弧AB中点，圆心O到弦AB的距离是OE，
∴O、E、C三点在同一条直线上，AE=BE，
∵∠ADC= 30°，
∴∠AOC= 2∠ADC= 60°，
∵OE=，
∴AE=tan60°×OE=×=6，
∴AB=2AE=2×6=12，
故答案为：D．
【分析】如图，连接OA，OC三点，由垂径定理可得AE=BE，由圆周角定理可得∠AOC= 2∠ADC
= 60°，从而求出AE=tan60°×OE=6，根据AB=2AE即得结论.
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB
∴∠A=180°-65°-70°=45°
∵弧BC=弧BC
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°
∵OB=OC
在Rt△OBC中，∠OBC=45°
∴OC=BCsin45°= =2
∴弧BC的长为：
故答案为：A
【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
【解析】【解答】解：连接AF，
∵，，为中点，
∴，
∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，
在AB上取点G，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，
在中，，
故答案为：D．
【分析】连接AF，由直角三角形斜边中线的性质求出AF=DE=3，从而得知点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，求出此时CG的长即可.
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上找一点D，连接AD，BD，AB，则∠ADB=∠AOB=30°
在圆内接四边形ADBC中
∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°
∴∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°
又∵AC=BC=PC
∴∠CPA=∠CAP，∠CBP=∠CPB
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（∠CAB+∠CBA+∠CAP+∠CBP）
=180°-30°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠APC+∠BPC）
=150°-∠APB
∴∠APB=75°
故答案为：D．
【分析】连接AD，BD，AB，先利用圆周角求出∠ADB=∠AOB=30°，再利用圆内接四边形的性质可得∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°，再根据等腰三角形和三角形的内角和求出∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°，最后利用∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=150°-（∠APC+∠BPC）=150°-∠APB计算即可。
【解析】【分析】设AE=，则AC=，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即解得：
故选B．
【解析】【解答】解：设圆的半径为 ，连接 ，
则 ，
，即 是圆的切线，则 ，
则
则
图象为开口向下的抛物线。
故答案为： 。
【分析】设圆的半径为 ，连接 ，根据直径所对的圆周角是直角得出∠APB=90°，根据正弦函数的定义得 ，根据同角的余角相等得出，根据等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义得出，从而即可建立出y与x的函数关系式，根据所得函数的图象即可解决问题。
【解析】【解答】解：如图，连接，
点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
是的外角，
，
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理求出，再求出然后根据三角形外角性质求出的度数。
【解析】【解答】解：∵∠A与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠A。
故答案为：D。
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A。
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD，
∴ ，
∴AC=BD，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6，CD=2，
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4，
在
∴
在 ，
∴ ，
根据圆周角的性质可知 ，
在 ，
∴ ，
∵BO＞0，
∴BO= .
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，由二直线平行，内错角相等可得∠ECD=∠CEA=90°，推出四边形CDFE是矩形，则EF=CD=2，根据弧、弦的关系可得AC=BD，推出四边形ABDC是等腰梯形，则AE=BF=2，BE=BF+EF=4，易得CE=AE=2，由勾股定理求出BC，根据圆周角定理可知 ∠COB=90°，然后在Rt△BOC中，由勾股定理就可求出BO.
【解析】【解答】解：∵∠ACB+∠AOB=90°， ∠AOB=2∠ACB，
∴3∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，再根据∠ACB+∠AOB=90°， 得出3∠ACB=90°，即可得出∠ACB=30°.
【解析】【解答】如图所示，做垂直于弦BC的直径AD交⊙O于A、D两点，垂足为E，连接OB、OC，则OA=OB=OC=OD=R，R为⊙O的半径.
∵DE=
∴OE=DE-OD=-=
在Rt△OED中，BE===R
同理，CE=，BC=BE+CE=+=
△OBC的面积为：S1=BC·OE=
在Rt△OED中，sin∠BOE==即∠BOE=60°，同理，∠COE=60°
而劣弧BAC所对的角为：∠BOE+∠COE=120°，优弧弧BDC所对的角为：360°-120°=240°
半径OB、OC和优弧BDC组成的扇形面积为：S2=×πR2=πR2
∴有油的弓形即阴影部分的面积为：S=S1+S2=
【分析】可把弓形分成几个部分分别求面积，也可以直接求弓形的面积。 这是关于弓形与扇形面积的计算题，运算较为麻烦一些。
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴=，
∴BD=，
∴BD=PD=，即PB=，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴=，
∴CP=，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴==，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴=，
∴=，解得t=，
在Rt△BCG中，BC=t=，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，
故答案为：8，，．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
【解析】【解答】解：连接AC，设半圆O的半径为R，
∵AB是半圆 O 的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE⊥BC，
∵BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
在Rt△BDO中，
∴R2=（R-2）2+42，
∴R=OB=5cm，
∴AB=10cm，
在Rt△ACB中，
∴AC=6cm，
在Rt△ACD中，
∴AD=（cm）.
故答案为：2.
【分析】连接AC，设半圆O的半径为R，根据圆周角定理得∠ACB=90°，由E是中点得OE⊥BC，在Rt△BDO中，根据勾股定理求得半径，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AC长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求得AD长.
【解析】【解答】解：如图，连接AD.
∵AB是直径， 。
∴∠ADB=90°，
∵∠1=∠ADE，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=55°，
∴∠2=35°，
故答案为35.
【分析】连接AD，根据直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠1=∠ADE，然后根据已知条件求出∠2的度数
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝ AB＝ ×6＝3，
∴OA＝ ，
∴CM＝OC＋OM＝ ＋3，
∴S△ABC＝ AB•CM＝ ×6×（ ＋3）＝9 +9.
故答案为：9 +9.
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案.
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣ 2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°， = ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结论．
【解析】【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.
如图所示，
则圆心D的坐标为（2，0）；
故答案为：（2,0）；
（2）①圆D的半径= =2 ，
故答案为：2 ；
②∵点（7，0）到圆心的距离d=5，
∴d>r，故该点在圆D外；
故答案为：外；
③∵A(0，4)， C(6，2)，D(2，0)，
∴AD=2 ，CD=2 ，AC=，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°.
故答案为：90°.
【分析】（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，进而可得圆心坐标；
（2）①利用两点间距离公式可得半径；
②首先求出点（7，0）到圆心的距离，然后结合圆的半径进行判断；
③根据点A、C、D的坐标可得AD、CD、AC的值，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
【解析】【分析】
（1）、由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，AD、FC都是直径，很容易证明DC∥AB，再由CA=CE，CF为直径，根据垂径定理即得CF⊥AE，，再由AD是直径，可得ED⊥AE，则CF∥GD。故四边形DCFG为平行四边形。
（2）根据量的化归统一的思想，由已知条件和线段相等等把AB上的所有线段用一个量x来表示。根据平行线对应线段成比例或三角形相似的性质，求出其他线段间的比例关系或线段长。在△ABC中，根据勾股定理列关系式，求出x。CE为直径，在Rt△中运用勾股定理即可求出圆的直径的长。
【解析】【分析】（1）连接AD，由AC为直径可得∠ADC=90°，由点D是BC的中点可得AD垂直平分BC，根据垂直平分线的性质即得结论；
（2）如图2，连接 ，由切线的性质可得∠ODE=90°，根据三角形中位线定理可得OD∥AB，利用平行线的性质可得∠AED=∠ODE=90°，跟姐姐余角的性质可得，由于
= ，据此求出DE、AE的长，根据AC=AB=AE+BE可求出AC的长，即得⊙O的半径 .
【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠DOE=90°，从而可得证.（2）连结AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2 ，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案.
【解析】【解答】解：（3）的最大面积为54．
理由：设与x轴的另一交点为G，连接PA、OP、PG，过点P作轴于H，如图
由∽，可得，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
当PQ取得最大值时，即时，取得最大值，
此时．
故答案为54．
【分析】（1）作L的垂线，利用面积法求出OE，再利用勾股定理求出CE，根据为等腰三角形可知CE=2CD就可以求出答案
（2）作m的垂线，垂足为F，设直线m与x轴交于点N，与y轴交于点M，只要证明OF=半径即可
（3）设与x轴的另一交点为G，连接PA、OP、PG，过点P作轴于H，由，推出面积相似比，求出的面积表达式，推出PQ取最大值时，面积最大
中考数学二轮复习专题 圆的基本性质
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的弦，圆心O到弦AB的距离，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则 的长为（ ）
A．π B． π C．2π D． π
3．如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．如图，点 是以 为直径的半圆上的动点， 于点 ，连接 ，设 ，则下列函数图象能反映 与 之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
10．如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB=90°，则∠ACB的大小为
12．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是，油面高为，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为 ．
13．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为 .
14．如图5，AB是半圆 O 的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为 cm.
15．如图，AB是 的直径，点C，D，E都在 上，∠1=55°，则∠2= °
16．在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为 .
17．已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为 ．
18．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点.
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为 ；.
（2）根据（1）中的条件填空：
①圆D的半径= （结果保留根号）；
②点（7，0）在圆D （填“上”、“内”或“外”）；
③∠ADC的度数为 .
三、作图题
19．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm, CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径
四、解答题
20．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．
21．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
五、综合题
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；
（2）当BE＝4，CD＝ AB时，求⊙O的直径长．
23．以的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
（1）求证：AB=AC；
（2）若BE=1，，求⊙O的半径．
24．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以O为圆心，OA为半径作，交y轴于点C，直线l：经过点C．
（1）设直线l与的另一个交点为如图，求弦CD的长；
（2）将直线l向上平移2个单位，得直线m，如图2，求证：直线m与相切；
（3）在的前提下，设直线m与切于点P，Q为上一动点，过点P作，交直线QA于点如图，则的最大面积为 ．
答案解析部分
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC三点，
∵点C是弧AB中点，圆心O到弦AB的距离是OE，
∴O、E、C三点在同一条直线上，AE=BE，
∵∠ADC= 30°，
∴∠AOC= 2∠ADC= 60°，
∵OE=，
∴AE=tan60°×OE=×=6，
∴AB=2AE=2×6=12，
故答案为：D．
【分析】如图，连接OA，OC三点，由垂径定理可得AE=BE，由圆周角定理可得∠AOC= 2∠ADC
= 60°，从而求出AE=tan60°×OE=6，根据AB=2AE即得结论.
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB
∴∠A=180°-65°-70°=45°
∵弧BC=弧BC
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°
∵OB=OC
在Rt△OBC中，∠OBC=45°
∴OC=BCsin45°= =2
∴弧BC的长为：
故答案为：A
【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
【解析】【解答】解：连接AF，
∵，，为中点，
∴，
∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，
在AB上取点G，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，
在中，，
故答案为：D．
【分析】连接AF，由直角三角形斜边中线的性质求出AF=DE=3，从而得知点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，求出此时CG的长即可.
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上找一点D，连接AD，BD，AB，则∠ADB=∠AOB=30°
在圆内接四边形ADBC中
∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°
∴∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°
又∵AC=BC=PC
∴∠CPA=∠CAP，∠CBP=∠CPB
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（∠CAB+∠CBA+∠CAP+∠CBP）
=180°-30°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠APC+∠BPC）
=150°-∠APB
∴∠APB=75°
故答案为：D．
【分析】连接AD，BD，AB，先利用圆周角求出∠ADB=∠AOB=30°，再利用圆内接四边形的性质可得∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°，再根据等腰三角形和三角形的内角和求出∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°，最后利用∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=150°-（∠APC+∠BPC）=150°-∠APB计算即可。
【解析】【分析】设AE=，则AC=，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即解得：
故选B．
【解析】【解答】解：设圆的半径为 ，连接 ，
则 ，
，即 是圆的切线，则 ，
则
则
图象为开口向下的抛物线。
故答案为： 。
【分析】设圆的半径为 ，连接 ，根据直径所对的圆周角是直角得出∠APB=90°，根据正弦函数的定义得 ，根据同角的余角相等得出，根据等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义得出，从而即可建立出y与x的函数关系式，根据所得函数的图象即可解决问题。
【解析】【解答】解：如图，连接，
点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
是的外角，
，
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理求出，再求出然后根据三角形外角性质求出的度数。
【解析】【解答】解：∵∠A与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠A。
故答案为：D。
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A。
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD，
∴ ，
∴AC=BD，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6，CD=2，
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4，
在
∴
在 ，
∴ ，
根据圆周角的性质可知 ，
在 ，
∴ ，
∵BO＞0，
∴BO= .
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，由二直线平行，内错角相等可得∠ECD=∠CEA=90°，推出四边形CDFE是矩形，则EF=CD=2，根据弧、弦的关系可得AC=BD，推出四边形ABDC是等腰梯形，则AE=BF=2，BE=BF+EF=4，易得CE=AE=2，由勾股定理求出BC，根据圆周角定理可知 ∠COB=90°，然后在Rt△BOC中，由勾股定理就可求出BO.
【解析】【解答】解：∵∠ACB+∠AOB=90°， ∠AOB=2∠ACB，
∴3∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，再根据∠ACB+∠AOB=90°， 得出3∠ACB=90°，即可得出∠ACB=30°.
【解析】【解答】如图所示，做垂直于弦BC的直径AD交⊙O于A、D两点，垂足为E，连接OB、OC，则OA=OB=OC=OD=R，R为⊙O的半径.
∵DE=
∴OE=DE-OD=-=
在Rt△OED中，BE===R
同理，CE=，BC=BE+CE=+=
△OBC的面积为：S1=BC·OE=
在Rt△OED中，sin∠BOE==即∠BOE=60°，同理，∠COE=60°
而劣弧BAC所对的角为：∠BOE+∠COE=120°，优弧弧BDC所对的角为：360°-120°=240°
半径OB、OC和优弧BDC组成的扇形面积为：S2=×πR2=πR2
∴有油的弓形即阴影部分的面积为：S=S1+S2=
【分析】可把弓形分成几个部分分别求面积，也可以直接求弓形的面积。 这是关于弓形与扇形面积的计算题，运算较为麻烦一些。
【解析】【解答】解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴=，
∴BD=，
∴BD=PD=，即PB=，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴=，
∴CP=，
∴BC=CP﹣BP=-=；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴==，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴=，
∴=，解得t=，
在Rt△BCG中，BC=t=，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，
故答案为：8，，．
【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质=，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
【解析】【解答】解：连接AC，设半圆O的半径为R，
∵AB是半圆 O 的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE⊥BC，
∵BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
在Rt△BDO中，
∴R2=（R-2）2+42，
∴R=OB=5cm，
∴AB=10cm，
在Rt△ACB中，
∴AC=6cm，
在Rt△ACD中，
∴AD=（cm）.
故答案为：2.
【分析】连接AC，设半圆O的半径为R，根据圆周角定理得∠ACB=90°，由E是中点得OE⊥BC，在Rt△BDO中，根据勾股定理求得半径，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AC长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求得AD长.
【解析】【解答】解：如图，连接AD.
∵AB是直径， 。
∴∠ADB=90°，
∵∠1=∠ADE，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=55°，
∴∠2=35°，
故答案为35.
【分析】连接AD，根据直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠1=∠ADE，然后根据已知条件求出∠2的度数
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝ AB＝ ×6＝3，
∴OA＝ ，
∴CM＝OC＋OM＝ ＋3，
∴S△ABC＝ AB•CM＝ ×6×（ ＋3）＝9 +9.
故答案为：9 +9.
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案.
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣ 2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°， = ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结论．
【解析】【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.
如图所示，
则圆心D的坐标为（2，0）；
故答案为：（2,0）；
（2）①圆D的半径= =2 ，
故答案为：2 ；
②∵点（7，0）到圆心的距离d=5，
∴d>r，故该点在圆D外；
故答案为：外；
③∵A(0，4)， C(6，2)，D(2，0)，
∴AD=2 ，CD=2 ，AC=，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°.
故答案为：90°.
【分析】（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，进而可得圆心坐标；
（2）①利用两点间距离公式可得半径；
②首先求出点（7，0）到圆心的距离，然后结合圆的半径进行判断；
③根据点A、C、D的坐标可得AD、CD、AC的值，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
【解析】【分析】
（1）、由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，AD、FC都是直径，很容易证明DC∥AB，再由CA=CE，CF为直径，根据垂径定理即得CF⊥AE，，再由AD是直径，可得ED⊥AE，则CF∥GD。故四边形DCFG为平行四边形。
（2）根据量的化归统一的思想，由已知条件和线段相等等把AB上的所有线段用一个量x来表示。根据平行线对应线段成比例或三角形相似的性质，求出其他线段间的比例关系或线段长。在△ABC中，根据勾股定理列关系式，求出x。CE为直径，在Rt△中运用勾股定理即可求出圆的直径的长。
【解析】【分析】（1）连接AD，由AC为直径可得∠ADC=90°，由点D是BC的中点可得AD垂直平分BC，根据垂直平分线的性质即得结论；
（2）如图2，连接 ，由切线的性质可得∠ODE=90°，根据三角形中位线定理可得OD∥AB，利用平行线的性质可得∠AED=∠ODE=90°，跟姐姐余角的性质可得，由于
= ，据此求出DE、AE的长，根据AC=AB=AE+BE可求出AC的长，即得⊙O的半径 .
【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠DOE=90°，从而可得证.（2）连结AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2 ，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案.
【解析】【解答】解：（3）的最大面积为54．
理由：设与x轴的另一交点为G，连接PA、OP、PG，过点P作轴于H，如图
由∽，可得，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
当PQ取得最大值时，即时，取得最大值，
此时．
故答案为54．
【分析】（1）作L的垂线，利用面积法求出OE，再利用勾股定理求出CE，根据为等腰三角形可知CE=2CD就可以求出答案
（2）作m的垂线，垂足为F，设直线m与x轴交于点N，与y轴交于点M，只要证明OF=半径即可
（3）设与x轴的另一交点为G，连接PA、OP、PG，过点P作轴于H，由，推出面积相似比，求出的面积表达式，推出PQ取最大值时，面积最大
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