中考数学二轮复习重难点题型突破圆的基本性质证明与计算（含解析）

这是一份中考数学二轮复习重难点题型突破圆的基本性质证明与计算（含解析），共9页。
类型一 圆的基本性质证明与计算命题点1　垂径定理例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(   )A．AE>BEB.＝C．∠D＝∠AECD．△ADE∽△CBE【答案】：D 命题点2　圆周角定理例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．【答案】：27°重难点1　垂径定理及其应用例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；               图1   　　   图2   　　    图3      　　图4探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．【答案】：（1）8 ,  （2）  【思路点拨】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(   )A．4               B．2             C.          D．2【答案】：D【变式训练2】　【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________【答案】：2cm或14cm1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长． 重难点2　圆周角定理及其推论例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；(2)如图2，若∠A＝45°：①求BC的长；②若点C是的中点，求AB的长；(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．                        图1                   图2               　　图3【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【点拨】　连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．【解析】　解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.【变式训练3】　如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(     )A．58°                B．60°             C．64°             D．68°【答案】：A【变式训练4】　将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为(    )A．15°               B．28°            C．29°                 D．34°　　　　　【答案】C1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒． 重难点3　圆内接四边形例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(    )A．50°             B．60°            C．80°             D．90°【答案】C【思路点拨】　延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(    )A．80°              B．120°              C．100°               D．90°【答案】B【变式训练6】　如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________【答案】n°1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ能力提升1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么(   )A．AB＝AC              B．AB＝2AC           C．AB＜2AC            D．AB＞2AC【答案】C 2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为(   )A．2               B．2             C．4              D．4【答案】D　　3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为(    )A．7                B．6             C．5               D．4【答案】C4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(   )A．25°             B．27.5°              C．30°               D．35°【答案】D5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(    )A．15°              B．35°              C．25°              D．45°【答案】A                                 6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为(    )A．30°              B．43°            C．47°             D．53°【答案】C7．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.【答案】10cm8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴＝.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)连接CD.∵＝，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.∴BC＝＝4.∴△ABC外接圆的半径为2.9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为(    )A．5               B．4            C．3             D．2提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．【答案】D10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．【答案】11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.【答案】,12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝∠COH＝30°.(2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．