四川省绵阳市东辰中学2020-2021学年高二上学期期中测试数学理试题 Word版含答案

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绵阳东辰中学高2019级高二上期期中测试

数学试题（理科）

考试时间：120分钟；满分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 在每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列双曲线中，渐近线方程为的是（    ）

A.         B.           C.            D.

3. 若直线与直线平行，则的值为（    ）

A.  B.     C. 或            D.

4. 给出下面一个程序如右：

此程序运行的结果是（    ）

A．5,8 B．8,5

C．8,13 D．5,13

5. 在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ）

A．                            B． 

C．    D．

6．已知点在抛物线的准线上，其焦点为，则直线的斜率是（　　）

A．              B．               C．                D．

7. 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的面积为（    ）

A．24                B．28                 C． 40               D．48

8. 直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（    ）

A.     B.       C.         D.

9．已知椭圆离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.                D.

10．已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率为（    ）

A.               B.               C.              D.

11．已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，关于直线的对称点为关于直线的对称点为，则当最小时，的值为（    ）

A.               B.                  C.                 D.

12. 在等腰梯形中， ，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（    ）

A．              B．                   C．2                 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卡上.

13. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则=_____.

14. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的_________．

15．已知是椭圆上的一点，为右焦点，点的坐标为，则周长的最大值为_______.

16．已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时， 恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．

三、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余每小题12分，共70分）

17．已知一个圆经过坐标原点和点(2，0)，且圆心C在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）过点作圆C的切线PA和PB，求直线PA和PB的方程．

18．已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．

（1）求点轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．

19．已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．

（1）求双曲线C的方程．

（2）经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，点为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|＝且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作直线交椭圆C于两点，记的斜率分别为，若，求直线的方程.

21．已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，,是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

22. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过动点的直线交轴与点，交于点 (在第一象限)，且是线段的中点. 过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.

（ⅰ）设直线的斜率分别为，证明为定值；

（ⅱ）求直线的斜率的最小值.

绵阳东辰学校高2019级高二上期期中测试

数学答案（理科）

1~5：CABCD  6~10:DAACA  11~12:BB

13：6      14：45     15：10      16：

12.解：由平几知识可得，所以，因为在上单调递减，所以，由不等式恒成立，得，即的最大值是，选B.

15.解：如图所示，设椭圆的左焦点为，由题意可知，则，因为的坐标为，所以，

由椭圆的定义可得，因，

所以周长为，

当且仅当三点共线时取等号，所以周长的最大值为10，故答案为：10

16.解：圆的半径为为弦的中点，

，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，

设中点为，，且当在圆上运动时，恒为锐角，

则以为圆心以2为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆外离，

则，即，解得或，

线段中点的横坐标取值范围为，故答案为.

17.解：(1)根据题意，设圆心C的坐标为（m，2m），又由圆经过坐标原点和点（2，0），则有，解可得：m=1，

则圆心的坐标为（1，2），半径，

则圆的方程为：；

（2）由（1）的结论，圆C的方程为：；

过点P（-2，2）作圆C的切线PA和PB，则PA、PB的斜率都存在，

设切线的方程为y-2=k(x+2），即y-kx-2k-2=0，

则有，解可得：，则直线PA和PB的方程为y-2=（x+2）．

18.解：(1)由得，

化简得：，轨迹为圆

（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意；

当直线的斜率存在时，设的方程为：，即，

由圆心到直线的距离等于，解得，

直线方程为

所求的直线的方程为：或.

19.解：（1）由题意得椭圆的焦点为F1（，0），F2（，0），

设双曲线方程为1，a＞0，b＞0，

则c2＝a2+b2＝3，∵e∴ca，解得a2＝1，b2＝2，∴双曲线方程为x21．

（2）把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线x12y12＝1，x22y22＝1，

两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，

把x1+x2＝4，y1+y2＝2代入，得4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，

∴kAB4，∴直线L的方程为y＝4x﹣7，把y＝4x﹣7代入x21，

消去y得14x2﹣56x+51＝0，∴x1+x2＝4，x1x2＝ ，k＝4，

∴|AB|•．

20.解：（1）依题意可得解得，所以椭圆方程为

（2）由（1）设，，，设直线的方程为，联立方程得，消去整理得，

所以，

因为，，所以，

因为，即，

所以

代入得

解得，即：

21.解：（1）设，根据抛物线的定义可得

又轴于点，则，，所以 ，则

所以，由在抛物线上，，解得

所以抛物线的方程为

（2）证明：点在抛物线上.设：，

由 得

所以，整理得

将代入得，即.

所以直线恒过定点

22.解：（1）设椭圆的半焦距为c.由题意知，

所以.所以椭圆C的方程为.

（2）（ⅰ）设，由M(0,m)，可得

所以直线PM的斜率，直线QM的斜率.

此时.所以为定值–3.

（ⅱ）设.直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=–3kx+m.

联立 整理得.

由，可得，

所以.

同理.

所以，

，

所以

由，可知k>0，所以，等号当且仅当时取得.

此时，即，符号题意.

所以直线AB 的斜率的最小值为.