2022-2023学年四川省绵阳市江油中学高二上学期期中测试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省绵阳市江油中学高二上学期期中测试数学（文）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，

故选D

2．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，直接写出抛物线准线方程作答.

【详解】抛物线的准线方程是.

故选：D

3．某校有教师150人，后勤工作人员20人，高中生1200人，初中生1800人，现要了解该校全体人员对学校的某项规定的看法，抽取一个容量为317的样本进行调查，设计一个合适的抽样方案，你会在初中生中抽取（    ）

A．120人 B．180人 C．200人 D．317人

【答案】B

【分析】根据分层抽样计算即可得解.

【详解】由题意，所选人员类型不同，应该选用分层抽样选取样本，

故初中生应抽取（人），

故选：B

4．已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（    ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．外离

【答案】A

【分析】根据圆的方程确定圆的圆心和半径，再根据两圆圆心间的距离与两圆半径的大小关系判断两圆的位置关系.

【详解】因为圆，

所以，半径为5,

因为圆，

所以，半径为5，

由于，等于两圆半径之和，

所以圆与圆外切.

故选：A

【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.

5．已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆半焦距公式，结合双曲线的右顶点的定义、渐近线方程进行求解即可

【详解】因为椭圆的半焦距为：，

所以双曲线的右顶点坐标为，即，

因此该双曲线的渐近线方程为，

故选：C

6．双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（    ）

A． B．10 C．或10 D．

【答案】B

【分析】根据双曲线定义即可解决.

【详解】由题知双曲线，

所以 ，

记左，右焦点分别为 ，

所以根据定义得 ，

因为,

所以或，

因为时，，即不满足题意，

所以，

故选B

7．为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（    ）

A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大

B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大

C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大

D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小

【答案】D

【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可.

【详解】甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故A错误；

甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误；

由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C错误；

甲成绩的平均数为分，乙成绩的平均数为分，故D正确．

故选：D

8．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（    ）

A．1 B．3 C．6 D．8

【答案】D

【分析】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.

【详解】解：由题意可知，所以直线与的方程为，

联立直线方程和抛物线方程，可得，

设

则，

所以.

故选：D.

9．已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：依题意有，解得，所以方程为.

【解析】双曲线的概念与性质．

10．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（    ）

A．4 B．12 C． D．

【答案】B

【分析】结合抛物线定义，为正三角形，即可解决.

【详解】由题知抛物线：，开口向右，，

记准线与轴交于点，

因为，根据抛物线定义有：，

因为，

所以为正三角形，

所以，

所以

因为焦点到准线的距离为，

所以，

所以，

故选：B

11．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上（

位于第一象限），且点关于原点对称，若，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理求出，构造齐次式即可求出离心率.

【详解】依题意，作图如下，

因为点关于原点对称，所以为的中点，

且为的中点，，所以四边形为矩形，

设

根据勾股定理得,即，

整理得，解得，

由于椭圆的范围知，所以，

由得,即，

整理得，即，

解得，因为，

所以，

故选:C.

12．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意是抛物线的准线与轴的交点，过作，垂足为，则，，确定最小时是抛物线的切线，求出切点坐标，根据双曲线的定义计算．

【详解】由题意是抛物线的准线与轴的交点，过作，垂足为，则，

，由题意最小，是锐角，因此最小时，是抛物线的切线，

设直线方程为，

由，得（*），，，

由对称性，不妨取，方程（*）为，，，

所以，

故双曲线的实轴长为，

故选：D．

二、填空题

13．中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________.

49  54  43  54  82  17  37  93  23  78  87  35  20  96  43  84  26  34  91  64

84  42  17  53  31  57  24  55  06  88  77  04  74  47  67  21  76  33  50  25

【答案】16

【分析】由随机数表中随机数的产生规则确定：依次两位两位读数，不大于33的保留即可．

【详解】依次选出来的号码依次为21，32，09，16，第四个是16.

故答案为：16.

14．若直线与直线互相垂直，则的值为______.

【答案】

【分析】由直线垂直的条件求解．

【详解】由题意，．

故答案为：．

15．若点为椭圆上的一点，，为左右焦点，若，则点到轴的距离为__________.

【答案】

【分析】由椭圆标准方程确定，确定题中点是短轴端点，由此易得结论．

【详解】由已知，，因此，，

当为短轴端点时，，是等边三角形，，

此时到轴距离等于．

故答案为：．

16．已知是椭圆：上任意一点，是圆：上任意一点，，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，则正确的是_________.

①．使为直角的点共有个

②．的最大值为

③．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为

④．当最大时，

【答案】①③④

【分析】作以为直径的圆，与椭圆交于点，可判断①，③是否正确；

利用可判断②是否正确；

利用，可判断④是否正确.

【详解】

对于①，如图，以椭圆：的焦点，为直径，作圆，与椭圆交于，，，四点，

当点在圆上时，为直角，

∴使为直角的点共有4个，即，，，，故①正确；

对于②，易知，

∴如图，的最大值为的最大值与圆半径的和，

设，∵在椭圆上，∴，即，

，

由已知，，

∴由二次函数知识知，当时，的最大值为，

∴的最大值为，故②错误；

对于③，由，解得

，，，

当点在圆内时，为钝角，

点的横坐标，故③正确.

对于④，如图，而大小不变，因此最大时，最大，

由图可知，当直线与圆相切，且切点位于第一象限时，最大，

此时，连接，，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，故④正确.

故答案为：①③④.

三、解答题

17．已知两条直线：与：的交点为.

(1)求过点且平行于直线：的直线方程；

(2)若直线与轴、轴分别交于A、两点，且点为线段的中点，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解方程组求得交点坐标，设出平行线方程代入点坐标求得参数，从而得结论；

（2）由是中点求得坐标，由截距式得直线方程并整理．

【详解】（1）由题意可得，即，

∵所求直线与平行，

∴设直线方程为：，

把的坐标代入得：，

即所求方程为：；

（2）设过点的直线与轴交于点，与轴交于点，

∵是的中点坐标

∴，，则，，

∴方程为即．

18．已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．

【详解】（1）圆心到直线的距离．

直线与圆相切，．

圆的标准方程为：．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，

即：，，又，．

解得：．

直线的方程为：．

②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．

综上所述的方程为：或．

【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

19．为了估计某校的一次数学考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在上，将这些成绩分成六段，，…，，后得到如图所示部分频率分布直方图.

(1)求抽出的60名学生中分数在内的人数；

(2)若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校优秀人数；

(3)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数.

【答案】(1)15人

(2)135人

(3)76

【分析】（1）根据频率的和等于1求出成绩在内的频率，计算对应的频数即可.

（2）计算小于85分的频数即可.

（3）根据中位数平分频率直方图的面积，求出即可.

【详解】（1）解：由题意得：

在频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，频率的和等于1，

成绩在内的频率

人数为人；

（2）估计该校的优秀人数为不小于85分的频率再乘以样本总量600，

即人；

（3）分数在内的频率为0.25，

∵分数在内的频率为，

∴中位数在内，

∵中位数要平分方图的面积，

∴中位数为

20．已知点在抛物线上，为焦点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据焦半径公式，求解，得到抛物线方程；

（2）设，设直线，与抛物线方程联立，求得 ，再利用点在抛物线上得到，从而求得的值.

【详解】（1）抛物线 ，焦点，由得.

∴抛物线得方程为.

（2）依题意，可设过点的直线的方程为，

由得，

设，则，

∴，∴.

21．在平面直角坐标系中，点，过动点P作直线的垂线，垂足为M，且.记动点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线的方程；

(2)过点的直线交曲线于不同的两点、，若为线段的中点，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量数量积的坐标形式表示P点坐标满足的等量关系并化简即可得到其轨迹方程；

（2）先根据直线与曲线E的公共点个数情况讨论直线的斜率，斜率不存在和斜率为0时均不满足；斜率存在且不为0时，再根据中点坐标关系解出斜率k，即可求得直线l的方程.

【详解】（1）设，则．

因为，所以，

因为，所以，即.

所以曲线E的方程为.

（2）若直线l的斜率不存在，则l与曲线E无公共点，因此l的斜率存在；

若l的斜率为0，则l与曲线E只有一个公共点，因此l的斜率不为0.

设，

由得，于是，解得且．

设，，则.

因为B为线段的中点，所以．

又，所以，

因此，所以，符合且，

于是，此时直线的方程为.

22．已知椭圆：的焦点，，点P在椭圆上满足

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，，求的面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆定义，求出，，再根据求解即可；

（2）设直线方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理（根与系数的关系）求出交点，纵坐标的关系与，以此求得的面积的最大值．

【详解】（1）∵，∴，，

∵椭圆的焦点，，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为.

（2）由椭圆的标准方程，左顶点，

易知过的直线斜率不为，

∴设直线的方程为：，

，消去，化简得：

，

恒成立，

设，，

则，，

，

令，则，，

，

令，则，

当时，，∴在单调递增，

∴，

∴

∴当，即，直线的方程为时，面积的最大值为.