四川省双流中学2020-2021学年高二上学期第一学月考（半期）数学理科试题

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双流中学2020~2021学年度上期高中2019级第一学月考试数学试题

（理工农医类）（总分150分）  

注意事项：注意事项：

 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．

 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

第Ⅰ卷

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“”的否定是（    ）

A．             B．

C．             D．

【答案】B

【解析】由命题的否定原则知，变量词，否结论．故选B

2．已知直线与平行，则实数的值（    ）

A．          B．          C．          D．或

【答案】D

【解析】因为两直线平行，所以，解得或，

经检验，当或时，两直线不重合．故选D

3．在空间直角坐标系中，点到点和点的距离相等，则实数的值为（   ）

A．          B．         C．            D．

【答案】B

【解析】由题知，

所以，

解得的值为．故选B

4．圆与圆的位置关系为（    ）

A．相离          B．内切         C．外切          D．相交

【答案】B

【解析】圆的圆心，

圆的圆心，因为，

．所以相交．故选B

5．曲线方程的化简结果为（    ）

A．      B．      

 C．     D．

【答案】B

【解析】的意义为

一动点到两定点的距离为的点的轨迹方程，

由椭圆的定义知其轨迹为且焦点在轴上的椭圆，

所以其方程为．故选B

6．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A．          B．          

 C．         D．

【答案】D

【解析】连接，则异面直线与所成角即为，

设底面正方形的边长为，

则，

所以，

．故选D

7．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】为非零向量，若“存在负数，使得”，

则向量共线且方向相反，可得“”；

反之不成立，非零向量的夹角为钝角时，满足，

而不成立．故选A

8．设是等比数列的前项和，若，则（    ）

A．          B．           C．          D．或

【答案】B

【解析】由等比数列性质知成等比数列，

设，则，

则，所以，则．故选B

9．圆关于直线对称，则的最小值是（    ）

A．        B．        C．         D．

【答案】C

【解析】圆关于直线 对称，则圆心在直线上，即，

又因为，所以

，

当且仅当时等号成立．故选C

10．方程所表示的曲线的图形是（    ）

【答案】C

【解析】方程，

即或，表示一条直线去掉点

以及圆位于直线右侧的部分．故选C

11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”．设是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为（    ）

A．       B．          C．     D．

【答案】A

【解析】因为恰好是的“勾”“股”，所以， 所以，所以，又因为点在椭圆上，

所以

，设，

则，整理得，解得，

所以．故选A

12．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点在的上方），且，过点任作一条与圆相交于两点，的值为（    ）

A．              B．               

C．            D．

【答案】C

【解析】因为圆与轴相切于点，所以圆心横坐标，

取的中点，因为，

所以，则，即圆的半径，

所以圆心，又因为，

且为的中点，所以，

因为在圆上，

所以可设，

所以，

，

所以，同理可得，

所以．故选C

             第II卷

二．填空题．本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案直接写在答题卡上．

13．等差数列中，，则=________．

【答案】

【解析】因为为等差数列，

所以，

所以．

14．设点和，在直线上找一点，使

取到最小值，则这个最小值为__________．

【答案】

【解析】设点关于直线对称的点为，

则，解得，

所以，连接与直线交于点，

则

15．已知平面区域恰好被面积最小的圆

及其内部所覆盖，则圆的方程为_________．

【答案】

【解析】平面区域表示以构成的三角形及其内部，覆盖它的最小圆是其外接圆，设其方程为，

带入得，解得，

故其方程为，其标准方程为

16．已知边长为的菱形中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则该四面体的外接球的表面积为______________．

【答案】

【解析】如图，设两三角形外心分别为，球心为中点为， 由题知，

所以，所以球半径，

所以四面体的外接球的表面积为．

三．解答题，本大题共6题，共70分．解答出写文字说明、证明过程或推演步骤．

17．17．已知的三个顶点坐标为

（1）求的中线所在直线方程的一般式方程；

（2）求的面积．

【解析】（1）因为所以的中点坐标，

又因为，所以 的中线所在直线的斜率，

所以直线方程为

（2）因为所以，而，

所以直线垂直于直线，

所以，，，

所以,

所以的面积

18．设命题：实数满足，其中．命题：实数满足；

    （1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解析】（1），所以，所以，，所以，所以实数的取值范围为

（2）因为是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，

 又因为命题：实数满足，所以，

 命题：实数满足，其中，所以， 所以可得，所以实数的取值范围为

19．在中，角的对边分别为，已知，

（1）求的值

（2）在边上取一点，使得,求的值．

【解析】（1）因为，根据余弦定理

，可得，可得，

再根据正弦定理，可得，所以

（2）由于，，所以，

由于， 所以，所以，

所以=

由于，所以，所以．

20.如图，已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点，

（1）求圆的方程；

（2）当时，求直线的方程．

【解析】（1）点到直线的距离为

，所以半径为，

所以圆的方程为

（2）连接，则由垂径定理可知,且，

 在中，由勾股定理知：,

 当动直线的斜率不存在时，直线的方程为：，显然符合题意．

 当动直线的斜率存在时，直线的方程为：，

 由到动直线的距离为1，得，，

 所以，所以直线的方程为或

21．如图，在三棱柱中，分别是的中点，

（1）设棱的中点为，证明：平面；

（2）若，且平面平面，求平面角的余弦值．

【解析】（1）连接，因为为棱的中点，可由棱柱性质知

,且，所以四边形为平行四边形，

所以，因为分别是的中点，所以，所以平面平面，所以平面，所以得证.

以为原点，在平面内过作的垂线为轴，

 以为轴， 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

 则平面的一个法向量为，

,所以,

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，则，

所以二面角的余弦值为

22．已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．

【解析】（1）因为直线的斜率为，且，

所以直线：，据题知点的纵坐标为，所以，所以在椭圆中，又因为椭圆的离心率为，所以，

所以，所以椭圆方程为

（2）当轴时，不符合题意，所以可设，

 联立直线与椭圆方程得，所以， 由，得，

 设，，

 =，

 点到直线的距离，所以的面积 =，设，则，

 所以=，当且仅当，即时等号成立， 符合，所以当时，的面积取得最大值，

 此时直线的方程为或