2020-2021学年第三章 变量之间的关系综合与测试教案设计

第三章 《变量之间的关系》

回顾与思考

教学目标：

1．知识目标：回顾总结表示变量之间的方法，学会用变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，并作出预测。

2．能力目标：从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。发展有条理的思考和进行表达的能力。

3．情感目标：能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。

教学重点：

能从表格、图象中分析变量之间的关系，发展有条理地进行思考的表达的能力。

教学难点：

运用表示变量之间关系的方法分析变量之间的关系，分析问题、解决问题，进行预测。

教学过程

一、知识结构

二、复习要点

1．在具体情境中理解变量、自变量、因变量

（1）自变量是某一变化过程中主动变化的量；

（2）因变量是随着自变量的变化而变化的量。

2．变量之间的关系的表示方法

（1）用关系式来表示变量之间的关系

如，正方形面积S与边长a的关系式为S=a2，其中，自变量是正方形的边长a，因变量是正方形面积。

（2）用表格表示变量之间的关系

如，一根原长为10厘米的弹簧，其长度与所挂物品的质量之间有如下关系：

其中，物品的质量是自变量，弹簧的长度是因变量。

（3）用图象表示变量之间的关系

如，右图中的折线ABCDE描述的是汽车行驶过程中，离开出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系。其中，行驶时间是自变量，离开出发地的距离是因变量。

三、典型例题

例1．果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

说明：（1）题中自变量t和落下高度h的基本关系可从具体数量推导，得出h=5t2。

（2）用表格来表示变量之间关系，其优点是：对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到。其不足之处是：表格只能列出部分自变量与因变量对应的值（如本例2秒与20米这组对应值，表格中没有反映出来），难以反映变量之间变化的全貌。

例2．一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时，行驶的路程为s千米。

（1）上述哪些量在变化？自变量是什么？因变量是什么？

（2）写出s与t之间的关系式。

（3）求该汽车行驶3.5小时的路程。

（4）一段公路全长330千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？

说明：（1）有了关系式，可以由自变量的一个值，求出相应的因变量的值，反过来知道因变量的一个值，也可以求出相应的自变量的值。

（2）用关系式表示变量之间关系，优点是：简明扼要、规范准确。不足是：有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示，而且变量之间的变化趋势不能直观地看出来。

例3．2004年7月份某一天，南京的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：

（1）这天的最高气温是        ；

（2）这天一共有   个小时的气温在32℃以上；

（3）这天在          范围内温度在上升；

（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约多少度。

说明：用图象表示变量之间关系，能形象直观反映事物变化的全过程、变化趋势和某些性质，但表示出来的图象是近似的、局部的，观察由图象确定的因变量的值，往往不够准确。

例4．我们把物体从固态变成液态叫做熔化，下表是一种固体在加热过程中的温度：

（1）上表反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）说一说因变量怎样随着自变量的变化而变化的？

（3）画折线图表示两个变量之间的关系；

（4）一般地，我们把虽然继续加热，但温度不变的过程叫做熔化过程，熔化过程中的温度叫做熔点。那么该固体熔化过程在哪段时间呢？熔点是多少？

说明：（1）要能从图象中读取准确的信息，也就是首先要看好横轴、纵轴代表的变量是什么，然后再找到问题中代表那个量的点。

（2）实际问题中，需要借助图表进行定量定性分析。如此题的熔点，就是利用数形结合思想研究时间和温度的变化规律。

四、活动与评估

（一）填空题

1．表示两个变量之间的关系有       种方法，分别是              。

2．据世界人口组织公布，地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势，即随着时间的推移，地球上的人口数量在逐渐地增加。如果用t表示时间，l表示人口数量，      是自变量，        是因变量。

3． 一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形，它的高变化时，棱柱的体积也随之变化。

（1）在这个变化过程中，自变量是      ，因变量是        ；

（2）若棱柱的高为h（cm），则棱柱的体积V（cm3）与h的关系式为          ；

（3）当高由1cm变化到8cm时，棱柱的体积由         cm3变化到       cm3。

（二）选择题

1．今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉下来。下面四个图象中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是（    ）。

2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子轻看缓慢爬行的乌龟，骄傲起来。睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ）。

3．如图，若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）排序，正确的顺序是（    ）。

（a）小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）

（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物的重量的关系）

（c）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）

（d）小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原路返回（路程与时间的关系）

A．(c)、(d)、(b)、(a)                B．(a)、(b)、(c)、(d)

C．(b)、(c)、(a)、(d)                D．(d)、(a)、(c)、(b)

（三）解答题

1．甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车

从A地出发到B地，图中表示的是甲乙两

人离开A地的路程与时间的关系，观察图

象，你能得到关于甲、乙两人的哪些信息？

请至少请写出3条。

2．分析右图所反映的变量之间的关系，想象一个适合它的实际情境。

3．右图表示的是一辆汽车行驶的速度与时间的图象，你能用语言大致描述这辆汽车的行驶情况吗？