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2021年山东省日照实验中学中考数学二模试卷及答案
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这是一份2021年山东省日照实验中学中考数学二模试卷及答案，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省日照实验中学中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求的的选项选出来
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
3．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
4．计算（tan30°）﹣1﹣|﹣2|++（）0的结果是（ ）
A．6 B．12 C．2+ D．2+2
5．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．3 B． C．3 D．3
7．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．两人出发1小时后相遇
B．赵明阳跑步的速度为8km/h
C．王浩月到达目的地时两人相距10km
D．王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地
9．下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
12．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为（ ）
A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果
13．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一独分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x＝2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 ．
14．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 ．（答案用根号表示）
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 ．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜；④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤方程ax2+bx+c+＝0有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共68分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）解不等式组，并写出它的所有整数解．
（2）化简÷．
18．应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
19．根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（1）统计表中m的值为 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）在这50人中女性有 人；
（4）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
20．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．
求证：（1）△EDA∽△EBD；
（2）ED•BC＝AO•BE．
21．如图，已知抛物线y1＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，），直线y2＝kx+2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，以点P为圆心，PC为半径画圆，求证：x轴是⊙P的切线；
（3）我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
②k＝2时，求使M＞y2的x的取值范围；
②当k＝﹣1时，求使M＝5的x的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2所示，当点P运动BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，已知BD＝2CD，求的值；
（3）点P在AB边上运动的过程中，线段AD上存在一点Q，使QA+QB+QC的值最小，当QA+QB+QC的值取得最小值时，若AQ的长为2，求PD的长．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求的的选项选出来
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
故选：B．
3．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．
解：由平均数的公式得平均数＝（5+8+8+9+10）÷5＝8，
方差＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2.8，
将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，
5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，
故选：D．
4．计算（tan30°）﹣1﹣|﹣2|++（）0的结果是（ ）
A．6 B．12 C．2+ D．2+2
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．
解：原式＝（）﹣1﹣（2﹣）+3+1
＝﹣2++3+1
＝2+2．
故选：D．
5．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2可化为为3（x1+x2）+x1x2﹣3，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
6．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．3 B． C．3 D．3
【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程．
解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．
设∠BAB′＝n°．
∵＝4π，
∴n＝120，即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，
∴最短路线长为3．
故选：D．
7．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：∵二次函数开口向下，
∴a＜0；
∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，
∴b符号与a相异，b＞0；
∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，
∴＜0，﹣b＜0，
∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．
故选：B．
8．甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．两人出发1小时后相遇
B．赵明阳跑步的速度为8km/h
C．王浩月到达目的地时两人相距10km
D．王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别计算出两人的速度，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可知，
两人出发1小时后相遇，故选项A正确；
赵明阳跑步的速度为24÷3＝8（km/h），故选项B正确；
王浩月的速度为：24÷1﹣8＝16（km/h），
王浩月从开始到到达目的地用的时间为：24÷16＝1.5（h），
故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5＝12（km），故选项C错误；
王浩月比赵明阳提前3﹣1.5＝1.5h到目的地，故选项D正确；
故选：C．
9．下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据根的判别式，全面调查和抽样调查的概念，补角的定义，多边形的内角和外角的定义判断即可．
解：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，故错误，不符合题意；
（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°20′，故错误，不符合题意；
（3）∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n＝180×（n﹣2），
解得：n＝10，
这个正n边形的对角线的条数是：＝35（条），正确，符合题意；
（4）当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4，故错误；
∴正确的个数是1，
故选：A．
10．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．
解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．
由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，
∵AD∥EO，
∴∠ADO＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∴AD＝OB，AD∥OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，
∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE＝10，
∴OE＝2OB＝20，
∴OD＝＝＝16，
∵DH⊥OE，
∴DH＝＝＝，
∴sin∠MON＝sin∠DBH＝＝＝．
故选：A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出＝＝＝，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题．
解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180°
∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴＝＝＝，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴5a2＝100，
∴a＝2（负根已经舍弃），
∴AC＝2，BC＝4，
∵•AC•BC＝•AB•CJ，
∴CJ＝＝4，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ+JR＝14，
故选：A．
12．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为（ ）
A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出h2＝1+，依次得出h3、h4、h5、……hn，再对hn进行计算变形即可．
解：∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1
∴点B到DE的距离＝h1＝1，
∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，
∴D1E1到AC的距离h2＝h1+点B到D1E1的距离＝1+h1＝1+，
同理：h3＝h2+h1＝1++，
h4＝h3+h1＝1+++
……
hn＝1++++…+＝2﹣
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果
13．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一独分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x＝2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 （x﹣2）（x﹣5）（x+1） ．
【分析】当x＝2时，代数式的值为0，则多项式含有因式（x﹣2），于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），展开对照，求出m，n的值，用十字相乘法分解因式即可．
解：把x＝2代入多项式，
x3﹣6x2+3x+10
＝23﹣6×22+3×2+10
＝8﹣6×4+6+10
＝8﹣24+6+10
＝0，
于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），
故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．
14．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 6π﹣ ．（答案用根号表示）
【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．
解：连接OD，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为6π﹣，
故答案为：6π﹣．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 3 ．
【分析】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS），则可求D（5，1），C（4，5），确定函数解析式y＝，C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），进而求n的值；
解：过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，
∵AB⊥AD，
∴∠BAO＝∠ADE，
∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝BO，DE＝OA，
易求A（1，0），B（0，4），
∴D（5，1），
∵顶点D在反比例函数y＝上，
∴k＝5，
∴y＝，
易证△CBF≌△BAO（AAS），
∴CF＝4，BF＝1，
∴C（4，5），
∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），
∴5（4﹣n）＝5，
∴n＝3，
故答案为3；
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜；④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤方程ax2+bx+c+＝0有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是 ①② ．（把所有正确结论的序号都填上）
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由表格和当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0可知，
该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝＝，函数的最小值小于﹣2，
∴函数图象的顶点在第四象限内，故①正确；
∵对称轴是直线x＝，
∴x＝﹣2和x＝3时对应的函数值都是t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故②正确；
∵x＝0和x＝1时对应的函数值都是﹣2，
∴c＝﹣2，a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2，
∵m＝a+a﹣2＝2a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，
∴a+a﹣2＞0，
∴a＞，
∴4a﹣4＞，
∴m+n＞，故③错误；
∵函数图象开口向上，对称轴是直线x＝，
∴点（﹣8，y1）到对称轴的距离大于点（8，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故④错误；
∵x＝0和x＝1时对应的函数值都是﹣2，
∴c＝﹣2，a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2＝a（x﹣）2﹣a﹣2，
∵无法求得﹣a﹣2与﹣的大小，故⑤错误；
故答案为：①②．
三、解答题：本大题共6小题，共68分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）解不等式组，并写出它的所有整数解．
（2）化简÷．
【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法求出x的解集，然后找出所有整数解．
（2）根据分式的除法运算法则即可求出答案．
解：（1），
由①得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
﹣11x﹣5≤6，
﹣11x≤11，
x≥﹣1，
由②得：3x+3＞5x﹣3，
﹣2x＞﹣6，
x＜3，
∴﹣1≤x＜3．
∴x＝±1，0，2．
（2）原式＝•
＝
＝．
18．应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
【分析】（1）设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合走路线B比走路线A少用6min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB；
（3）由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答】（1）解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）x＝（1+0.5）xkm/h，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝75．
答：走路线B的平均速度为75km/h；
（2）解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4xm，则EC＝3xm，由勾股定理可得CD＝5xm，
又CD＝50m，即5x＝50，
∴x＝10（m），
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m），
∴AB＝AF+FB＝47.7+40≈87.7（m），
即居民楼AB的高度约为87.7m．
（3）解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）．
答：在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离为24米．
19．根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（1）统计表中m的值为 10 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 180° ；
（3）在这50人中女性有 18 人；
（4）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
【分析】（1）根据表格中的数据可得50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，所以得统计表中m的值；
（2）根据年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，即可求得所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据表格数据可得在这50人中女性：4×50%+10×（1﹣60%）+25×（1﹣60%）+8×（1﹣75%）＝18（人）；
（4）根据年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到2名男性的概率．
解：（1）因为50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，
所以统计表中m的值为10；
故答案为：10；
（2）因为年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，
所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝180°；
故答案为：180°；
（3）因为4×50%+10×（1﹣60%）+25×（1﹣60%）+8×（1﹣75%）＝18
所以在这50人中女性有18人；
故答案为：18；
（4）因为年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，
设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，
根据题意，画树状图如下：
由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，
所以恰好抽到2名男性的概率为：＝．
20．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．
求证：（1）△EDA∽△EBD；
（2）ED•BC＝AO•BE．
【分析】（1）连接DO，根据AD∥OC，可证∠COD＝∠COB．从而可得△COD≌△COB（SAS），∠CDO＝∠CBO＝90°，即可证明∠EDA＝∠DBE，故△EDA∽△EBD；
（2）证明△EOD∽△ECB，可得＝，即可证明ED•BC＝AO•BE．
【解答】证明：（1）连接DO，如图：
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，即∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠EDA＝∠DBO，即∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD；
（2）由（1）知：∠EDO＝∠EBC＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴＝，
∴ED•BC＝OD•BE
∵OD＝AO，
∴ED•BC＝AO•BE．
21．如图，已知抛物线y1＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，），直线y2＝kx+2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，以点P为圆心，PC为半径画圆，求证：x轴是⊙P的切线；
（3）我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
②k＝2时，求使M＞y2的x的取值范围；
②当k＝﹣1时，求使M＝5的x的值．
【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入解析式求得a，c的值即可得出结论；
（2）过点P作PE⊥x中于点E，PD⊥y轴于点D，利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，证明PE＝PC即可；P（t，t2+1），利用勾股定理求出线段PC的长即可；
（3）①当k＝2时，将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象判定出使M＞y2的值即为y1＞y2的取值范围；
②将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象利用分类讨论的方法得到M与x的关系式，将M＝5代入解析式即可求得结论．
解：（1）∵抛物线y1＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝+1．
（2）过点P作PE⊥x中于点E，PD⊥y轴于点D，如图，
∵直线y2＝kx+2与y轴交于C点，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）．
∴OC＝2．
∵点P为第一象限抛物线上一个动点，
∴P（t，t2+1），
∴PE＝OD＝，PD＝t，
∴CD＝OD﹣OC＝．
∴PC＝＝＝＝+1．
∴PE＝PC．
∵PE⊥x轴，
∴x轴是⊙P的切线．
（3）①当k＝2时，直线y2＝2x+2．
∴．
解得：，．
∴y＝+1与y＝2x+2的交点为（4+2，10+4）和（4﹣2，10﹣4）．
由图象可知：当x＜4﹣2或x＞4+2时，y1＞y2．
∵M＞y2，
∴y1＞y2．
∴使M＞y2的x的取值范围为x＜4﹣2或x＞4+2；
②当k＝﹣1时，y＝﹣x+2．
∴．
解得：，．
结合图象可知：当﹣2+2≤x≤﹣2﹣2时，M＝﹣x+2；
当x＞﹣2+2或x＜﹣2﹣2时，M＝．
∵M＝5，
∴﹣x+2＝5，
∴x＝﹣3．
∴，
∴x＝±4（﹣4不合题意，舍去）．
综上，使M＝5的x的值为﹣3或4．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2所示，当点P运动BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，已知BD＝2CD，求的值；
（3）点P在AB边上运动的过程中，线段AD上存在一点Q，使QA+QB+QC的值最小，当QA+QB+QC的值取得最小值时，若AQ的长为2，求PD的长．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，再证明PD＝BD，＝EC，PD∥EC，可得结论；
（2）如图2中，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，想办法用m表示出PA，AF，可得结论；
（3）如图3﹣1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD＝BD，此时P与D重合，设PD＝x，则DQ＝x﹣2，构建方程求出x可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝9°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∵PD⊥BC，
∴∠BDP＝∠ECD＝90°，
∴PD∥CE，
∵∠B＝∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
∴PD＝EC，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∵∠PDC＝90°，
∴四边形PDCE是矩形；
（2）解：如图2中，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴BM＝MC＝3m，
∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，BD＝PD＝4m，PB＝4m，
∴PA＝m，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC＝4m，
设CN＝FN＝x，
∵FN∥CE，
∴＝，
∴DN＝x，
∴x+x＝2m，
∴x＝m，
∴CF＝m，AF＝AC＝3m﹣＝m
∴＝＝；
（3）解：如图3﹣1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ＝BN，QC＝NM，∠QBN＝60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ＝QN，
∴QA+QB+QC＝AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图3﹣2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ＝BN，BC＝BM，∠QBN＝60°＝∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN＝∠BNQ＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD＝60°，
∴BD＝QD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，此时P与D重合，设PD＝x，则DQ＝x﹣2，
∴x＝（x﹣2），
∴x＝3+，
∴PD＝3+
2021年山东省日照实验中学中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求的的选项选出来
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
3．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
4．计算（tan30°）﹣1﹣|﹣2|++（）0的结果是（ ）
A．6 B．12 C．2+ D．2+2
5．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．3 B． C．3 D．3
7．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．两人出发1小时后相遇
B．赵明阳跑步的速度为8km/h
C．王浩月到达目的地时两人相距10km
D．王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地
9．下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
12．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为（ ）
A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果
13．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一独分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x＝2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 ．
14．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 ．（答案用根号表示）
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 ．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜；④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤方程ax2+bx+c+＝0有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共68分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）解不等式组，并写出它的所有整数解．
（2）化简÷．
18．应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
19．根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（1）统计表中m的值为 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）在这50人中女性有 人；
（4）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
20．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．
求证：（1）△EDA∽△EBD；
（2）ED•BC＝AO•BE．
21．如图，已知抛物线y1＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，），直线y2＝kx+2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，以点P为圆心，PC为半径画圆，求证：x轴是⊙P的切线；
（3）我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
②k＝2时，求使M＞y2的x的取值范围；
②当k＝﹣1时，求使M＝5的x的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2所示，当点P运动BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，已知BD＝2CD，求的值；
（3）点P在AB边上运动的过程中，线段AD上存在一点Q，使QA+QB+QC的值最小，当QA+QB+QC的值取得最小值时，若AQ的长为2，求PD的长．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求的的选项选出来
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
故选：B．
3．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．
解：由平均数的公式得平均数＝（5+8+8+9+10）÷5＝8，
方差＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2.8，
将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，
5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，
故选：D．
4．计算（tan30°）﹣1﹣|﹣2|++（）0的结果是（ ）
A．6 B．12 C．2+ D．2+2
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．
解：原式＝（）﹣1﹣（2﹣）+3+1
＝﹣2++3+1
＝2+2．
故选：D．
5．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2可化为为3（x1+x2）+x1x2﹣3，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
6．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．3 B． C．3 D．3
【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程．
解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．
设∠BAB′＝n°．
∵＝4π，
∴n＝120，即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，
∴最短路线长为3．
故选：D．
7．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：∵二次函数开口向下，
∴a＜0；
∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，
∴b符号与a相异，b＞0；
∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，
∴＜0，﹣b＜0，
∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．
故选：B．
8．甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．两人出发1小时后相遇
B．赵明阳跑步的速度为8km/h
C．王浩月到达目的地时两人相距10km
D．王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别计算出两人的速度，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可知，
两人出发1小时后相遇，故选项A正确；
赵明阳跑步的速度为24÷3＝8（km/h），故选项B正确；
王浩月的速度为：24÷1﹣8＝16（km/h），
王浩月从开始到到达目的地用的时间为：24÷16＝1.5（h），
故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5＝12（km），故选项C错误；
王浩月比赵明阳提前3﹣1.5＝1.5h到目的地，故选项D正确；
故选：C．
9．下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据根的判别式，全面调查和抽样调查的概念，补角的定义，多边形的内角和外角的定义判断即可．
解：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，故错误，不符合题意；
（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°20′，故错误，不符合题意；
（3）∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n＝180×（n﹣2），
解得：n＝10，
这个正n边形的对角线的条数是：＝35（条），正确，符合题意；
（4）当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4，故错误；
∴正确的个数是1，
故选：A．
10．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．
解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．
由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，
∵AD∥EO，
∴∠ADO＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∴AD＝OB，AD∥OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，
∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE＝10，
∴OE＝2OB＝20，
∴OD＝＝＝16，
∵DH⊥OE，
∴DH＝＝＝，
∴sin∠MON＝sin∠DBH＝＝＝．
故选：A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出＝＝＝，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题．
解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180°
∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴＝＝＝，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴5a2＝100，
∴a＝2（负根已经舍弃），
∴AC＝2，BC＝4，
∵•AC•BC＝•AB•CJ，
∴CJ＝＝4，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ+JR＝14，
故选：A．
12．如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn﹣1En﹣1，到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn的值为（ ）
A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣
【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出h2＝1+，依次得出h3、h4、h5、……hn，再对hn进行计算变形即可．
解：∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1
∴点B到DE的距离＝h1＝1，
∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，
∴D1E1到AC的距离h2＝h1+点B到D1E1的距离＝1+h1＝1+，
同理：h3＝h2+h1＝1++，
h4＝h3+h1＝1+++
……
hn＝1++++…+＝2﹣
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需写解答过程，只要求填写最后结果
13．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一独分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x＝2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 （x﹣2）（x﹣5）（x+1） ．
【分析】当x＝2时，代数式的值为0，则多项式含有因式（x﹣2），于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），展开对照，求出m，n的值，用十字相乘法分解因式即可．
解：把x＝2代入多项式，
x3﹣6x2+3x+10
＝23﹣6×22+3×2+10
＝8﹣6×4+6+10
＝8﹣24+6+10
＝0，
于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），
故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．
14．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 6π﹣ ．（答案用根号表示）
【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．
解：连接OD，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为6π﹣，
故答案为：6π﹣．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 3 ．
【分析】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS），则可求D（5，1），C（4，5），确定函数解析式y＝，C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），进而求n的值；
解：过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，
∵AB⊥AD，
∴∠BAO＝∠ADE，
∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝BO，DE＝OA，
易求A（1，0），B（0，4），
∴D（5，1），
∵顶点D在反比例函数y＝上，
∴k＝5，
∴y＝，
易证△CBF≌△BAO（AAS），
∴CF＝4，BF＝1，
∴C（4，5），
∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），
∴5（4﹣n）＝5，
∴n＝3，
故答案为3；
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜；④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤方程ax2+bx+c+＝0有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是 ①② ．（把所有正确结论的序号都填上）
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由表格和当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0可知，
该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝＝，函数的最小值小于﹣2，
∴函数图象的顶点在第四象限内，故①正确；
∵对称轴是直线x＝，
∴x＝﹣2和x＝3时对应的函数值都是t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故②正确；
∵x＝0和x＝1时对应的函数值都是﹣2，
∴c＝﹣2，a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2，
∵m＝a+a﹣2＝2a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，
∴a+a﹣2＞0，
∴a＞，
∴4a﹣4＞，
∴m+n＞，故③错误；
∵函数图象开口向上，对称轴是直线x＝，
∴点（﹣8，y1）到对称轴的距离大于点（8，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故④错误；
∵x＝0和x＝1时对应的函数值都是﹣2，
∴c＝﹣2，a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2＝a（x﹣）2﹣a﹣2，
∵无法求得﹣a﹣2与﹣的大小，故⑤错误；
故答案为：①②．
三、解答题：本大题共6小题，共68分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）解不等式组，并写出它的所有整数解．
（2）化简÷．
【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法求出x的解集，然后找出所有整数解．
（2）根据分式的除法运算法则即可求出答案．
解：（1），
由①得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
﹣11x﹣5≤6，
﹣11x≤11，
x≥﹣1，
由②得：3x+3＞5x﹣3，
﹣2x＞﹣6，
x＜3，
∴﹣1≤x＜3．
∴x＝±1，0，2．
（2）原式＝•
＝
＝．
18．应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
【分析】（1）设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合走路线B比走路线A少用6min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB；
（3）由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答】（1）解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）x＝（1+0.5）xkm/h，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝75．
答：走路线B的平均速度为75km/h；
（2）解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4xm，则EC＝3xm，由勾股定理可得CD＝5xm，
又CD＝50m，即5x＝50，
∴x＝10（m），
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m），
∴AB＝AF+FB＝47.7+40≈87.7（m），
即居民楼AB的高度约为87.7m．
（3）解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）．
答：在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离为24米．
19．根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（1）统计表中m的值为 10 ；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为 180° ；
（3）在这50人中女性有 18 人；
（4）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
【分析】（1）根据表格中的数据可得50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，所以得统计表中m的值；
（2）根据年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，即可求得所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据表格数据可得在这50人中女性：4×50%+10×（1﹣60%）+25×（1﹣60%）+8×（1﹣75%）＝18（人）；
（4）根据年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到2名男性的概率．
解：（1）因为50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，
所以统计表中m的值为10；
故答案为：10；
（2）因为年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，
所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝180°；
故答案为：180°；
（3）因为4×50%+10×（1﹣60%）+25×（1﹣60%）+8×（1﹣75%）＝18
所以在这50人中女性有18人；
故答案为：18；
（4）因为年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，
设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，
根据题意，画树状图如下：
由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，
所以恰好抽到2名男性的概率为：＝．
20．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．
求证：（1）△EDA∽△EBD；
（2）ED•BC＝AO•BE．
【分析】（1）连接DO，根据AD∥OC，可证∠COD＝∠COB．从而可得△COD≌△COB（SAS），∠CDO＝∠CBO＝90°，即可证明∠EDA＝∠DBE，故△EDA∽△EBD；
（2）证明△EOD∽△ECB，可得＝，即可证明ED•BC＝AO•BE．
【解答】证明：（1）连接DO，如图：
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，即∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠EDA＝∠DBO，即∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD；
（2）由（1）知：∠EDO＝∠EBC＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴＝，
∴ED•BC＝OD•BE
∵OD＝AO，
∴ED•BC＝AO•BE．
21．如图，已知抛物线y1＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，），直线y2＝kx+2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，以点P为圆心，PC为半径画圆，求证：x轴是⊙P的切线；
（3）我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．
②k＝2时，求使M＞y2的x的取值范围；
②当k＝﹣1时，求使M＝5的x的值．
【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入解析式求得a，c的值即可得出结论；
（2）过点P作PE⊥x中于点E，PD⊥y轴于点D，利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，证明PE＝PC即可；P（t，t2+1），利用勾股定理求出线段PC的长即可；
（3）①当k＝2时，将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象判定出使M＞y2的值即为y1＞y2的取值范围；
②将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象利用分类讨论的方法得到M与x的关系式，将M＝5代入解析式即可求得结论．
解：（1）∵抛物线y1＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝+1．
（2）过点P作PE⊥x中于点E，PD⊥y轴于点D，如图，
∵直线y2＝kx+2与y轴交于C点，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）．
∴OC＝2．
∵点P为第一象限抛物线上一个动点，
∴P（t，t2+1），
∴PE＝OD＝，PD＝t，
∴CD＝OD﹣OC＝．
∴PC＝＝＝＝+1．
∴PE＝PC．
∵PE⊥x轴，
∴x轴是⊙P的切线．
（3）①当k＝2时，直线y2＝2x+2．
∴．
解得：，．
∴y＝+1与y＝2x+2的交点为（4+2，10+4）和（4﹣2，10﹣4）．
由图象可知：当x＜4﹣2或x＞4+2时，y1＞y2．
∵M＞y2，
∴y1＞y2．
∴使M＞y2的x的取值范围为x＜4﹣2或x＞4+2；
②当k＝﹣1时，y＝﹣x+2．
∴．
解得：，．
结合图象可知：当﹣2+2≤x≤﹣2﹣2时，M＝﹣x+2；
当x＞﹣2+2或x＜﹣2﹣2时，M＝．
∵M＝5，
∴﹣x+2＝5，
∴x＝﹣3．
∴，
∴x＝±4（﹣4不合题意，舍去）．
综上，使M＝5的x的值为﹣3或4．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2所示，当点P运动BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，已知BD＝2CD，求的值；
（3）点P在AB边上运动的过程中，线段AD上存在一点Q，使QA+QB+QC的值最小，当QA+QB+QC的值取得最小值时，若AQ的长为2，求PD的长．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，再证明PD＝BD，＝EC，PD∥EC，可得结论；
（2）如图2中，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，想办法用m表示出PA，AF，可得结论；
（3）如图3﹣1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD＝BD，此时P与D重合，设PD＝x，则DQ＝x﹣2，构建方程求出x可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝9°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∵PD⊥BC，
∴∠BDP＝∠ECD＝90°，
∴PD∥CE，
∵∠B＝∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
∴PD＝EC，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∵∠PDC＝90°，
∴四边形PDCE是矩形；
（2）解：如图2中，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴BM＝MC＝3m，
∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，BD＝PD＝4m，PB＝4m，
∴PA＝m，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC＝4m，
设CN＝FN＝x，
∵FN∥CE，
∴＝，
∴DN＝x，
∴x+x＝2m，
∴x＝m，
∴CF＝m，AF＝AC＝3m﹣＝m
∴＝＝；
（3）解：如图3﹣1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ＝BN，QC＝NM，∠QBN＝60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ＝QN，
∴QA+QB+QC＝AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图3﹣2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ＝BN，BC＝BM，∠QBN＝60°＝∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN＝∠BNQ＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD＝60°，
∴BD＝QD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，此时P与D重合，设PD＝x，则DQ＝x﹣2，
∴x＝（x﹣2），
∴x＝3+，
∴PD＝3+
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