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2021年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷 及答案
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这是一份2021年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷 及答案，共32页。试卷主要包含了选择题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷
一、选择题（共14小题，每小题3分）.
1．如果向东走8m记作8m，那么向西走10m记作（ ）
A．|﹣10|m B．﹣10m C．10m D．m
2．如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
4．如图所示，直线m∥n，若∠1＝63°，∠2＝40°．则∠BAC的度数是（ ）
A．67° B．77° C．97° D．103°
5．用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+1）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（x+2）2＝ D．（x﹣2）2＝
6．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知m+n＝1，那么代数式•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
8．已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
10．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）
A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
12．如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A，B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于M，N两点，作直线MN交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，若AE＝2，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DBE＝45° B．BE＝2
C．菱形ABCD的面积为4 D．ED＝2﹣2
13．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF+BE＝EF；④MG•MH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请务必将本题答案填写在答题卷相应题号横线上。
15．分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ ．
16．分式方程+＝1的解为 ．
17．在学校的体育训练中，小明投掷实心球的7次成绩如统计图所示，那么这7次成绩的中位数是 ．
18．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝ ．
19．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
三、解答题（本题共7个小题，共63分）
20．计算：．
21．为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作得分（满分为10分）根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①中的描述应为“7分”，其中m%的m值为 ；扇形①的圆心角的大小为 °；
（2）这40个样本数据平均数是 分，众数是 分，中位数是 分；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
22．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．）
23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
24．某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
…
水箱中水的温度y（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
m
80
64
40
20
…
m的值为 ；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象；
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min．
25．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a≠0）．
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＜0，且P（m，y1）与Q（﹣5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）如图，当a＝﹣1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．
26．如图△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）如图②，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果向东走8m记作8m，那么向西走10m记作（ ）
A．|﹣10|m B．﹣10m C．10m D．m
解：∵向东用正数表示，
∴向西用负数表示，
∴向西走10m记作﹣10m，
故选：B．
2．如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
3．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
4．如图所示，直线m∥n，若∠1＝63°，∠2＝40°．则∠BAC的度数是（ ）
A．67° B．77° C．97° D．103°
解：如图：
∵直线m∥n，∠2＝40°．
∴∠3＝∠2＝40°．
∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠1＝63°，
∴∠BAC＝180°﹣63°﹣40°＝77°．
故选：B．
5．用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+1）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（x+2）2＝ D．（x﹣2）2＝
解：方程变形得：2x2+4x＝1，即x2+2x＝，
配方得：x2+2x+1＝，即（x+1）2＝．
故选：A．
6．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：∵等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有正方形、菱形、圆，
∴从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是：．
故选：C．
7．已知m+n＝1，那么代数式•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
解：原式＝[+]（m+n）（m﹣n），
∵m+n＝1，
∴原式＝[]（m﹣n）
＝•（m﹣n）
＝3，
故选：A．
8．已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点为（a，a﹣2）在第四象限，
∴，
解得：0＜a＜2，
故选：B．
9．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，
依题意得：＝．
故选：D．
10．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）
A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8
解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD＝45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD
＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）
＝×4×4﹣×4×4﹣+××4×4
＝16﹣2π﹣4
＝12﹣2π．
故选：A．
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
解：∠由折叠可得ADC＝∠ADC1＝45°，
∴∠BDC1＝90°，
∵BC1＝8，由折叠可得BD＝DC1，
∴BD＝DC1＝＝4，
∴CD＝4，
∴BC＝BD+DC＝8．
故选：C．
12．如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A，B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于M，N两点，作直线MN交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，若AE＝2，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DBE＝45° B．BE＝2
C．菱形ABCD的面积为4 D．ED＝2﹣2
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
∵EN垂直平分线段AB，
∴EA＝EB＝2，
∴AB＝2AE•cos30°＝2，
∴DE＝AD﹣AD＝2﹣2，
∴菱形ABCD的面积＝AD•AB•sin30°＝（2）2×＝6，
故A，B，D正确，
故选：C．
13．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
解：存在两种情况：
如图1，过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，
由图象和题意可得，
AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，
∴AD＝2+1＝3，
∵直线BE平行直线y＝x，
∴BM＝EM＝，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．
如图2，过D作DM⊥BC于M，延长CB交直线DF于E，
∴AD＝DF＝2，BE＝1，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠EBF＝∠EFB，
∴EF＝BE＝1，
∴DE＝1+2＝3，
∵∠DEM＝45°，∠DME＝90°，
∴DM＝EM＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD•DM＝2×＝3．
故选：B．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF+BE＝EF；④MG•MH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝＝，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH＝MB＝CG，
∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，
∴CF＝AF＝BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC＝AC＝MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠5＝45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，
∴∠DCE＝∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF＝DE．
∵∠5＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，
∵∠A＝∠5＝45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴＝，
∴AE•BF＝AC•BC＝1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH＝CG，
MG＝CH，MH∥AC，
∴＝；＝，
即＝；＝，
∴MG＝AE；MH＝BF，
∴MG•MH＝AE×BF＝AE•BF＝AC•BC＝，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请务必将本题答案填写在答题卷相应题号横线上。
15．分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ m（a﹣2b）2 ．
解：原式＝m（a2﹣2ab+4b2）＝m（a﹣2b）2．
故答案为：m（a﹣2b）2．
16．分式方程+＝1的解为 x＝1 ．
解：方程两边都乘以x﹣2，得：3﹣2x﹣2＝x﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝1﹣2＝﹣1≠0，
所以分式方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
17．在学校的体育训练中，小明投掷实心球的7次成绩如统计图所示，那么这7次成绩的中位数是 9.7 ．
解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
故答案为：9.7．
18．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝ ﹣4 ．
解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（﹣，2a），
∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，
∴k＝﹣×2a＝﹣4．
故答案为﹣4．
19．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 3.5 ．
解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
三、解答题（本题共7个小题，共63分）
20．计算：．
解：原式＝﹣3+|﹣2×|﹣（4﹣5）
＝﹣3+|﹣|﹣（﹣1）
＝﹣3++1
＝﹣2+．
21．为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作得分（满分为10分）根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①中的描述应为“7分”，其中m%的m值为 10 ；扇形①的圆心角的大小为 36 °；
（2）这40个样本数据平均数是 8.3 分，众数是 9 分，中位数是 8 分；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
解：（1）m＝100﹣17.5﹣15﹣27.5﹣30＝10，
360°×10%＝36°．
故答案为10，36；
（2）平均数为：（4×6+6×7+11×8+12×9+7×10）÷40＝8.3（分），
由图表得知，众数是9（分），人数为12人．
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后第20和第21名同学得分均为8分，
因此，平均数为8分．
故答案为：8.3，9，8；
（3）40名同学中，满分占比为7÷40＝17.5%，
因此九年级全体同学理化实验操作得满分的学生为：17.5%×1280＝224（人）．
22．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．）
解：（1）过F作FH⊥DE于H．
∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝24cm，
∴FH＝DF＝12cm，DH＝DF＝12cm，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝12，
∴CD＝CH+DH＝（12+12）cm，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝CD＝（16+16）cm，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（32+32）cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG＝AC＝（16+16）cm＝61.8≈62（cm）．
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为62cm．
23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB•sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH•EA，
∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
24．某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
…
水箱中水的温度y（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
m
80
64
40
20
…
m的值为 50 ；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y＝15x+20 ；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y＝ ；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象；
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 56 min．
解：（1）由题意可知2分钟温度上升30℃，所以m＝50，
故答案为：50；
（2）①当0≤x≤4时，函数解析式是一次函数y＝15x+20；
当4＜x≤16时，函数解析式是反比例函数y＝；
故答案为：y＝15x+20，y＝；
②函数图象如图所示，
（3）观察图象可知预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源56min，
故答案为56．
25．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a≠0）．
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＜0，且P（m，y1）与Q（﹣5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）如图，当a＝﹣1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．
解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x2+2x﹣3）＝a（x+1）2﹣4a，
∴顶点为（﹣1，﹣4a），对称轴为直线x＝﹣1；
（2）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵P（m，y1）与Q（﹣5，y2），y1＜y2，
∴|﹣1﹣m|＞|﹣5﹣（﹣1）|，
∴m＞3或m＜﹣5；
（3）当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
∵S＝，
∴S＝，
过点D作DF⊥x轴交AC于点F，过B点作BG⊥x轴交AC于点G，
∴DF∥BG，
∴＝＝S，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则F（t，t+3），
∴DF＝﹣t2﹣3t，BG＝4，
∴﹣t2﹣3t＝4S，
∴S＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时D（﹣，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣x+，
联立，
∴x＝﹣，
∴当n＝﹣时，S有最大值．
26．如图△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）如图②，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
解：（1）如图①中，
∵△ABC与△ACD为正三角形，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，
∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，AE＝AF，
∴△AEC≌△AFD（SAS），
（2）CE+CO＝CF，
理由如下：
如图②，过点O作OH∥BC，交CF于H，
∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°
∴△COH是等边三角形，
∴OC＝CH＝OH，
∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，
∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，且OH＝OC，
∴△OHF≌△OCE（SAS）
∴CE＝FH，
∵CF＝CH+FH，
∴CF＝CO+CE
（3）作BH⊥AC于H．∵AB＝6，AH＝CH＝3，
∴BH＝AH＝3，
如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
∵OB＝2，
∴OH＝＝＝1，
∴OC＝3+1＝4，
过点O作ON∥AB，交BC于N，
∴△ONC是等边三角形，
∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF
∴∠NOE＝∠COF，且 ON＝OC，∠ONC＝∠OCF
∴△ONE≌△OCF（SAS）
∴CF＝NE
∴CO＝CE+CF，
∵OC＝4，CF＝1，
∴CE＝3，
∴BE＝6﹣3＝3．
如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
同法可证：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝4+1＝5，
∴BE＝1．
如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
同法可证：OC＝CE+CF，
∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，
∴CE＝1，
∴BE＝6﹣1＝5．
如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
同法可知：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝2+1＝3，
∴BE＝3，
综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．
2021年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷
一、选择题（共14小题，每小题3分）.
1．如果向东走8m记作8m，那么向西走10m记作（ ）
A．|﹣10|m B．﹣10m C．10m D．m
2．如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
4．如图所示，直线m∥n，若∠1＝63°，∠2＝40°．则∠BAC的度数是（ ）
A．67° B．77° C．97° D．103°
5．用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+1）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（x+2）2＝ D．（x﹣2）2＝
6．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知m+n＝1，那么代数式•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
8．已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
10．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）
A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
12．如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A，B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于M，N两点，作直线MN交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，若AE＝2，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DBE＝45° B．BE＝2
C．菱形ABCD的面积为4 D．ED＝2﹣2
13．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF+BE＝EF；④MG•MH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请务必将本题答案填写在答题卷相应题号横线上。
15．分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ ．
16．分式方程+＝1的解为 ．
17．在学校的体育训练中，小明投掷实心球的7次成绩如统计图所示，那么这7次成绩的中位数是 ．
18．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝ ．
19．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
三、解答题（本题共7个小题，共63分）
20．计算：．
21．为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作得分（满分为10分）根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①中的描述应为“7分”，其中m%的m值为 ；扇形①的圆心角的大小为 °；
（2）这40个样本数据平均数是 分，众数是 分，中位数是 分；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
22．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．）
23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
24．某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
…
水箱中水的温度y（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
m
80
64
40
20
…
m的值为 ；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象；
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min．
25．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a≠0）．
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＜0，且P（m，y1）与Q（﹣5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）如图，当a＝﹣1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．
26．如图△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）如图②，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果向东走8m记作8m，那么向西走10m记作（ ）
A．|﹣10|m B．﹣10m C．10m D．m
解：∵向东用正数表示，
∴向西用负数表示，
∴向西走10m记作﹣10m，
故选：B．
2．如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
3．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
4．如图所示，直线m∥n，若∠1＝63°，∠2＝40°．则∠BAC的度数是（ ）
A．67° B．77° C．97° D．103°
解：如图：
∵直线m∥n，∠2＝40°．
∴∠3＝∠2＝40°．
∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠1＝63°，
∴∠BAC＝180°﹣63°﹣40°＝77°．
故选：B．
5．用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+1）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（x+2）2＝ D．（x﹣2）2＝
解：方程变形得：2x2+4x＝1，即x2+2x＝，
配方得：x2+2x+1＝，即（x+1）2＝．
故选：A．
6．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：∵等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有正方形、菱形、圆，
∴从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是：．
故选：C．
7．已知m+n＝1，那么代数式•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
解：原式＝[+]（m+n）（m﹣n），
∵m+n＝1，
∴原式＝[]（m﹣n）
＝•（m﹣n）
＝3，
故选：A．
8．已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点为（a，a﹣2）在第四象限，
∴，
解得：0＜a＜2，
故选：B．
9．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，
依题意得：＝．
故选：D．
10．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）
A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8
解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD＝45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD
＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）
＝×4×4﹣×4×4﹣+××4×4
＝16﹣2π﹣4
＝12﹣2π．
故选：A．
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
解：∠由折叠可得ADC＝∠ADC1＝45°，
∴∠BDC1＝90°，
∵BC1＝8，由折叠可得BD＝DC1，
∴BD＝DC1＝＝4，
∴CD＝4，
∴BC＝BD+DC＝8．
故选：C．
12．如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A，B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于M，N两点，作直线MN交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，若AE＝2，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DBE＝45° B．BE＝2
C．菱形ABCD的面积为4 D．ED＝2﹣2
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
∵EN垂直平分线段AB，
∴EA＝EB＝2，
∴AB＝2AE•cos30°＝2，
∴DE＝AD﹣AD＝2﹣2，
∴菱形ABCD的面积＝AD•AB•sin30°＝（2）2×＝6，
故A，B，D正确，
故选：C．
13．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
解：存在两种情况：
如图1，过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，
由图象和题意可得，
AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，
∴AD＝2+1＝3，
∵直线BE平行直线y＝x，
∴BM＝EM＝，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．
如图2，过D作DM⊥BC于M，延长CB交直线DF于E，
∴AD＝DF＝2，BE＝1，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠EBF＝∠EFB，
∴EF＝BE＝1，
∴DE＝1+2＝3，
∵∠DEM＝45°，∠DME＝90°，
∴DM＝EM＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD•DM＝2×＝3．
故选：B．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF+BE＝EF；④MG•MH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝＝，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH＝MB＝CG，
∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，
∴CF＝AF＝BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC＝AC＝MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠5＝45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，
∴∠DCE＝∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF＝DE．
∵∠5＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，
∵∠A＝∠5＝45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴＝，
∴AE•BF＝AC•BC＝1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH＝CG，
MG＝CH，MH∥AC，
∴＝；＝，
即＝；＝，
∴MG＝AE；MH＝BF，
∴MG•MH＝AE×BF＝AE•BF＝AC•BC＝，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请务必将本题答案填写在答题卷相应题号横线上。
15．分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ m（a﹣2b）2 ．
解：原式＝m（a2﹣2ab+4b2）＝m（a﹣2b）2．
故答案为：m（a﹣2b）2．
16．分式方程+＝1的解为 x＝1 ．
解：方程两边都乘以x﹣2，得：3﹣2x﹣2＝x﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝1﹣2＝﹣1≠0，
所以分式方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
17．在学校的体育训练中，小明投掷实心球的7次成绩如统计图所示，那么这7次成绩的中位数是 9.7 ．
解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
故答案为：9.7．
18．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝ ﹣4 ．
解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（﹣，2a），
∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，
∴k＝﹣×2a＝﹣4．
故答案为﹣4．
19．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 3.5 ．
解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
三、解答题（本题共7个小题，共63分）
20．计算：．
解：原式＝﹣3+|﹣2×|﹣（4﹣5）
＝﹣3+|﹣|﹣（﹣1）
＝﹣3++1
＝﹣2+．
21．为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作得分（满分为10分）根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①中的描述应为“7分”，其中m%的m值为 10 ；扇形①的圆心角的大小为 36 °；
（2）这40个样本数据平均数是 8.3 分，众数是 9 分，中位数是 8 分；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
解：（1）m＝100﹣17.5﹣15﹣27.5﹣30＝10，
360°×10%＝36°．
故答案为10，36；
（2）平均数为：（4×6+6×7+11×8+12×9+7×10）÷40＝8.3（分），
由图表得知，众数是9（分），人数为12人．
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后第20和第21名同学得分均为8分，
因此，平均数为8分．
故答案为：8.3，9，8；
（3）40名同学中，满分占比为7÷40＝17.5%，
因此九年级全体同学理化实验操作得满分的学生为：17.5%×1280＝224（人）．
22．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．）
解：（1）过F作FH⊥DE于H．
∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝24cm，
∴FH＝DF＝12cm，DH＝DF＝12cm，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝12，
∴CD＝CH+DH＝（12+12）cm，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝CD＝（16+16）cm，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（32+32）cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG＝AC＝（16+16）cm＝61.8≈62（cm）．
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为62cm．
23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB•sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH•EA，
∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
24．某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
…
水箱中水的温度y（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
m
80
64
40
20
…
m的值为 50 ；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y＝15x+20 ；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y＝ ；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象；
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 56 min．
解：（1）由题意可知2分钟温度上升30℃，所以m＝50，
故答案为：50；
（2）①当0≤x≤4时，函数解析式是一次函数y＝15x+20；
当4＜x≤16时，函数解析式是反比例函数y＝；
故答案为：y＝15x+20，y＝；
②函数图象如图所示，
（3）观察图象可知预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源56min，
故答案为56．
25．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a≠0）．
（1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＜0，且P（m，y1）与Q（﹣5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）如图，当a＝﹣1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．
解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x2+2x﹣3）＝a（x+1）2﹣4a，
∴顶点为（﹣1，﹣4a），对称轴为直线x＝﹣1；
（2）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵P（m，y1）与Q（﹣5，y2），y1＜y2，
∴|﹣1﹣m|＞|﹣5﹣（﹣1）|，
∴m＞3或m＜﹣5；
（3）当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
∵S＝，
∴S＝，
过点D作DF⊥x轴交AC于点F，过B点作BG⊥x轴交AC于点G，
∴DF∥BG，
∴＝＝S，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则F（t，t+3），
∴DF＝﹣t2﹣3t，BG＝4，
∴﹣t2﹣3t＝4S，
∴S＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时D（﹣，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣x+，
联立，
∴x＝﹣，
∴当n＝﹣时，S有最大值．
26．如图△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）如图②，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
解：（1）如图①中，
∵△ABC与△ACD为正三角形，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，
∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，AE＝AF，
∴△AEC≌△AFD（SAS），
（2）CE+CO＝CF，
理由如下：
如图②，过点O作OH∥BC，交CF于H，
∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°
∴△COH是等边三角形，
∴OC＝CH＝OH，
∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，
∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，且OH＝OC，
∴△OHF≌△OCE（SAS）
∴CE＝FH，
∵CF＝CH+FH，
∴CF＝CO+CE
（3）作BH⊥AC于H．∵AB＝6，AH＝CH＝3，
∴BH＝AH＝3，
如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
∵OB＝2，
∴OH＝＝＝1，
∴OC＝3+1＝4，
过点O作ON∥AB，交BC于N，
∴△ONC是等边三角形，
∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF
∴∠NOE＝∠COF，且 ON＝OC，∠ONC＝∠OCF
∴△ONE≌△OCF（SAS）
∴CF＝NE
∴CO＝CE+CF，
∵OC＝4，CF＝1，
∴CE＝3，
∴BE＝6﹣3＝3．
如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
同法可证：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝4+1＝5，
∴BE＝1．
如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
同法可证：OC＝CE+CF，
∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，
∴CE＝1，
∴BE＝6﹣1＝5．
如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
同法可知：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝2+1＝3，
∴BE＝3，
综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．
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