2021-2022学年山西省朔州市部分学校八年级（下）段考数学试卷（一）（含解析）
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2021-2022学年山西省朔州市部分学校八年级（下）段考数学试卷（一）
副标题
题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 总分 |
得分 |
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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
- 下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. B. C. D.
- 下列运算正确的是
A. B.
C. D.
- 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A. B. 且 C. 且 D.
- 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是
A. ，， B. ，
C. ，， D. ，，
- 已知的三个顶点，，则的形状是
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
- 如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为，则点表示的数是
A. B. C. D.
- 如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若正方形、、、的边长为、、、，则正方形的面积是
A.
B.
C.
D.
- 若无理数，则估计无理数的范围正确的是
A. B. C. D.
- 北京冬奥会期间，中国运动健儿取得优异成绩．冬奥会的志愿者团队，给人留下了深刻印象，人人都是志愿者．作为志愿者的小颖，从窗户向外望，看到一人为快速从处到达居住楼处，直接从边长为米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知，两处的距离为米，那么标牌上？处的数字是
A. B. C. D.
- 如图，透明的圆柱形容器容器厚度忽略不计的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 若最简二次根式与可以进行加减合并，则的值为______．
- 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是______．
- 若实数，满足，且，恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的周长为______．
- 把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是______．
- 九章算术中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处如图，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______ 尺
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
- 计算题
；
四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）
- 如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为求：
剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
长方体盒子的体积．
|
- 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为米，宽为米．
长方形的周长是多少？结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？结果化为最简二次根式
- 年春节期间，山西省各地均开展了丰富多彩的庆祝活动，在全国首批历史文化名村临县西湾村，一座座古建筑古朴雅致，如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成表演区，进行相关庆祝活动的开展，现测得，，，，．
求四边形的面积；
社区计划在空地上铺设红毯，若每平方米要元，问需要投入多少资金？
- 【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】请叙述勾股定理；
验证勾股定理，请利用图中的数据来验证该定理．
【探索发现】如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案图中阴影部分的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由．
- 法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解叫做勾股数，如就是一组勾股数．
在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于的整数，，，，那么，以，，为三边的三角形为直角三角形即，，为勾股数，请你加以证明；
探索规律：观察下列各组数，，，，直接写出第个数组．
- 综合与实践：
问题情境
学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有多种．在学习了勾股定理和实数后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
操作发现
如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在图中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积．
在图中，所画出的的三边长分别是______，______，______；的面积为______．
实践探究
在图所示的正方形网格中画出顶点都在格点上，使，，，并写出的面积．
继续探究
若中有两边的长分别为，，且的面积为，试运用构图法在图的正方形网格每个小正方形的边长为中画出所有符合题意的全等的三角形视为同一种情况，并求出它的第三条边长填写在横线上______．
- 综合与探究：
观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
化简：______．
化简：______为正整数．
利用上面所揭示的规律计算：
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
解：、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：．
根据最简二次根式的概念即可求出答案．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】
【解析】
解：原式，所以选项不符合题意；
B.原式，所以选项不符合题意；
C.原式，所以选项不符合题意；
D.原式，所以选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】
解：根据题意得：且，
解得：且，
故选：．
利用分式和二次根式以及零指数幂有意义的条件确定关于的不等式，从而确定答案．
此题考查的是分式，二次根式以及零指数幂有意义的条件，掌握其条件是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
解：、，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】
【解析】
解：，，，
，，，
，
是直角三角形．
故选：．
根据两点间的距离公式可得，，，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了两点间的距离公式．
6.【答案】
【解析】
解：在中，，
，
点表示的数是，
故选：．
根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
7.【答案】
【解析】
解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为，则由勾股定理得：
；
；
；
即最大正方形的面积为：．
故选：．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】
解：，
无理数的范围正确的是：．
故选：．
直接利用接近的有理数进而分析得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确找出接近的有理数是解题关键．
9.【答案】
【解析】
解：由题意可知，
故居民直接到时要走，若居民不践踏草地应走，
，
故在？的地方应该填写的数字为，
故选：．
根据图形标出的长度，可以知道和的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边和的距离．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10.【答案】
【解析】
解：如图：
高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
，，
将容器侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
，
故选：．
将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
解：由题意得，，
解得：．
故答案为：．
根据同类二次根式的定义列式整理即可得解．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
12.【答案】
同位角相等，两直线平行
【解析】
解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】
或
【解析】
解：由，得：
，，
，，
，恰好是直角三角形的两条边长，
当，都为直角边长时，直角三角形的周长，
当为斜边长时，直角三角形的周长，
该直角三角形的周长为或，
故答案为：或．
由非负数的性质求出与的值，再结合勾股定理，分当，都为直角边长时以及当为斜边长时，分别求解即可．
本题考查了勾股定理，非负数的性质，分类讨论是解此题的关键
14.【答案】
【解析】
【分析】
正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．本题需要注意的是的符号．根据二次根式的意义可知，只能根号外的正因式移入根号内，要注意符号的变化．
【解答】
解：由根式可知，；
原式
．
15.【答案】
【解析】
解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，
则水深尺，
尺，
尺，
在中，
，
解得，
即芦苇长尺，水深为尺，
故答案为：．
我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．
16.【答案】
解：原式
；
原式
．
【解析】
利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后再算加减，有小括号先算小括号里面的；
化简二次根式，然后先计算小括号里面的加减法，再算括号外面的除法．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键．
17.【答案】
解：长方体盒子的纸板的面积：；
长方体盒子的体积：．
【解析】
用边长为的正方形纸板减去个边长为的正方形的面积即可；
长方体盒子的长、宽为，高为，进一步利用长方体的体积计算公式求得答案即可．
此题考查二次根式的实际运用，掌握长方体的表面积与体积的计算方法是解决问题的关键．
18.【答案】
解：长方形的周长米，
答：长方形的周长是米，
通道的面积
平方米，
购买地砖需要花费元．
答：购买地砖需要花费元；
【解析】
根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
先计算出空白部分面积，再计算即可，
本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
19.【答案】
解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
即，
，
答：四边形的面积为；
则需费用元，
答：需要投入元的资金．
【解析】
连接，利用勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而求出四边形的面积；
利用即可求出总投入．
此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出是直角三角形是解题关键．
20.【答案】
【解析】
解：【实践操作】如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．
或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，
化简得：．
【探索发现】三个图形中面积关系满足的有个；
故答案为；
结论：．
，
，
．
．
【实践操作】勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．
在图中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：．
【探索发现】根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有个；
根据半圆面积和勾股定理即可得结论：．
本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
21.【答案】
证明：
，
即，，为勾股数．
，，；
，，；
，，；
，，；
，，，
则，，，
第组勾股数是：．
【解析】
根据勾股定理的逆定理，可得答案．
先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．
22.【答案】
或
【解析】
解：，，，
的面积，
故答案为：；；；；
画出如图所示：
的面积；
或，画图见解析．
如图所示，，，，此时；
如图所示，，，，
此时；
故答案为：或．
根据勾股定理分别求出、、，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积；
根据勾股定理画出，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积；
根据题意弧长图形，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查的是勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
23.【答案】
【解析】
解：原式；
故答案为：；
原式；
故答案为：；
原式
．
把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
山西省2023-2024学年朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析）： 这是一份山西省2023-2024学年朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析），共24页。
2023-2024学年山西省朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析）： 这是一份2023-2024学年山西省朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省朔州市部分学校中考数学模拟试卷（含解析）： 这是一份2023年山西省朔州市部分学校中考数学模拟试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
