5.1相交线练习题

5.1.1 对　顶　角

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.如图所示,直线AB,CD相交于O,所形成的∠1,∠2,∠3,∠4中,下列四种分类不同于其他三个的是　(　　)

A.∠1和∠2　　　　　  B.∠2和∠3[来源:学科网ZXXK]

C.∠3和∠4     D.∠2和∠4

2.如图已知∠1+∠3=180°,则图中和∠1互补的角有　(　　)

[来源:Zxxk.Com]

A.1个　　　 B.2个　　 　C.3个　　 　D.4个

3.如图所示,直线AB与CD相交于O点,∠1=∠2.若∠AOE=140°,则∠AOC的度数为　(　　)

A.40°   B.60°   C.80°   D.100°

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如图,当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD增大________度,其根据是______________.

5.如图,直线AB,CD,EF相交于同一点O,且∠BOC=∠AOC,∠DOF=∠AOD,那么[来源:学科网]

∠FOC=______度.

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

6.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,∠1∶∠2=2∶3,∠AOC=50°,则∠2的度数是________.

三、解答题(共26分)

7.(8分)如图,有两堵墙,要测量地面上所形成的∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外.如何运用本章知识进行测量?

8.(8分)如图所示,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE,若

∠AOC=28°,求∠EOF的度数.

【拓展延伸】

9.(10分)观察下列图形,寻找对顶角(不含平角):

(1)两条直线相交(如图(1)),图中共有______对对顶角.

(2)三条直线相交于一点(如图(2)),图中共有________对对顶角.

(3)四条直线相交于一点(如图(3)),图中共有________对对顶角.

(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.

(5)若有2014条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

答案解析

1.【解析】选D.选项A,B,C中的两个角都是相邻且互补关系;选项D中的两角是对顶角.

2.【解析】选D.根据相加等于180°的两角称作互为补角,即两角互补.可知∠1的补角有它的两个邻补角∠5和∠7;另外∠1+∠3=180°,根据对顶角相等可知,∠3=∠4,所以∠1+∠4=180°,即∠3和∠4也都是∠1的补角,所以和∠1互补的角有4个.

3.【解析】选C.因为∠AOE+∠2=180°,∠AOE=140°,所以∠2=180°-∠AOE =

180°-140°=40°.因为∠1=∠2,所以∠BOD=2∠2=80°.又因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD=80°.

【归纳整合】对顶角的三个用途

(1)利用对顶角的定义来辨析:识别两个角是否为对顶角,一要看这两个角是否由两条直线相交得到的,二要看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边.只有同时满足这两个条件时,才能断定这两个角是对顶角.

(2)利用对顶角的性质来计算:两条直线交于一点,一定会出现对顶角、平角与互补的角,解题中要充分利用它们的性质,搭起已知角与未知角之间的桥梁.

(3)利用对顶角的性质来说理:今后经常利用对顶角的性质、角平分线的性质及互余、互补的性质等进行说理.

4.【解析】因为∠AOB与∠COD是对顶角,∠AOB与∠COD始终相等,所以∠AOB变化,∠COD也发生同样变化.故当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD也增大15°.[来源:Z+xx+k.Com]

答案：15　对顶角相等[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]

5.【解析】因为∠BOC+∠AOC=180°,

∠BOC=∠AOC,

所以∠AOC+∠AOC=180°,

所以∠AOC=108°,所以∠BOC=72°,

所以∠AOD =∠BOC =72°,

所以∠DOF=∠AOD=24°,[来源:Zxxk.Com]

所以∠FOC=180°-∠DOF=156°.

答案：156

6.【解析】因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠BOD=∠AOC=50°.

又∠1∶∠2=2∶3,设∠1=2x,∠2=3x,则

2x+3x=50°,所以x=10°.故∠2=3x=30°.

答案：30°

7.【解析】如图,延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD,测出∠COD的度数,由∠AOB=∠COD,即得∠AOB的度数.

8.【解析】因为∠BOD=∠DOE,所以∠DOE=∠BOE,同理∠EOF=∠AOE,

所以∠DOF=∠DOE+∠EOF

=∠BOE+∠AOE

=(∠BOE+∠AOE)=×180°=90°.

又∠BOD和∠AOC是对顶角,

所以∠BOD=∠AOC=28°,所以∠EOF=90°-28°=62°.

9.【解析】图(1)中有两条直线,共有2对对顶角,而2=2×1;图(2)中有三条直线,共有6对对顶角,而6=3×2;图(3)中有四条直线,共有12对对顶角,而12=4×3;……当有n条直线相交于一点时,共有n(n-1)对对顶角;若有2014条直线相交于一点,则可构成2014×2013=4054182对对顶角.

答案：(1)2　(2)6　(3)12　(4)n(n-1)

(5)4054182

5.1.2 垂　　线

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题4分,共12分)[来源:学&科&网Z&X&X&K]

1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是　(　　)

A.相等　　　　　　　　　 B.互余

C.互补       D.互为对顶角

2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是　(　　)[来源:学科网ZXXK]

A.2.5　　　　 B.3　　　　 C.4　　　　 D.5

3.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,

∠BOD的度数是　(　　)

A.60°       B.120°

C.60°或90°     D.60°或120°

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=

________度.

5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.[来源:Zxxk.Com]

6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.

三、解答题(共26分)

7.(8分)如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).[来源:Z|xx|k.Com]

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

8.(8分)如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.

【拓展延伸】

9.(10分)一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.

(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.

(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大?哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?[来源:学_科_网]

答案解析

1.【解析】选B.因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.

2.【解析】选A.当P和C重合时,AP=3;当P和C不重合时,AP>3.根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3.[来源:学科网]

【变式训练】点P为直线l外一点,点A,B,C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,

PC=2cm,则点P到直线l的距离为(　　)

A.4cm       B.2cm

C.小于2cm     D.不大于2cm

【解析】选D.由题意知,PC<PA<PB,但PC不一定垂直于直线l,由“垂线段最短”知,点P到直线l的距离不大于2cm.

3.【解析】选D.①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=

60°,所以∠BOD=

180°-∠AOD=120°.

4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.

答案：60　30

5.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.

又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,

所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.

答案：150

6.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.

又因为DE⊥BC,所以BD>DE.

因为DE=9cm,所以BD>9cm,

所以9cm<BD<12cm.

答案：9cm<BD<12cm[来源:Zxxk.Com]

7.【解析】因为OA⊥OB于O,

所以∠AOC+∠BOC=90°.

因为∠AOC=∠α,

所以∠BOC=90°-∠α.

又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.

因为∠BOD=∠COD+∠BOC,

所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.

8.【解析】AB>BC>CD.

理由是:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>BC.所以AB>BC>CD.

9.【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.[来源:学|科|网Z|X|X|K]

(2)由A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.[来源:学科网ZXXK]

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是

(　　)

A.同位角      B.内错角

C.对顶角      D.同旁内角

2.如图,下列说法正确的是　(　　)

A.∠1和∠4是同位角

B.∠1和∠4是内错角

C.∠1和∠A是内错角[来源:学&科&网Z&X&X&K]

D.∠3和∠4是同位角

3.如图,与∠α构成同旁内角的角有　(　　)

A.1个    B.2个    C.4个    D.5个

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如图,________是∠1和∠6的同位角,________是∠1和∠6的内错角,________是∠6的同旁内角.

5.如图,在∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠B,∠D,∠ACE中,与∠D是同位角的是________;∠2与∠4是________被________所截得的________角.

6.如图,三角形ABC中共有________对同旁内角,四边形ABCD中共有________对同旁内角,五边形ABCDE中共有________对同旁内角.

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

三、解答题(共26分)

7.(8分)写出图中数字表示的角哪些是同位角?哪些是内错角?哪些是同旁内角?

8.(8分)如图,直线a,b被直线c所截,已知∠1=∠5,那么∠3与∠7的关系如何?请说明理由.

【拓展延伸】

9.(10分)如图,在平面中画一条直线,使得与∠A成同旁内角的角有3个,你能画出一条直线,使得与∠A成同旁内角的角最多吗?最多有几个?[来源:学&科&网Z&X&X&K]

[来源:Zxxk.Com]

答案解析

1.【解析】选B.角在被截线的内部,又在截线的两侧,符合内错角的定义.

【变式训练】如图,若直线MN与△ABC的边AB,AC分别交于点E,F,则图中的内错角有　(　　)

A.2对    B.4对    C.6对    D.8对

【解析】选C.根据内错角定义,先找出两直线被第三条直线所截:MN,BC被AB所截得的∠MEB与∠ABC;被AC所截得的∠NFC与∠C;AC,MN被AB所截得的∠A与∠AEM;MN,AB被AC所截得∠A与∠AFN;AB,AC被MN所截得∠AEF与∠CFE,∠AFE与∠BEF.因此图中的内错角有6对.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

2.【解析】选A.∠1和∠4是直线AB,CE被直线BC所截得的同位角.

3.【解析】选D.如图,图中所标识的5个角都与∠α构成同旁内角.

4.【解析】∠3是∠1和∠6的同位角;∠5是∠1和∠6的内错角;∠4是∠6的同旁内角.

答案：∠3　∠5　∠4

5.【解析】与∠D是同位角的是∠5,∠ACE,∠2与∠4是直线AD,BC被直线AC所截得的内错角.

答案：∠5,∠ACE　直线AD,BC　直线AC　内错

6.【解析】在三角形ABC中,∠A与∠B,∠B与∠C,∠C与∠A均为同旁内角,故共有3对.同理四边形ABCD,五边形ABCDE中共有4对和5对同旁内角.[来源:Z.xx.k.Com]

答案：3　4　5

7.【解析】同位角有∠1和∠3,∠5和∠6,内错角有∠2和∠4,∠1和∠6,同旁内角有∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠4,∠3和∠5.[来源:Z*xx*k.Com]

8.【解析】∠3=∠7.

因为∠1=∠3,∠5=∠7(对顶角相等),

又因为∠1=∠5(已知),

所以∠3=∠7(等量代换).

9.【解析】如图(1),与∠A成同旁内角的角都有3个.

[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

如图(2),与∠A成同旁内角的角最多,最多有4个.[来源:学科网]