2022年安徽省黄山市歙县中考数学第一次模拟考试数学试题(word版含答案)

这是一份2022年安徽省黄山市歙县中考数学第一次模拟考试数学试题(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了2022的倒数的相反数是，下列计算正确的是，已知等内容，欢迎下载使用。

2021~2022学年度第二学期阶段练习
九年级数学
一．选择题（本大题共10小题，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．）
1．2022的倒数的相反数是（　　）
A． B．2021 C．﹣2021 D．﹣
2．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．3a+2b＝5ab
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
3．据统计，截至2021年11月19日，我国加强免疫接种6573万人，为阻断新冠病毒传播、防止重症的发生等起到重要作用。．其中6573万用科学记数法表示为（　　）
A．65.73×106 B．6.573×107 C．0.6573×108 D．6.573×108
4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）

5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如右表：
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
6．已知∠A为锐角，且cosA＝0.6，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°

7．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么的值为（　　）

A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC D．
8．如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）

A． B．3 C．4 D．8
9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
10．已知，△ABC中，BE⊥AC于G，CD⊥AB于F，BA＝BE，CA＝CD，以下结论：①∠D＝∠E；②DF＝GE；③＝；④＝，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（本大题共4小题）
11．已知一个反比例函数的图象经过点（﹣2，1）和B（﹣1，m），则m＝　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为　 　．

13．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝　 　．

14．已知△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4，AC＝4，AB＝8，求∠BAC＝　 　．
三．（本大题共2小题）
15．计算：﹣12022﹣+（π﹣3.14）0+（）﹣1﹣4cos230°．
16．观察下列等式：
第1个等式：＝1；
第2个等式：＝3；
第3个等式：＝5；
…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
四．（本大题共2小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标．

18．如图，已知反比例函数y＝（k1＞0）与一次函数y＝k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

五．（本大题共2小题）
19．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）


20．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝16，⊙O的半径为4，求BC的长．

六．（本大题共1小题）
21．为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．


请根据图中信息解答下列问题：
（1） 求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有2000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
七．（本大题共1小题）
22．长丰草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

八．（本大题共1小题）
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是8cm/s，点Q的速度是4cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？


2021~2022学年度第二学期阶段练习
九年级数学
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．）
1．2022的倒数的相反数是（　　）
A． B．2021 C．﹣2021 D．﹣
【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可．
【解答】解：2022的的倒数是，相反数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．3a+2b＝5ab
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意；
B.3a+2b无法合并，故此选项不合题意；
C．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意，
故选：A．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．据统计，截至2021年11月19日，我国加强免疫接种6573万人，为阻断新冠病毒传播、防止重症的发生等起到重要作用。其中6573万用科学记数法表示为（　　）
A．65.73×106 B．6.573×107 C．0.6573×108 D．6.573×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6573万＝65730000＝6.573×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）

【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：A．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如右表：
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）

A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：因为共有20个数据，
所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝3，
由表格知数据3出现了7次，次数最多，所以众数为3．
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．已知∠A为锐角，且cosA＝0.6，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【分析】先求出cos30°，cos45°及cos60°的近似值，再由余弦函数值随角增大而减小即可得出结论．
【解答】解：∵cos30°＝≈0.9，cos45°＝≈0.7，cos60°＝＝0.5，
∴45°＜∠A＜60°．
故选：C．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么的值为（　　）

A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC D．
【分析】连接AC，由直径所对的圆周角是90°可知∠ACP＝90°，故此，然后再证明△CPD∽△APB，从而可证明．
【解答】解：连接AC．

∵∠D＝∠B，∠CPD＝∠APB，
∴△CPD∽△APB．
∴．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴＝cos∠APC．
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，由直角所对的圆周角是90°构造直角三角形ACP是解题的关键．
8．如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）

A． B．3 C．4 D．8
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义，可知S△BOE＝k，由D为OB的中点，CD∥BE，可知CD是△OBE的中位线，CD＝BE，那么△ODC∽△OBE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△ODC＝S△BOE＝k＝1，即可求出k的值．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，则S△BOE＝k．
∵D为OB的中点，CD∥BE，
∴CD是△OBE的中位线，CD＝BE，
∴△ODC∽△OBE，
∴＝（）2＝，
∴S△ODC＝S△BOE＝k＝1，
∴k＝8．
故选：D．

【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y＝图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解答此题的关键．
9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】取格点E，连接AE、BE，由题意可得∠BED＝∠AED＝45°，于是∠AEB＝90°，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
【解答】解：取格点E，连接AE、BE，如图：

设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝，
AE＝，
AB＝．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．
∴cos∠APD＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
10．已知，△ABC中，BE⊥AC于G，CD⊥AB于F，BA＝BE，CA＝CD，以下结论：①∠D＝∠E；②DF＝GE；③＝；④＝，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】BE⊥AC于G，CD⊥AB于F，得到∠AFC＝∠AGB＝90°，于是得到∠ABG＝∠ACD，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠E，故①正确；根据∠AFD＝∠AGE＝90°，∠D＝∠E，证得△ADF∽△AEG，但不全等，于是得到DF与GE不一定相等，故②错误；通过△AFC∽△ABG，推出＝，故③正确；由于△ADF∽△AEG，得出，于是得到＝，故④正确．
【解答】解：∵BE⊥AC于G，CD⊥AB于F，
∴∠AFC＝∠AGB＝90°，
∴∠ABG+∠FAG＝∠ACD+∠FAG＝90°，
∴∠ABG＝∠ACD，
∵BA＝BE，CA＝CD，
∴∠D＝∠DAC＝，∠E＝∠BAE＝，
∴∠D＝∠E，故①正确；
∵∠AFD＝∠AGE＝90°，∠D＝∠E，
∴△ADF∽△AEG，
∴DF与GE不一定相等，故②错误；
∵∠AFC＝∠AGB，∠FAG＝∠FAG，
∴△AFC∽△ABG，
∴＝，故③正确；
∵△ADF∽△AEG，
∴，
∴＝，故④正确．
故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
二．填空题（本大题共4小题）
11．已知一个反比例函数的图象经过点（﹣2，1）和B（﹣1，m），则m＝　2　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
【解答】解：设反比例函数为y＝（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点A（﹣2，1）和B（﹣1，m），
∴k＝xy＝﹣2＝﹣m，
∴m＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为　4　．

【分析】根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：由射影定理得，AC2＝AD•AB＝3×（3+5），
解得，AC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
13．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝　5　．

【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，cosB＝，
∴sinB＝，tanB＝＝．
∵在Rt△ABD中AD＝4，
∴AB＝．
在Rt△ABC中，
∵tanB＝，
∴AC＝×＝5．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
14．已知△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4，AC＝4，AB＝8，求∠BAC＝　15°或105°　．
【分析】分两种情形：如图，当高AD在△ABC内部时，当高AD在△ACB′外部时，分别求出∠BAD，∠CAD即可解决问题．
【解答】解：如图，当高AD在△ABC内部时，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝4，AC＝4，AB＝8，
∴cos∠BAD＝＝，cos∠CAD＝＝，
∴∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，
∴∠BAC＝60°+45°＝105°，
当高AD在△ACB′外部时，∠CAB′＝60°﹣45°＝15°，
综上所述，∠ABC的度数为15°或105°．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三．（本大题共2小题）
15．计算：﹣12022﹣+（π﹣3.14）0+（）﹣1﹣4cos230°．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：﹣12022﹣+（π﹣3.14）0+（）﹣1﹣4cos230°
＝﹣1﹣（﹣3）+1+2﹣4×（）2
＝﹣1+3+1+2﹣4×
＝﹣1+3+1+2﹣3
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．观察下列等式：
第1个等式：＝1；
第2个等式：＝3；
第3个等式：＝5；
…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式　﹣＝9　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　﹣＝2n﹣1（n是正整数）　（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据给出的等式归纳变化规律接着写出等式即可；
（2）按（1）总结的规律写出第n个等式即可．
【解答】解：（1）第1个等式：＝＝1；
第2个等式：＝﹣＝3；
第3个等式：＝﹣＝5；
第4个等式：＝﹣＝7；
第5个等式：＝﹣＝9；
…；
故答案为：＝﹣＝9；
（2）由（1）知：第n个等式：﹣＝2n﹣1（n是正整数）；
证明：﹣＝﹣＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，
即﹣＝2n﹣1（n是正整数）；
故答案为：﹣＝2n﹣1（n是正整数）．
【点评】本题考查数字变化规律，归纳总结变化规律是解题的关键．
四．（本大题共2小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标．

【分析】（1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案；
（2）画出一个以点O为位似中心的△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求三角形．B1（﹣1，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求三角形．B2（﹣2，4）；

【点评】本题考查了位似变换作图，平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置以及坐标是解题的关键．
18．如图，已知反比例函数y＝（k1＞0）与一次函数y＝k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？

【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义由△OAC的面积为1得到k1＝2，可得反比例解析式，设A点坐标为（a，），根据正切的定义可得＝2，即AC＝2OC，可求得a＝1，则A点坐标为（1，2），然后把A（1，2）代入一次函数y＝k2x+1（k2≠0）可计算出k2＝1，于是得到一次函数的解析式；
（2）先解两个函数解析式所组的方程组得到B点坐标为（﹣2，﹣1），观察函数图象得到﹣（k2x+1）＞0时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵△OAC的面积为1，
∴k1＝2，即反比例解析式为y＝，
设A点坐标为（a，），
∵tan∠AOC＝2，
∴＝2，即AC＝2OC，
∴＝2a，解得a＝1（负根舍去），
∴A点坐标为（1，2），
把A（1，2）代入y2＝k2x+1（k2≠0）得2＝k2+1，解得k2＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）解方程组，得和，
∴B点坐标为（﹣2，﹣1），
观察图象可得，当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够求出两个函数的解析式是解题关键．
19．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

【分析】作BE⊥DH，知GH＝BE、BG＝EH＝10米，设AH＝x，则BE＝GH＝43+x，由CH＝AHtan∠CAH＝tan55°•x知CE＝CH﹣EH＝tan55°•x﹣10，根据BE＝DE可得关于x的方程，解之可得．
【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，

则GH＝BE、BG＝EH＝10米，
设AH＝x 米，则BE＝GH＝GA+AH＝（43+x）米，
在Rt△ACH中，CH＝AHtan∠CAH＝x•tan55°，
∴CE＝CH﹣EH＝x•tan55°﹣10，
∵∠DBE＝45°，
∴BE＝DE＝CE+DC，即43+x＝x•tan55°﹣10+35，
解得：x≈45，
∴CH＝x•tan55°＝1.4×45＝63，
答：塔杆CH的高为63米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝16，⊙O的半径为4，求BC的长．

【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C+∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA+∠OBA＝90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为4，
∴OB＝4，AC＝8，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC＝2．

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
21．为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．

请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有2000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常满意”的人数为20人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“基本满意”的人数，即可补全条形统计图；
（2）样本中“满意”占调查人数的，即30%，因此相应的圆心角的度数为360°的30%；
（3）样本中“非常满意”或“满意”的占调查人数的（+），进而估计总体中“非常满意”或“满意”的人数．
【解答】解：（1）抽查的学生数：20÷40%＝50（人），
抽查人数中“基本满意”人数：50﹣20﹣15﹣1＝14（人），补全的条形统计图如图所示：
（2）360°×＝108°，
答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108°；
（3）2000×（+）＝1400（人），
答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有1400人．

【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22．长丰草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？


【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将（10，200）、（15，150）代入，得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300，
由﹣10x+300≥0得x≤30，所以x的取值范围为10≤x≤30；
（2）设每天销售获得的利润为w，
则w＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣10x+300）
＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵10≤x≤30，a＝﹣10＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为1000；
答：该品种的草莓定价为20元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1000元；
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是8cm/s，点Q的速度是4m/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝CP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据＝，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据＝，可求出时间t．
【解答】解：由题意得AP＝8t，CQ＝4t，则CP＝40﹣8t，
（1）当t＝3时，CP＝40﹣8t＝16cm，CQ＝4t＝12cm，
由勾股定理得PQ＝＝20cm；

（2）由题意得AP＝8t，CQ＝4t，则CP＝40﹣8t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝＝cm2；

（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．