2022年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷（含解析）

2022年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列各数中，比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列式子中，与相等的是

A.  B.  C.  D.

4. 某商店连续天销售口罩的盒数分别为，，，，，，关于这组数据，以下结论错误的是

A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

5. 点的坐标为，是轴正半轴上一点，为原点，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线，一块含角的直角三角板的直角顶点恰好在直线上，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是

A.  B.
C.  D. 或

8. 已知抛物线：，其顶点为，若点到轴的距离为，则的值为

1. 或 B.  C.  D. 或

二．填空题（本题共5小题，共15分）

9. 计算：______．
10. 分解因式： ______ ．
11. 我国古代数学著作算法统宗中有一道题，大意如下：一支竿子一条索子，索子比竿子长一托托为我国古代长度计量单位，对折索子来量竿，却比竿子短一托．问：索子与竿子分别长多少托？若设索子长托，竿子长托，则可列方程组为______．
12. 如图，在中，，是的两条中线，则的值为______．
    
    
    
     

13. 如图，等边的边长为，三角形内部有一个半径为的，若含与边相切的情况，则点可移动的最大范围最大面积是______．
     

三．计算题（本题共1小题，共5分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共12 小题，共76分）

15. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图所示的是以为圆心的圆，上有一点，请用尺规作图法，求作的内接正方形保留作图痕迹，不写作法
    
     

18. 如图，在中，点在的延长线上，，且，求证：≌．
    
    
     

19. 香香猪肉铺月五花肉售价约元千克，后受市场供需关系影响，五花肉价格逐月上涨，月五花肉售价约为元千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．
    求此期间五花肉价格月增长率．
    月某天小刚妈妈用元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉．
    
    
    
    
    
    
     
20. 年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、，正面印有雪容融图案的卡片记为，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．
    从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是______；
    请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．

21. 如图，某海轮在港口处观测到在其北偏东有一灯塔，海轮早上：从港口出发沿北偏东的方向航行，：到达处，此时观测到灯塔在其正西方向，若港口与灯塔的距离为海里，求海轮的航行速度．结果精确到海里时；参考数据：，，

22. 为落实教育部办公厅关于加强义务教育学校作业管理的通知，进一步减轻中小学生的课业负担，规定中学生每天家庭作业时间少于小时分钟，为符合作业管理要求．某校对该校七年级学生一周天“家庭作业时间”单位：小时进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表，请根据表中的信息回答下列问题．
    统计表中的值为______，的值为______．
    小丽同学说：“我的周家庭作业时间是此次抽样调查所得数据的中位数．”请直接写出小丽同学的周家庭作业时间在哪个范围内．
    已知该校七年级学生有人，试估计该校七年级学生每周“家庭作业时间符合作业管理要求的人数．

23. 涛涛同学骑共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设涛涛同学距离家的路程为，运动时间为，与之间的函数图象如图所示．
    ______．
    在涛涛同学从书店返回家的过程中，求与之间的函数关系式．
    在涛涛从家里出发的同时，小波同学以的速度从博学书店匀速步行去涛涛家，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间．

24. 如图，是的直径，点在上不与点，重合，连接，，过点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，交于点．
    求证：．
    若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于、两点，且点在点的左侧．
    求出点、的坐标．
    记抛物线的顶点为，连接，，当为等腰直角三角形时，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 问题提出
    如图，在中，为上一点，且满足，则形状为______请填写序号：钝角三角形；直角三角形；锐角三角形
    问题探究
    如图，四边形为的内接四边形，，，连接、，若，则对角线的长度为多少？
    问题解决
    如图，在四边形中，，，，以为圆心，长为半径画，为上的一动点，过点作，，连接已知，探究：线段是否存在最小长度？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，，，，
所给的各数中，比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】

【解析】

解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，且右边的矩形较宽．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则是解决问题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：这个数据，，，，，，中，出现次数最多的是，因此众数是，
这个数的平均数为，
将这个数从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
这组数据的方差为，
故选：．
根据中位数、众数、平均数、方差的计算方法分别求出结果再进行判断即可．
本题考查中位数、众数、平均数、方差，掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：过点作，垂足为，如图：

，
，，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，在中，利用勾股定理求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算可解答．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：如图，

，
，
直线，
，
故选：．
根据三角形外角性质得出，再根据平行线的性质即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：，
反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，
当，在同一象限，
，
，
此不等式无解；
当点、在不同象限，
，
，，
解得：，
故选：．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点，在同一象限时，当点，在不同象限时．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
抛物线顶点坐标为，
时，方程无解，
时，
解得或，
故选：．
将函数解析式化为顶点式，由顶点纵坐标等于或求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

9.【答案】

【解析】

解：原式

．
故答案为：．
原式先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：
--提取公因式
--完全平方公式
故答案为：．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

11.【答案】

【解析】

解：设索长为尺，竿子长为尺，
根据题意，可列方程组为．
故答案是：．
设索长为尺，竿子长为尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于、的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：，分别是的边，上中线，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，，
∽，
，
故答案：．
根据中位线的性质得：，，从而得：∽，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．
本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

13.【答案】

【解析】

解：如图，当点分别与点、、重合时均与的相邻两边相切，

过点作于点，过点作于点，
则，
，
，
同理可得，
，
同理可得：，
由题意得：可移动的最大范围即为等边三角形的面积，
，
故答案为：．
根据题意画出与相邻两边均相切的图形，可知点可运动的面积即为的面积．
本题考查切线的性质，熟练掌握切线的性质、切线长定理及等边三角形面积公式是解题关键．
 

14.【答案】

解：


．
 

【解析】

首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

15.【答案】

解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为：．
 

【解析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
 

16.【答案】

解：整理，得：，
方程两边同时乘以，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化，得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
 

【解析】

将原方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤准确计算是解题关键，注意分式方程结果要进行检验．
 

17.【答案】

解：如图，正方形为所作．

 

【解析】

先作直径，过点作的垂线交于、，则四边形满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的性质．
 

18.【答案】

证明：，
，
在和中，
，
≌．
 

【解析】

根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

19.【答案】

解：设此期间五花肉价格月增长率为，
由题意，得．
解得，舍去．
答：此期间五花肉价格月增长率为；
根据题意，得千克．
答：她买了千克五花肉．
 

【解析】

设此期间五花肉价格月增长率为，由题意得关于的一元二次方程，求解，并保留符合题意的答案即可；
由中的增长率求得月份五花肉的单价，然后由题意求得答案．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量年平均增长率增长后的量．
 

20.【答案】

【解析】

解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是，
故答案为：；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，
．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

解：延长交于，
则，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
海里，
海里，
海里，
海轮的航行速度海里时．
 

【解析】

延长交于，求得，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】

【解析】

解：抽取的总人数有：人，
，
；
故答案为：，；
共有名学生，中位数是第、个数的平均数，
中位数在这个范围内；
小时，
人，
答：估计该校七年级学生每周“家庭作业时间”符合作业管理要求的人数有人．
根据的频数与频率，求出总人数，再根据频数、频率与总人数的关系，即可得出、的值；
根据中位数的定义即可得出答案；
用总人数乘以每周“家庭作业时间”符合作业管理要求的人数所占的百分比即可．
本题考查的是频数率分布表、中位数及样本估计总体的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

23.【答案】

【解析】

解：根据题意，，
，
故答案为：．
设与的函数解析式为：，
代入，，
得，
解得，
函数解析式为：．
设涛涛同学从家里出发，与小波同学相遇，
则有，
解得，
涛涛同学经过与小波同学相遇．
根据题意可知，涛涛同学去书店用了，所以从书店回家也用了，所以即可；
设函数解析式为，将点和代入即可；
设经过两人相遇，根据题意列方程，求解即可．
本题考查了一次函数的应用，根据图象理解题意，然后用待定系数求解析式是解决本题的关键．
 

24.【答案】

证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
即，
是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
；
解：设的半径为，则，
，
，，
即，
解得，
，
，
而，
，
．
 

【解析】

连接，如图，先利用切线的性质得到，再利用圆周角定理得到，则根据等角的余角相等得到，然后证明，，于是得到；
设的半径为，则，根据平行线分线段成比例得到，即，则可计算出，再证明，然后计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

25.【答案】

解：令，则，
解得：，，
点在点的左侧，
，；
存在点使得．
，
顶点的坐标为，
，，
，
如图，过点作于点，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
抛物线解析式为，
设，
，
，
，
解得：，
或
 

【解析】

令，则，即可求得点、的坐标．
先将抛物线解析式化为顶点式，可得顶点的坐标为，如图，过点作于点，根据为等腰直角三角形，可得，求得，得出抛物线解析式为，设，由，可得：，即，解方程即可求得点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的顶点式的应用，抛物线与轴的交点，等腰直角三角形的性质，解题关键是应用方程思想解决问题．
 

26.【答案】

【解析】

解：，
，，
，
，
，
，
直角三角形，
故答案为：；
如图，连接、，过点作，垂足为，

，
为的直径，
，
，
，
，，
，
；
连接，取的中点，连接、，

根据题意可知，和均为直角三角形，
，故A、、、四点共圆，
，
由知，，即要使最小，只需最小即可，
连接、，与交于点，
，
，，
，
当点在上时，满足最小，进而可知最小，
连接，由，，
等边三角形，
，即，
，，即，
在中，，
，
．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出，即可得到答案；
连接、，过点作，先由圆周角定理及等腰三角形的性质可得，，最后通过解直角三角形可得答案；
连接，取的中点，连接、，先证、、、四点共圆，再根据等边三角形的判定与性质得的度数，最后通过解直角三角形可得答案．
此题考查的是圆的有关性质，圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．