2022年陕西省中考数学一模试卷（含解析）

2022年陕西省中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是

A.
B.
C.
D.
 

3. 如图，在中，，若直线，则的度数为

A.
B.
C.
D.

4. 如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在矩形中，，，过矩形的对称中心的直线，分别与、交于点、，且若为的中点，连接并延长，与交于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：

下列各选项中，正确的是

A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与轴无交点
C. 这个函数的最小值小于
D. 当时，的值随值的增大而增大

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 分解因式：______．
10. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为尺，第二天再折断一半，其长为尺，，第天折断一半后得到的木棍长应为______尺．
11. 如图，在正五边形中，是边的延长线，连接，则的度数是______．
    
     

12. 如图，在中，，，，边在轴上，若双曲线经过边上一点，并与边交于点，则点的坐标为______．
    
     

13. 如图，在菱形中，，，与交于点，于点，是的中点，是边上的一个动点，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
15. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在中，，是边上的高．请用尺规作图法，求作的外接圆．保留作图痕迹，不写作法
    
    
     

18. 如图，在四边形中，，是边上一点，且求证：．

19. 为了适应新的教育形势发展的需要，某初中学校研究决定探索符合学校情况的课改模式，通过多方面调查、探究和思考，学校最终确定的课改思路为“先学后教、以学定教”，根据学校实际，决定先在七年级实行小班教学，但学校能供七年级用的教室有限，若每间教室安排名学生，则缺少间教室；若每间教室安排名学生，则空出间教室，问：该校能供七年级学生所用的教室共有多少间？
    
    
    
    
    
    
     
20. 王大伯承包了一个鱼塘，投放了条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
    这条鱼质量的中位数是______，众数是______．
    求这条鱼质量的平均数；
    经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

21. 如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有校训的宣传牌，小同在点用测倾器测得宣传牌的底部点的仰角为，他向教学楼前进米到达点，测得宣传牌顶部点的仰角为，已知广告牌的高度为米，测倾器米，点、、在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼的高度．结果保留整数，参考数据，，

22. 龟、兔进行了一次米赛跑，如图表示龟兔赛跑的路程米与时间分钟的关系，根据图象回答以下问题：
    在此次比赛过程中，兔子中途睡了______分钟；
    求的函数表达式；
    乌龟到终点时，兔子距离终点还有多远．

23. 一个不透明的袋子中装有个黄球和若干个蓝球，这些球除颜色外重量、大小、表面光滑度等都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回；搅匀后再摸一个球，记下颜色后放回；不断重复这个过程，获得数据如下：

该学习小组发现，摸到黄球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此估出蓝球有______个；
现从该袋中一次摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个黄球，个蓝球的概率．






 

24. 如图，是的直径，是的切线，且连接，过点作于点，延长交于点，交于点，连接．
    求证：；
    若，求的长．
     

25. 已知抛物线：过点和，与轴的交点为，点在点的左侧．
    求抛物线的表达式；
    若点在抛物线上，点、在抛物线的对称轴上，是抛物线的顶点，要使∽的对应点是，且：：，求满足条件的点的坐标．

26. 问题提出：
    如图，已知，试确定一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
    问题探究：
    如图，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离；
    问题解决：
    如图，有一座草根塔，按规定，要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区根据实际情况，要求顶点是定点，点到塔的距离为米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．塔的占地面积忽略不计

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：

．
故选：．
根据有理数的乘法法则计算即可．
本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与相乘都得是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转后能够重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：直线，
．


．
故选：．
由平行线的性质，得与的关系，再利用三角形的外角和内角的关系得结论．
本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理的推论．掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解决本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

由图可得：，，，
，
，
在中，．
故选：．
连接，过点作于点，先根据图计算出、、，再利用面积相等计算出边上的高，即可利用锐角三角函数计算即可．
本题考查解直角三角形及勾股定理，解题关键是利用面积法求边上的高．
 

5.【答案】
 

【解析】解：将一次函数的图象向左平移个单位后，得到，
把代入，得到：，
解得．
故选：．
根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．
主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：在矩形中，直线过矩形的对称中心，
把矩形分割成的两部分图形一样，
，，
为的中点，
，
，
四边形为矩形，
，即，
∽，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：．
故选：．
由矩形的中心对称性质可得，，由矩形的性质可得，即，从而可判定∽，根据相似三角形的性质可得比例式，将相关线段的长代入计算可得的长，而，则可由勾股定理求得的长．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
连接，得到，求出，即可求解．
【解答】

解：连接．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．

8.【答案】
 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B.与轴的交点为和，故B选项不符合题意；
C.当时，函数有最小值为，故C选项符合题意；
D.函数对称轴为直线，根据图象可知当时，的值随值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：．
设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．  

10.【答案】
 

【解析】解：第一天折断一半，其长为尺，
第二天再折断一半，其长为尺，，
第三天再折断一半，其长为尺，，
，
第天折断一半后得到的木棍长为尺．
故答案为．
根据“一尺之棰，日取其半”，可分别求出第一天、第二天、第三天折断一半后得到的木棍长，由此找到规律，进而得出第天折断一半后得到的木棍长．
本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：因为五边形是正五边形，
所以，，
所以，
所以，
故答案为：．
根据正五边形的性质和内角和为，求得每个内角的度数为，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为熟记定义是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：作于，

点，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
双曲线经过点，
，
双曲线为，
把代入得，
，
故答案为
作于，易证得∽，得到，求得的值，即可求得的坐标，代入，求得的值，得到解析式，把代入解析式即可求得的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形相似求得的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：连接，作于当、、在同一直线上时，取最大值，最大值为．
四边形是菱形，，
，
，
，，
是的中点
，，
，
，
，，，
，
即的最大值是，
故答案为：．
连接，当、、在同一直线上时，取最大值，最大值为，据此解答即可．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用菱形的性质和轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】解：


．
 

【解析】先算二次根式的乘法，绝对值，负整数指数幂，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】解：如图所示：即为所求．

 

【解析】作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
．
 

【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出，在由得，所以，得出四边形是平行四边形，进而得出结论．
 

19.【答案】解：设该校能供七年级学生所用的教室校共有间，学生有名，
由题意得：，
解得：，
答：该校能供七年级学生所用的教室校共有间．
 

【解析】设该校能供七年级学生所用的教室校共有间，学生有名，由题意：若每间教室安排名学生，则缺少间教室；若每间教室安排名学生，则空出间教室，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题看出来二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：这条鱼质量的中位数是第、个数据的平均数，且第、个数据分别为、，
这条鱼质量的中位数是，众数是，
故答案为：，．

，
这条鱼质量的平均数为；

元，
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入元．
根据中位数和众数的定义求解可得；
利用加权平均数的定义求解可得；
用单价乘以中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案．
本题考查了用样本估计总体、加权平均数、众数及中位数的知识，解题的关键是正确的用公式求得加权平均数，难度不大．
 

21.【答案】解：连接并延长交于，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
设，
，
在中，
，
，
，
在中，，
，
，
答：教学楼的高度是米．
 

【解析】连接并延长交于，在中，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．
 

22.【答案】
 

【解析】解：分钟；
设解析式为，
将代入，
得，
解得，
的函数表达式为；
乌龟到终点时，时间为分钟，
将代人，
得，
与终点的距离为米．
答：乌龟到终点时，兔子距离终点还有米．
根据兔子睡觉时的路程不发生变化进行计算即可得解；
利用待定系数法即可求出的解析式；
先求出乌龟到终点时，兔子的行程，再用总路程减去兔子的行程，求解即可．
本题是对函数图象的考查，理解两个函数图象的交点表示的意义，从函数图象准确获取信息是解题的关键．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：由表中数据得出摸到黄球的概率为，则球的总数为个，
篮球有个，
故答案为：，；
分别记三个篮球为蓝，蓝，蓝，画出树状图如下：

有树状图可知，共有种可能的结果，其中恰好摸到个黄球个蓝球的的结果有种，
恰好摸到个黄球，个蓝球的概率为．
由表中数据得出摸到黄球的概率，根据黄球的概率求出总数然后求出篮球个数即可；
分别记三个篮球为蓝，蓝，蓝，画出树状图然后得出概率即可．
本题主要考查概率的知识，熟练掌握频率和概率的关系及概率的计算是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
是的切线，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
∽，
，即，
解得：．
 

【解析】根据切线的性质得到，根据同角的余角相等证明结论；
根据正切的定义求出、、，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线过点和，
，
解得：，
抛物线解析式为；
令，则，
，，
点，点，
对称轴为，
点，
如图，设对称轴与轴的交点为，过点作于，设点，

∽，
，
，
，
或，
点或．
 

【解析】利用待定系数法可求解析式；
先求出点，点，点坐标，由相似三角形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
 

26.【答案】解：如图记为点所在的位置．

如图，

，，取的中点，则．
以点为圆心，长为半径作，一定于相交于，两点，
连接，，，，点不能再矩形外；
的顶点或位置时，的面积最大，
作，垂足为，则，
，
由对称性得．
可以，如图所示，连接，

为▱的对称中心，，，
，
作的外接圆，则点在优弧上，取的中点，连接，，
则，且，为正三角形．
连接并延长，经过点至，使，连接，，
，
四边形为菱形，且，
作，垂足为，连接，则，
，

所以符合要求的▱的最大面积为．
 

【解析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
利用平行四边形的判定方法画出图形即可．
取的中点，以点为圆心，长为半径作，一定于相交于，两点，点，即为所求．
可以，如图所示，连接，作的外接圆，则点在优弧上，取的中点，连接，，易证为正三角形．连接并延长，经过点至，使，连接，，四边形即为所求．