2022年陕西省西安市莲湖区五校联考中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

2022年陕西省西安市莲湖区五校联考中考数学模拟试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 将一次函数的图象向上平移个单位长度，平移后函数经过点

A.  B.  C.  D.

6. 如图，为的直径，点在上，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论中：；；；；正确的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 因式分解：______．
10. 正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是______．
11. 如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为______．
    
     

12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，若反比例函数经过点，则的值等于______．
     

13. 如图，在▱中，对角线与相交于点，，是边的中点，，为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为______．
     

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
15. 解不等式组．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在中，点在边上，请用尺规作图法求作一点，使得，且点到和的距离相等．保留作图痕迹，不写作法
     

18. 如图，在中，是的中点，，过点作的平行线交的延长线于点，连接求证：．

19. 在年陕西省西安市”新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示，求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？

20. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，阳光中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了“体育活动，劳动技能，经典阅读，科普活动”四大板块课程．若该校乐乐和贝贝随机选择一个板块课程．
    乐乐选“经典阅读”课程的概率是______；
    用画树状图或列表的方法，求乐乐和贝贝选不同板块课程的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 年月日，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕，无人机航拍技术全程直播．如图，在无人机的镜头下，观测冬奥会场地处的俯角为，处的俯角为，如果此时无人机镜头处的高度为米，点，，在同一条直线上，求，两点间的距离．结果保留根号

22. 五一期间，阳阳一家自驾游去了离家的关山牧场，如图是阳阳离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象．
    阳阳他们出发半小时，离家的距离是______；
    求出段的图象的函数关系式；
    若阳阳他们离目的地还有，求他们行驶了多长时间？

23. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”下面简称：“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”单位：本进行了统计，如图所示．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为______本；
    求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
    已知该校七年级有名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为本的学生人数．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过点作于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．
    
     

25. 如图，抛物线为常数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点．
    求抛物线的表达式；
    若点是抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，是否存在点，使得≌？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 问题提出：
    如图，正方形的边长为，对角线，交于点若点是对角线上任意一点，则线段长的取值范围是______；
    问题探究：
    如图，若点是内任意一点，点，分别是边和对角线上的两个动点，则当的值在中的取值范围内变化时，的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
    问题解决：
    如图，正方形边长为，点是内任意一点，且，点，分别是边和对角线上的两个动点，则当的周长取到最小值时，求四边形面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
的相反数是．
故选D．
根据相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是依此即可求解．
本题考查了相反数的意义及绝对值的性质：学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】

【解析】

解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
利用幂的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：如图，

两直线平行，内错角相等，
对顶角相等，
，
．
故选：．
由两直线平行，内错角相等及三角形内角和作答．
本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．
 

5.【答案】

【解析】

解：将一次函数的图象向上平移个单位长度，相应的函数是，
当时，，
平移后函数经过点，
故选：．
根据函数图象平移的法则求得平移后的解析式，然后把代入求得函数值即可判断．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换以及一次函数图象上点的坐标特征，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：，，
，
，
，
，
的长为：
故选：．
先利用等腰三角形的性质得出的度数，再利用圆周角定理得出的度数，再利用弧长公式求出答案．
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由矩形的性质得出，得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，因此，由三角形的外角性质得出，由含角的直角三角形的性质即可得出的长．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
抛物线对称轴为，
．
．
错误．
，
，
正确．
抛物线与轴由两个交点，
，
正确．
当时，，
，
正确
，
，
，
错误．
故选：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：原式，
故答案为：．
直接利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：．
 

10.【答案】

六
 

【解析】

解：这个正多边形的边数：．
故答案为：六．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和为，可得多边形的边数，计算即可求解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
的长为．
根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线定义得到，推出，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：如图，作于，
点 ，
，
四边形为菱形，
，
在中，．
，
，
，
把代入得．
故答案为．
作于，如图，利用菱形的性质得，在中利用正弦的定义计算出，则可根据勾股定理计算出，从而得到，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了菱形的性质．
 

13.【答案】

【解析】

解：连接，，，

平行四边形中，对角线相交于点，
是的中点，
又是边的中点，
是的中位线，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，
，，
等腰中边上的高为，
，
是的中点，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
连接，，，依据是的中位线，即可得出，，进而得到四边形是平行四边形，据此可得，求得的面积即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分．
 

14.【答案】

解：

．
 

【解析】

先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】

解：由得，，
由得，，
故此不等式组的解集为：．
 

【解析】

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
此题考查的是解一元一此不等式组，熟知“同大取较大，同小去较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】

解：去分母得，
，
，
解得，
经检验：是原方程的解．
 

【解析】

观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

17.【答案】

解：如图，点即为所求．

 

【解析】

作的角平分线，作线段的垂直平分线，直线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】

证明：如图，是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
 

【解析】

由是的中点得，由得，因为，所以可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，即可证得．
此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确把握和运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】

解：设酒精消毒液每件的进价是元，测温枪每件的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：酒精消毒液每件的进价是元，测温枪每件的进价是元．
 

【解析】

设酒精消毒液每件的进价是元，测温枪每件的进价是元，可得：，即可解得答案．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
 

20.【答案】

【解析】

解：乐乐选“经典阅读”课程的概率是，
故答案为：；

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中乐乐和贝贝选不同板块课程的结果有种，
则乐乐和贝贝选不同板块课程的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

解：由题意得：
，
，，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
，两点间的距离为米．
 

【解析】

根据已知可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出与的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】

【解析】

解：设线段所对应的与的关系式为，，把代入得，
，
解得，，
线段所对应的与的关系式为，，．
当时，，
答：他们出发小时，离家千米．
故答案为：．
 设线段所对应的与的关系式为，，把，代入得，
，
解得，，
线段所对应的与的关系式为：．
离目的地还有，
行驶了：，代入到，
．
答：他们行驶了小时．
求出线段所对应的函数关系式，求出当时，的值即可．
用待定系数法可求出线段所对应的函数关系式．
把代入所对应的关系式，可求出的值，即可．
考查一次函数的图象和性质，用待定系数法求出函数的关系式是解决问题的关键，同时要充分了解分段函数的意义．
 

23.【答案】

【解析】

解：本次抽取的学生有：人，
读书本的学生有：人，
故本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为本，
读书本所占的百分比为：，
故答案为：；
补全的统计图如右图所示；
本，
即本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数是本；
人，
答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为本的学生有人．
根据读书两本的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可得到本次所抽取学生四月份“读书量”的众数，再计算出读书本所占的百分比，即可将统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
根据统计图中的数据，可以计算出该校七年级学生中，四月份“读书量”为本的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体、众数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

24.【答案】

证明：连接，如图所示：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
，
即的半径为．
 

【解析】

连接，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，证出，即可得出是的切线；
连接，由圆周角定理得出，由勾股定理求出，证明∽，得出对应边成比例，求出直径，即可得出的半径．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
 

25.【答案】

解：将，代入，
则，
解得：，
抛物线的表达式为；
存在点，使得≌，理由如下：
，
，
轴，
，
≌，
，
，，
，
，
设，则，
点在直线上，
，
或，
或．
 

【解析】

将，代入，即可求解；
由题意可得，设，则，再由点在直线上，即可求的值，进而确定点的坐标．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】

解：如图中，

四边形是正方形，边长为，
，，
当与重合时，的值最小，最小值，
当与或重合时，的值最大，最大值为，
．
故答案为．
存在．
理由：如图中，作点关于、的对称点、，连接交于，交于，连接、、．

，
点位置确定时，此时的周长最小，最小值为线段的长，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
的最小值为，
线段的最小值为，
的周长的最小值为．
如图中，在图的基础上，以为圆心，为半径作，交于点．

由题意点在上，
≌，≌，
，
，
，
的面积最小时，四边形的面积最大，
易知当时，的面积最小，此时，，
，
，
四边形的面积的最大值．
当与重合时，的值最小最小值，当与或重合时，的值最大，最大值为；
存在．如图中，作点关于、的对称点、，连接交于，交于，连接、、由，推出点位置确定时，此时的周长最小，最小值为线段的长，由，，，推出，由，推出是等腰直角三角形，由的最小值为可得线段的最小值为，由此即可解决问题；
如图中，在图的基础上，以为圆心，为半径作，交于点由≌，≌，推出，由此可知的面积最小时，四边形的面积最大．
本题考查四边形的综合题，正方形的性质、轴对称变换、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用对称变换，解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．