2022年山西省大同市阳高三中中考数学一模试卷（含解析）

2022年山西省大同市阳高三中中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列计算结果正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列图形是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 截止到年月日，电影哪吒之魔童降世的累计票房达到了亿，亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示，将含有角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

5. 我市某中学九年级班为开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全班名同学捐款情况如下表：

问该班同学捐款金额的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 一个物体如图所示，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.

7. 九年级学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标为，若反比例函数 的图象经过点，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、则曲线段扫过的面积为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，边长为的正方形中，点在的延长线上，连接交于点，，则在下面函数图象中，大致能反映与之间函数关系的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 分解因式： ______ ．
12. 把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是______．
13. 如果代数式的值为，那么代数式的值为______．
14. 在中，半径为，弦的长为，则弦所对的圆周角的度数为______．
15. 如图，在中，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线点为切点，则线段长的最小值为______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16. 计算：
    先化简，再求值然后从，，中选择适当的数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共65.0分）

17. 已知如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点：
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    直接写出时的取值范围．

18. 如图，为的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，已知．
    求的度数；
    若点在上，，垂足为，，求图中阴影部分的面积．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某中学九班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：：自带白开水；：瓶装矿泉水；：碳酸饮料；：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    
    请你补全条形统计图；
    为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的名同学男生人，女生人中随机抽取名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也激烈某品牌经销商经营的型车去年销售总额为元，今年每辆售价比去年降低元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少元．
    A、两种型号车今年的进货和销售价格表：

今年型车每辆售价为多少元？
该品牌经销商计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批越野自行车售出后获利最多？






 

21. 如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度：即：，且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上，求条幅的长度结果精确到米参考数据：，

22. 如图，在中，，，点为边的中点，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为，连接、．
    当点、在直线的异侧时，延长交于点，猜想线段和的数量关系为______；
    如图，直线绕点旋转，当点在直线的同侧时，延长交于点，中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
    直线绕点旋转一周的过程中，当线段的长度最大时，请判断四边形的形状为______，并求出它的面积为______．

23. 已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
    求抛物线的解析式和直线的解析式．
    在抛物线上、两点之间的部分不包含、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    若点在抛物线上，点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．
 

3.【答案】

【解析】

解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】

解：如图，延长交于，

，，
，
，
，
，
，
故选：．
延长交于，求出，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，代入求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
 

5.【答案】

【解析】

解：在这一组数据中元是出现次数最多的，故众数是元；
将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是、，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
故选：．
中位数是一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

6.【答案】

【解析】

解：俯视图从图形上方观察即可得到，
故选：．
从图形的上方观察即可求解；
本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
由题意得，．
故选：．
表示出汽车的速度，然后根据骑车行驶的时间等于汽车行驶的时间加时间差列方程即可．
本题考查了实际问题抽象出分式方程，读懂题目信息，理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：菱形的顶点在轴上，顶点的坐标为，
点的坐标为，
反比例函数 的图象经过点，
，
解得．
故选D．
根据菱形的对称性求出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的对称性求出点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：将函数的图象沿轴向下平移个单位得到一条新函数的图象，
所以，
所以曲线段扫过的面积．
故选：．
根据平移规律得到；曲线段扫过的面积，即可求解．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：根据题意知，，，且∽，
则，即，
所以，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．
A、的图象都是直线的一部分，的图象是抛物线的一部分，的图象是双曲线的一部分．
故选：．
通过相似三角形∽的对应边成比例列出比例式，从而得到与之间函数关系式，从而推知该函数图象．
本题考查了动点问题的函数图象．解题时，注意自变量的取值范围．
 

11.【答案】

【解析】

解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．
 

12.【答案】

【解析】

解：的顶点坐标为，把点向右平移个单位，再向上平移个单位得到的对应点的坐标为，
所以平移后的抛物线的解析式是．
故答案为：．
由抛物线平移不改变二次项系数的值，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
 

13.【答案】

【解析】

解：，
．




．
故答案为：．
根据已知条件将要求代数式变形然后整体代入求值即可．
本题考查代数式化简求值，解题关键是根据题目所给条件选择整体代入的方法进行化简求值．
 

14.【答案】

或
 

【解析】

解：如图，弦所对的圆周角为，，
连接、，
，
，
，
，
即弦所对的圆周角的度数或；
故答案为：或．
由得，再由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出答案．
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：连接．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短，
在中，，
，
，
．
故答案为．
首先连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键．
 

16.【答案】

解：原式

．
原式
，
，，
，
当时，
原式．
 

【解析】

根据负整数指数幂、特殊角三角函数值、指数幂的定义计算即可．
括号内先通分再计算，然后将除法转化为乘法计算，最后选择合适的代入求值即可．
本题考查实数的混合运算和分式的化简求值，解题关键是熟知负整数指数幂、特殊角三角函数值、零指数幂的定义和分式的混合运算计算法则．
 

17.【答案】

解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入，解得，
，
把，代入得，解得，
一次函数解析式为；
令，即，解得，
，
由图象可直接得出当时的取值范围为．
 

【解析】

先利用点坐标确定反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
根据图象可直接得出当时的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
 

18.【答案】

解：连接，
切于点




；

直径，

在中，，
，

，
．
 

【解析】

连接，则是直角三角形，可求出的度数；由于与是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得的度数；
由图可知：阴影部分的面积是扇形和的面积差；那么解决问题的关键是求出半径和的长；在中，，已知了的长，通过解直角三角形，即可求出、的长，由此得解．
本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及扇形面积的计算方法．不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
 

19.【答案】

解：抽查的总人数为：人，
类人数人，
补全条形统计图如下：


画树状图得：

所有等可能的情况数有种，其中一男一女的有种，
所以恰好抽到一男一女．
 

【解析】

由类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出类型人数，即可补全条形图；
根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找出恰好抽到一男一女的结果数，根据概率公式求解可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】

解：型车每辆售价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
元，
答：今年型车每辆售价为元；
设经销商新进型车辆，则型车为辆，获利元．
由题意得：，
即，
型车的进货数量不超过型车数量的倍，
，
，
由与的关系式可知，，的值随的值增大而减小．
时，的值最大，
辆，
当经销商新进型车辆，型车辆时，这批车获利最多．
答：当经销商新进型车辆，型车辆时，这批车获利最多．
 

【解析】

由题意列出分式方程，解方程即可；
设经销商新进型车辆，则型车为辆，获利元．由题意得出，，则，再由一次函数的性质即可解决问题．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的应用和一元一次不等式，列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】

解：过点作于，过点作于于，
坡面米，山坡的坡度：，
米，米，
米，，
米，
米，
，
米，
米，
答：条幅的长度是米．
 

【解析】

过点作于，过点作于于，首先求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可．
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
 

22.【答案】

  矩形 
 

【解析】

解：，理由如下：
，，
，
，，
点为边的中点，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：；
中的结论还成立，证明如下：
延长交的延长线于，如图所示：

同得：≌，
，
，
，
；
连接，如图所示：

，点为边的中点，
，，
，
设线段的中点为，
，
，
点、都在以线段为直径的圆上，
当时，取得最大值，此时四边形是正方形，
则四边形是矩形，，
四边形的面积正方形的面积．
故答案为：矩形，．
证≌，得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
延长交的延长线于，同得≌，得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
连接，由等腰三角形的性质得，设线段的中点为，得点、都在以线段为直径的圆上，当时，取得最大值，此时四边形是正方形，则四边形是矩形，即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】

解：二次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：；
存在，理由：
二次函数对称轴为：，则点，
过点作轴的平行线交于点，

设点，点，
，
则，
解得：或舍去，
故点；
设点、点，，
当是平行四边形的一条边时，
点向左平移个单位向下平移个单位得到，
同理，点向左平移个单位向下平移个单位为，即为点，
即：，，而，
解得：或，
故点或；
当是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：，，而，
解得：，
故点或；
综上，点或或或．
 

【解析】

设二次函数表达式为：，即可求解；
，则，即可求解；
分是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．