2021西藏林芝市、日喀则市高三下学期第一次联考数学（文）含答案

林芝-日喀则2020-2021学年第二学期高三第一次联考

文科数学 试卷

全卷满分：150分  考试用时：120分钟 

第I卷

一、选择题:本大题12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（     ）

A． B． C． D．

2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（    ）

A． B． C． D．2

3．下面有四个命题：

①“，”的否定是“，”；

②命题“若，则”的否命题是“若，则；

③“”是“”的必要不充分条件

④若命题为真命题，为假命题，则为真命题.

其中所有正确命题的编号是(    )

A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④

4．设等差数列的前项和为，若，则等于（    ）

A．60 B．45 C．36 D．18

5．已知向量，且与共线，则在方向上的投影为(    )

A． B． C． D．

6．函数的图象大致为（   ）

A．B．C． D．

7．已知中，，，，则的面积为（    ）

A．              B．             C．            D．

8．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（   ）

A． B． C． D．

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数是定义在R上的偶函数，若函数满足，，且，.若，，，则，，三者的大小关系为（    ）

A．         B．          C．     D．

11．如下图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是（     ）

A．，且与平行       B．，且与平行

C．，且与异面        D．，且与异面

12．已知抛物线的焦点为，过点（-2，0）且斜率为的直线与抛物线相交于、两点，且满足，则的值是（    ）

A． B． C． D．

第II卷

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.

13．已知满足约束条件，则的最大值为__________．

14．已知函数，则在处的切线方程_____________.

15．若双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为_______．

16．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(12分)设数列满足：，且（），.

（1）求的通项公式：

（2）求数列的前项和.

18．(12分)2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.

（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；

（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.

参考公式：.

 19．(12分)如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，求三棱锥的体积．

20．(12分)已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，，为坐标原点，求的面积．

21. (12分)已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx2，其中a∈R．

（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；

（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．

选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．(10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线与直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.

23．(10分) 已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若，求的最小值．

林芝-日喀则2020-2021学年第二学期高三第一次联考

文科数学 参考答案

一．选择题

1．A  2．C  3．C  4．B  5．D  6．D  7．D  8．C  9．A 10．A  11．D  12．D

二．填空题

13．57

14．

15．

16．

三．解答题

17．（1）（）

（2）

【详解】

(1)  由()可知数列是等差数列,                        （2分）

设公差为,因为,所以,解得,          （4分）

所以的通项公式为:();                                 （6分）

(2)由(1)知,                      （8分）

所以数列的前项和:

                  （9分）

                                               （10分）

.                                                     （12分）

18．（1），男生55人；（2）见解析；（3）

【详解】

（1）由题意得：，解得，                        （2分）

男生人数为：550×=55人．                               （3分）

（2）列联表为：                                                  （4分）

，

，                    （6分）

所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关.                         （7分）

（3）从30个选择地理的学生中分层抽样抽6名，                    （8分）

所以这6名学生中有2名男生，4名女生，                          （9分）

男生编号为1，2，女生编号为a，b，c，d，6名学生中再选抽2个，

则所有可能的结果为Ω={ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12}（10分）

至少一名男生的结果为{a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，12}，            （11分）

所以2人中至少一名男生的概率为                             （12分）

19．（1）证明见解析  （2）

【详解】

（1）连接BD交AC于F，连接EF                                       （1分）

∵四边形ABCD为菱形，∴F为AC中点，那么EF∥PB                     （2分）

又∵平面ACE，平面ACE∴PB∥平面ACE；           （4分）

（2）由勾股定理易知AP⊥BP且△ABC为正三角形，                 （5分）

∵E为DP中点，∴，                                （6分）

取AB中点M，连接PM、CM，由几何性质可知PM＝1，，    （8分）

又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即PM⊥MC，∵PM⊥AB，

∴PM⊥平面ABCD，                                                （10分）

∴，∴．                  （12分）

20．（1）；（2）.

解：（1）由题得，，（1分）解得，（2分）

因为，所以，（3分）所以椭圆的方程为．（4分）

（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以．（5分）由（1）知，椭圆的方程为，所以，，所以，（6分）

从而，所以直线的方程为，即．    （7分）

联立方程，解得或．              （8分）

设，，不妨取，，

所以当，；当，，所以，              （9分）．．                           （10分）

设原点到直线的距离为，则，                              （11分）

所以．                              （12分）

21．（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析．

【详解】

（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx2                                 （1分）

                                    （2分）

x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，（3分）

故当x时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4

（4分）

（2），

当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；                                                               （5分）

当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；                                                                 （6分）

当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，

解可得，0，                                                  （7分）

当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，

（8分）

由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1），       （9分）

令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）lna+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，

令h（a），则0，              （10分）

所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，

所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2，

即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点

综上，当0＜a时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，

当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．                （12分）

22．（1），；（2）.

【详解】

解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以其直角坐标方程为，                              （2分）

∵直线的极坐标方程为，

∴，

∴其直角坐标方程为；                                     （4分）

（2）直线过点且参数方程可表示为（为参数），

代入曲线的方程，得，                              （6分）

则，，                                            （7分）

∴.                                     （10分）

23．(1) .

(2) .

【解析】

（1）当时，                     （2分）

的解集为：                         （4分）

（2）由得：                     （5分）

由，得：                  （7分）

得（当且仅当或时等号成立），                   （9分）

故的最小值为.                                              （10分）