2022年江苏省连云港市灌南县中考一模数学试题

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2022年江苏省连云港市灌南县中考九年级第一次模拟考试
数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．＝±4 B．＝3
C．+＝2 D．（﹣2ab2）2＝4a2b4
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，算术平方根的意义，立方根的意义，合并同类二次根式的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵＝4≠±4，
∴选项A不符合题意；
∵≠3，
∴选项B不符合题意；
∵+≠2，
∴选项C不符合题意；
∵（﹣2ab2）2＝4a2b4，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，算术平方根，立方根，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，算术平方根的意义，立方根的意义，合并同类二次根式的法则是解决问题的关键．
3．（3分）已知线段a＝2cm，b＝8cm，它们的比例中项c是（　　）
A．16cm B．4cm C．±4cm D．±16cm
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2＝ab，则c2＝2×8，
解得c＝±4，（线段是正数，负值舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
4．（3分）图为正方体的展开图，那么在原正方体中与“你”字所在面相对的面上的字为（　　）

A．前 B．程 C．似 D．锦
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“你”与“程”是相对面，
“祝”与“似”是相对面，
“前”与“锦”是相对面；
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手．
5．（3分）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（　　）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
【分析】先确定“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，即可求解．
【解答】解：“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，
∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）已知反比例函数，点A（b﹣a，3）、B（a﹣c，﹣5）均在这个函数的图象上，下列对于a、b、c的大小判断正确的是（　　）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【分析】将A、B两点代入反比例函数解析式中分别求出b﹣a、a﹣c的值，根据b﹣a、a﹣c值的正负即可判断a、b、c的大小．
【解答】解：将A（b﹣a，3）代入y＝得：b﹣a＝①，
将B（a﹣c，﹣5）代入y＝得：a﹣c＝﹣②，
由①得：b﹣a＞0，故b＞a，
由②得：a﹣c＜0，故c＞a，
由①+②得：b﹣c＝＞0，故b＞c，
综上：a＜c＜b，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征进行适当推理是解题关键．
7．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y＝kx﹣3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据点的对称性和直径所对的圆周角是直角，可知点P的运动轨迹；当点P所组成的图形与直线有且只有一个公共点时，即直线与圆相切，根据△ONH∽△MNO求出OM的值，即可求出k的值．
【解答】解：连接OP，OC，∵OA为圆B的直径，
∴∠ACO＝90°，
∵A与P关于点C对称，
∴OP＝OA＝2，
∴点P运动的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．

∵点P组成的图形与直线y＝kx﹣3k（k＞0）有且只有一个公共点，
∴直线与圆O相切．
设直线直线y＝kx﹣3k与x轴，y轴相交于N，M，
作OH⊥MN，垂足为H，
∵y＝kx﹣3k，当y＝0时，x＝3，
∴ON＝3，
在Rt△OHN中，根据勾股定理得，
HN2+OH2＝ON2，
∴HN＝，
∵∠OHN＝∠NOM，∠ONH＝∠MNO，
∴△ONH∽△MNO，
∴OH：OM＝HN：ON，
代入OH＝2，HN＝，ON＝3，
∴OM＝，
∴﹣3k＝﹣，
∴k＝．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与圆的综合题，确定点P的运动轨迹和点M的坐标是解决本题的关键，本题难度较大．
8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝；③S平行四边形ABCD＝AB•AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝中，正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE＝S△EOC＝OE•OC＝××＝，S△AOP＝S△AOE＝＝；
【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝＝，
∴BD＝2OD＝，
故②正确；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，
故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝，
∴S△AOE＝S△EOC＝OE•OC＝××＝，
∵OE∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴S△AOP＝S△AOE＝＝；
故⑤错误；
本题正确的有：①②③④，4个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）据报道，截至2022年3月底，全世界新冠肺炎确诊人数约476000000人，这个数字用科学记数法表示为 　4.76×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：476000000＝4.76×108．
故答案为：4.76×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）分解因式：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
11．（3分）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是　4　．
【分析】直接利用众数的定义得出m的值，进而求出平均数；
【解答】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3，
∴m＝3，
∴这组数据的平均数：＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平均数和众数，解题的关键是正确理解各概念的含义．
12．（3分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于　60　度．
【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．
【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
则正多边形的一个外角＝＝＝60°，
故答案为：60．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝　2π　cm2．
【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl计算即可．
【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h＝cm，
∴圆锥的母线l＝＝2（cm），
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
故答案为：2π．
【点评】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长l．掌握圆锥的侧面积公式：S侧＝•2πr•l＝πrl是解题的关键．
14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是 　m≤0　．
【分析】利用二次函数的图象和性质计算．
【解答】解：a＝﹣1，抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣＝m．
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m≤0．
故答案为：m≤0．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，确定抛物线的开口和对称轴是求解本题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，对在第一象限的△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2022次变换后所得A点坐标是 　（﹣a，﹣b）　．

【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505…2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（﹣a，﹣b），
故答案为：（﹣a，﹣b）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
16．（3分）如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC，P是弦AC上一个动点，连接BP，并延长交半圆O于点D．若AB＝5，AC＝4，则的最大值是 　　．

【分析】过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC，得到BC∥DE，根据勾股定理得到BC＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC，

则BC∥DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵DE∥BC，
∴△PDE∽△PBC，
∴＝，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∴OF＝BC＝，
∵∠OFE＝∠FEG＝∠G＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴EG＝OF＝，
∵DE+EG＝DG≤OD＝，
∴DE≤1，
∴＝≤，
故的最大值是．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区域内作答。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后先算乘法，再算加减得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝3．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+•＝+1＝，
当x＝3时，原式＝＝3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
20．（8分）阳光中学为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）随机调查的学生人数是　40　，并补全条形统计图；
（2）求被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数及众数；
（3）为捐助贫困山区儿童学习，全校800名学生每人自发地捐出一周的零花钱，请估计全校学生共捐款钱数．
【分析】（1）根据统计图可以求得校团委随机调查的学生数以及有20元零花钱的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数和众数；
（3）用总人数乘以每个学生共捐款数即可得出答案．
【解答】解：（1）校团委随机调查的学生有：10÷25%＝40（人），
零花钱有20元的学生有：40×15%＝6（人），
补全统计图如下：

故答案为：40；
（2）把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是＝30（元）；
30元出现的次数最多，则众数是30元；
答：被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数是30元，众数是30元；
（3）根据题意得：
800×＝26400（元），
答：估计全校学生共捐款26400元．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
21．（10分）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
（1）若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
（2）若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是 　　．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）从甲袋中摸出2个球有3种结果红白、红白、白白，从乙袋中摸出2个球的有3种结果红白、红黑、白黑，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表如下：

红
白
白
红
（红，红）
（白，红）
（白，红）
白
（红，白）
（白，白）
（白，白）
黑
（红，黑）
（白，黑）
（白，黑）
由表可知，共有9种等可能结果，其中摸出的都是白色小球的有2种结果，
所以摸出的都是白色小球的概率为；

（2）列表如下：

红白
红白
白白
红白
（红白，红白）
（红白，红白）
（白白，红白）
红黑
（红白，红黑）
（红白，红黑）
（白白，红黑）
白黑
（红白，白黑）
（红白，白黑）
（白白，白黑）
由表可知，共有9种等可能结果，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的结果数为5，
所以摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．

【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
23．（10分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）＝10求出即可．
【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简，整理，的x2﹣3x+2＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4，2+3＝5，
答：每盆应植4株或者5株．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．
24．（10分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？

【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠CBM＝60°，即可求得∠CBG＝45°，BC＝40nmile，即可得到结论．
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作三角形的高线，构建直角三角形．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC＝∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．

【分析】（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；
（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBE+∠BEC＝90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB＝90°，
即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△CBF，
∴．

【点评】本题考查了切线的性质及判断，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直．
26．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B（2，0），交y轴于点C（0，﹣）．直线y＝mx+过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点（不与点B、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作DM⊥y轴于点M．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式及点D的坐标；
（2）若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；
（3）过点P作PF⊥BD于点F，设△PEF的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，直线的解析式，根据解方程组，可得D点坐标；
（2）根据y轴上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MN，PE的长，根据平行四边形的判定，可得关于x的方程，根据解方程，可得P的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得DN的长，根据相似三角形的判定与性质，可得＝，根据比例的基本性质，可得答案．
【解答】解：（1）将B，C点坐标代入函数解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为y＝x2+x﹣．
∵直线y＝mx+过点B（2，0），
∴2m+＝0，
解得m＝﹣，
直线的解析式为y＝﹣x+．
联立直线与抛物线，得
∴x2+x﹣＝﹣x+，
解得x1＝﹣8，x2＝2（舍），
∴D（﹣8，7）；

（2）∵DM⊥y轴，
∴M（0，7），N（0，）
∴MN＝7﹣＝6．
设P的坐标为（x，x2+x﹣），E的坐标则是（x，﹣x+）
PE＝﹣x+﹣（x2+x﹣）＝﹣x2﹣x+4，
∵PE∥y轴，要使四边形PEMN是平行四边形，必有PE＝MN，
即﹣x2﹣x+4＝6，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，即P（﹣2，﹣3），
当x＝﹣4时，y＝﹣，即P（﹣4，﹣），
综上所述：点P的坐标是（﹣2，﹣3）和）（﹣4，﹣）；

（3）在Rt△DMN中，DM＝8，MN＝6，
由勾股定理，得
DN＝＝10，
∴△DMN的周长是24．
∵PE∥y轴，
∴∠PEN＝∠DNM，
又∵∠PFE＝∠DMN＝90°，
∴△PEF∽△DMN，
∴＝，
由（2）知PE＝﹣a2﹣a+4，
∴＝，
∴C＝﹣a2﹣a+，
C＝﹣（a+3）2+15，
C与a的函数关系式为C＝﹣a2﹣a+，
当a＝﹣3时，C的最大值是15．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法得出函数解析式，又利用了解方程组；解（2）的关键是利用平行四边形的判定得出﹣x2﹣x+4＝6，解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出＝．
27．（14分）问题提出
（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于　CB的延长线上　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　a+b　（用含a，b的式子表示）．
问题探究
（2）点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
问题解决：
（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
②如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．

【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）①连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；
②如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；
【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝3+6＝9；

（3）①如图1，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，
∴P（2﹣，）．

②如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，
∴AC的最大值为2+2．



【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．