2020-2021学年江苏省镇江市第一中学高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年江苏省镇江市第一中学高一下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省镇江市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，且，则（    ）A．6 B． C．7 D．【答案】D【分析】根据向量共线的坐标表示，解方程即可求出的值.【详解】，，又，，解得.故选：D.2．已知为复数，且满足，其中为虚数单位，则的虚数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合复数的除法运算求出，从而可以得到的虚部.【详解】因为，则，所以的虚部是，故选：B.3．在中，如果，那么的形状为（    ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】结合以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解.【详解】解：，，，即与异号，又，，与一正一负，为钝角三角形．故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.4．已知，则的值为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和的正弦公式化简然后使用辅助角公式计算即可.【详解】由，所以则故选：B5．平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，由题意可得出，由此可求得实数的值.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、，，，，所以，，，，则，因此，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量垂直求参数，解题的关键就是选择合适的位置建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解.6．明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节､时辰的日月星辰在填空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由块正方形模板组成，最小的一块边长约(称一指)，木板的长度按从小到大均两两相差，最大的边长约(称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不停替换､调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到六指，进而得到，再结合二倍角的正弦公式和商数关系求解.【详解】由题意知：六指为，所以，所以，.故选：D7．已知等边三角形的边长为6，点满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】判断出点的位置，解直角三角形求得.【详解】依题意，，设是中点，连接，由于三角形是等边三角形，所以，，由于，所以，所以四边形是矩形，所以，中，，即故选：C8．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】因为为纯虚数，化简可得，则，设，用两点距离公式求解的最小值即可．【详解】由，因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，所以得 所以，则由于，故设且， 所以  故与之间的最小距离为1故选：B．二、多选题9．已知向量，，则（     ）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为【答案】BC【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；利用平面向量共线的坐标表示与平面向量数量积的坐标表示可判断B选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断C选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，则，解得，A选项错误；对于B选项，，，，B选项正确；对于C选项，若，则，所以，，C选项正确；对于D选项，若，则，，此时，与的夹角不是，D选项错误.故选：BC.10．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（    ）A．的最小正周期为12 B．C．的最大值为 D．在区间上单调递增【答案】ACD【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．【详解】由题意可得：，，，，，，，，，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确. 时，，可得：函数在单调递增.综上可得：ACD正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.11．在△ABC中，若，下列结论中正确的有（   ）A．B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若，则△ABC外接圆的半径为【答案】ACD【分析】先根据题意求出，结合正弦定理可得A，D的正误，结合余弦定理可得B,C的正误.【详解】由题意，设，解得；所以A正确；由以上可知最大，为锐角，B错误；由以上可知最小，，即,因为为锐角，为锐角，所以，C正确；因为，所以，设△ABC外接圆的半径为，则由正弦定理可得，所以，D正确.故选：ACD.12．设，，为复数，，下列命题中错误的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】由复数的运算法则化简求解.【详解】A.若，则，所以，故正确；B.因为，所以，又因为，所以，故正确；C. 如，满足，而，故错误；D.因为，所以，又因为，所以，故错误；故选：CD三、填空题13．已知向量，，则向量在方向上的投影为________.【答案】【分析】首先可以根据题意写出，然后求出以及的值，再然后设向量与的夹角为，最后根据即可得出结果.【详解】因为，，所以，，，设向量与的夹角为，则向量在方向上的投影，故答案为：.【点睛】本题考查向量在另一向量上的投影的相关计算，考查向量乘法的坐标表示，考查向量的模的相关计算，考查根据向量的数量积公式求向量在另一向量上的投影，考查计算能力，是中档题.14．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时_______________________．【答案】【分析】作交于，交于，且，设，求出、，设，作交于，交于，可得出，，由勾股定理可得然后求最值可得答案.【详解】作交于，交于，且，设，则，，设，作交于，交于，因为，所以，，，所以，所以，即，，所以，因为，所以当即时最大，也就是最长时.故答案为：.【点睛】本题考查了用三角函数解决几何问题，关键点是作出辅助线利用勾股定理求出，考查了学生分析问题、解决问题的能力.15．在中，，，，为边上的高．若，则________．【答案】【分析】根据题意画出图象，根据条件求出，从而可得出，根据向量加法的几何意义并进行向量的数乘运算得出，从而根据平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案．【详解】根据题意画出图象，如图为边上的高，，，则，，．又，，，故．故答案为：．【点睛】本题解题关键是掌握向量的线性表示，根据系数相等求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．16．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则___________.【答案】【分析】根据，，求得，代入求解.【详解】因为，，所以，，所以，，故答案为：四、解答题17．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.18．已知三点，，，为平面上的一点，且，．（1）求；（2）求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）根据有向线段的坐标表示求出，再根据数量积的坐标表示即可求出；（2）由可设出，再根据数量积的坐标表示由解出，然后由，根据向量相等列出方程组，解出即可．【详解】（1）因为，，所以．（2）因为，所以，由于，可设．由，得，即，解得，∴，因为，所以，所以，则．【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示，向量相等，向量垂直与数量积的关系应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．19．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】见解析【详解】要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.①需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；，的距离 ………. ②第一步：计算. 由正弦定理　；第二步：计算. 由正弦定理　；第三步：计算. 由余弦定理20．在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.【解析】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21．边长为1的正三角形，、分别是边、上的点，若，，其中，设的中点为，中点为.（1）若、、三点共线，求证：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.【分析】(1)利用共线向量基本定理得,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论;(2)利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将表示为的二次函数,求出二次函数的最小值.【详解】(1)由三点共线,得共线,根据共线向量定理可得,存在使得,即,所以,根据平面向量基本定理可得,所以.(2)因为,又,所以,因为三角形是边长为1的正三角形,所以,,所以 ,所以时,取得最小值.【点睛】本题考查了共线向量定理,平面向量基本定理,平面向量的数量积,平面向量三角形的减法法则的逆运算,二次函数求最小值,属于中档题.22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角、、所对的边分别为、、，且，，___________？【答案】答案见解析【分析】选①，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换思想化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值，再结合余弦定理可求得，结合解出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积；选②，利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理求出，结合基本不等式推出矛盾，进而可得出结论；选③，由二倍角的余弦公式可得出关于的二次方程，求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，结合已知条件求出、的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】解：选择条件①：由正弦定理可得，由于，可得，化简可得，即，因为，所以，由余弦定理可得，解得，，解得，因此；选择条件②：因为，即，由正弦二倍角公式可得：，，则，所以，，所以，所以即，由余弦定理可得，由已知可得，由基本不等式可得，所以不存在满足条件的；选择条件③：由余弦二倍角公式可得：，解得或（舍去），因为，所以，由余弦定理得：，解得，，解得，因此；【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.