2021-2022学年江苏省镇江市实验高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省镇江市实验高级中学高一下学期期中数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市实验高级中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．函数的最小正周期是A． B． C． D．【答案】C【分析】根据求最小正周期的公式,即可求出答案【详解】因为 ：      所以： ．故答案选：C【点睛】由，求函数最小正周期2．的值为（       ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据两角和正弦公式，化简即可求解.【详解】由两角和正弦公式，可得.故选：C.3．下列各组的两个向量，共线的是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据向量的共线的坐标表示，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，，可得，所以两向量不共线；对于B中，由，，可得，所以两向量不共线；对于C中，由，，可得，所以两向量共线；对于D中，由，，可得，所以两向量不共线.故选：C.4．的值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用降幂公式求解【详解】.故选：D.5．在中，若，则（       ）A．60° B．90° C．120° D．45°【答案】B【分析】根据题意和正弦定理，得到，即可求解.【详解】由，可得，根据正弦定理，可得，所以.故选：B.6．已知，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可求得，即可得出所求.【详解】因为，所以，即，又，，，则，所以.故选：D.7．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】.故选：C.8．如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°，，米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的高度为（       ） A．米 B．米 C．米 D．200米【答案】C【分析】利用正余弦定理可得，，进而利用两角差的正切公式可得，然后利用基本不等式即得.【详解】在中，由正弦定理得，∴，再由余弦定理：，∴，又，所以，，设该无人机离地面的高度为米，则，当且仅当：，即取等号，此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的高度为米.故选：C二、多选题9．关于基本立体图形，下列说法正确的是（       ）A．由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱B．棱锥的底面是多边形，侧面可以是四边形C．将棱台的侧棱延长后必定交于一点D．将直角三角形绕着其一边旋转一周形成的图形叫做圆锥【答案】AC【分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆锥的定义依次判断即可.【详解】对于A，满足棱柱定义，正确；对于B，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故B错误；对于C，由棱台的定义知正确；对于D，将直角三角形绕斜边为轴，不是圆锥，所以D错误.故选：AC.10．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（       ）A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）C．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度D．横坐标缩短为原来的音（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度【答案】BC【分析】根据三角函数的图象变换的规则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，将的图象上的各点向左平移个单位长度，可得的图象，再将横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，可得的图象，所以A错误.对于B中，将的图象上的各点向左平移个单位长度，可得的图象；再将横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，得到的图象，所以B正确.对于C中，将的图象上的各点横坐标缩小到原来的，得到函数的图象；纵坐标保持不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，所以C正确.对于D中，将函数的图象上的各点横坐标缩小到原来的，可得的图象，纵坐标保持不变，再向左平移个单位，可得的图象，所以D错误.故选：BC11．下列说法错误的是（       ）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．两个非零向量，若，则与共线且反向D．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】ABD【分析】根据向量的概念依次判断即可.【详解】A. 取，尽管，但不一定成立，故A错误；B. 若，对于非零向量，当时，则不存在任意实数使得，故B错误；C. 由，两边平方 可得，从而，则与共线且反向，故C正确；D.当与的夹角为锐角，则，即，则，解得，但当时，与的夹角为零角，不满足题意，所以的取值范围是，故D错误；故选：ABD.【点睛】本题主要考查向量共线的问题，属于简单题.12．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（       ）A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形【答案】ABC【解析】由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解.【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，利用正弦定理进行边角转化，再利用余弦定理求出角度的范围即可判断三角形形状，意在考查学生对定理的掌握与应用，属于基础题.三、填空题13．人们经过长期观察与实践，总结出平面有三个基本事实.其中基本事实2：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（如图），请用符号语言表述基本事实2是_________________.【答案】，且   【分析】根据文字语言的表述，直接用符号语言表述，可得答案．【详解】由题意，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，用符号语言表述为： ，且 ，故答案为：，且14．在中，，，，则_________________.【答案】-144【分析】确定三角形为直角三角形，求得，根据数量积的定义，可求得答案.【详解】由，，得：，故 ,则，而.故答案为：15．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.已知是黄金分割比的近似值，而黄金分割比还可以表示为，则______.（结果用表示）【答案】【分析】求出，利用二倍角的余弦公式以及诱导公式可求得结果.【详解】，所以，，所以，，因此，.故答案为：.16．已知直角梯形，，，，是边上的一动点，则的取值范围为_____.【答案】【分析】设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，解出的取值范围.【详解】因为在上，不妨设，则（其中），所以.因为，所以，故答案为：.四、解答题17．(1)已知，求的值；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简得到，即可求解；（2）利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.【详解】(1)解：由，可得，即，所以.(2)证明：由三角函数的基本关系式，可得，所以.18．已知不共线的平面向量，满足，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，解方程即可；（2）由得，解方程即可.【详解】(1)因为，且，所以存在实数，使得，因为，，且与不共线，则.(2)因为 ，所以，即，又，，解得.19．已知函数的一段图像(如图所示)．(1)求函数解析式；(2)求函数的单调递增区间.【答案】(1)；(2)，．【分析】(1)根据图像上横坐标求出正弦型函数的最小正周期，根据最小正周期求出ω；根据f(0)＝可求A；根据x＝时f(x)取最大值可求φ；(2)令ωx＋φ∈解出x范围即为f(x)单调递增区间．【详解】(1)设函数的最小正周期为，则由图知，∴，∴，∴，将点代入得，∴，∴，，∵，∴，∴，将点代入得，∴，∴．(2)由可得，∴f(x)的单调增区间为，．20．已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据得到关于的方程，结合求解出的值，由此确定出的值，则的值可求；（2）将等式两边同时平方，通过化简先求解出的值，再根据与的关系，采用角的配凑以及两角和的正弦公式求解出的值.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以，所以；（2）因为，所以，化简得，又，，则，，所以，则，又，，又，所以，所以，所以.【点睛】结论点睛：已知向量，（1）若，则有；（2）若，则有.21．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，再化简整理即可求出；（2）由结合余弦定理可求得，进而求得，即可求出面积.【详解】(1)因为，由正弦定理得，所以，化简得，因为，所以，因为,所以；(2)设中线交于，则，由余弦定理得，即，化简得，因为，所以，所以.22．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示．已知，路宽米．设．（1）求灯柱的高h（用表示）；（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？【答案】（1）；（2）该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米．【分析】（1）在与在中，由正弦定理即可用表示灯柱的高；（2）根据正弦定理，分别表示出灯柱与灯杆的长，即可表示出，结合正弦和角公式化简，结合角的取值范围即可得解.【详解】解：（1）∵与地面垂直，，∴，在中，，由正弦定理得，得，在中，，由正弦定理得，∴．∴．（2）在中，由正弦定理得，得，∴，∵，∴，∴当时，取得最小值．故该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米．