初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件练习题

【巩固练习】

一、选择题
1. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：

（1）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；

（2）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；

（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；

（4）若AC：A1C1=CB：B1C1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．

其中真命题的个数为（　　）

　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

2．（2020•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A．　　B．　　C．　D．

3．）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　）

 A． P1     B． P2     C． P3     D． P4

4．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（　　）

A． ∠ADE=∠C B． ∠AED=∠B     C.            D. 

5．已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（　　）.

A.   B.    C.    D.

6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）.

  A.4cm      B.6cm      C.8cm       D.10cm

二、填空题

7.（2020•伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为　     　．

8．如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且点E为AB边中点，则图中有　　对相似三角形．

9．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是　   　．

10．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF是　      　的．（填“相似”或者“不相似”）

11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.

12.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．

三、解答题

13. 如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．

14．如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB上的高，F为AC的中点，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．

15.（2020秋•元宝区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB=8，AC=16，点P从点B开始沿边BA向点A以2厘米每秒的速度移动，点Q从点A向点C以4厘米每秒的速度移动，如果点P、Q分别从点B、A同时出发，经过多少秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似？

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】B；

【解析】解：（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；

（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；

（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；

（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．

正确的个数有3个；

故选：B．  

2.【答案】B.

【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、

只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．

3.【答案】C；

【解析】解：∵∠BAC=∠PED，而=，

∴=时，△ABC∽△EPD，

∵DE=4，

∴EP=6，

∴点P落在P3处．

故选：C．

4.【答案】C；

  【解析】解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；

B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；

C、=，此时不等确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故本选项正确；

D、=，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．

故选C．

5．【答案】C.

【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC=，
而AB=10cm，∴AC=×10=（5-5）cm．故选C．

6．【答案】C.

【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，
解得：y≈8cm．故选C．

二、填空题

7.【答案】 ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或 .

【解析】据判定三角形相似的方法来找条件.

8．【答案】；

【解析】解：∵∠A=∠B=∠DEC，

∴∠1+∠2=∠2+∠4，

∴∠1=∠4，

又∵∠A=∠B，

∴△AED∽△BCE，

∴=，

∵点E为AB边中点，

∴=，

∵∠A=∠DEC，

∴△AED∽△EDC，

∴△AED∽△BCE∽△EDC，

故图中有 3对相似三角形．

故答案为：3．

9．【答案】△APB∽△CPA；

【解析】解：△APB∽△CPA，

理由如下：

由题意可知：AP==，PB=1，PC=5，

∴，，

∵∠APB=∠CPA，

∴△APB∽△CPA，

故答案为：△APB∽△CPA．

10．【答案】相似;

   【解析】解：如图所示：∵AC=3，AB=5，DE=10，EF=8，

∴BC==4，DF==6，

∴==，

∵∠C=∠F=90°，

∴Rt△ABC∽Rt△DEF．

故答案为：相似．

11.【答案】6.2或3.8．

【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，
∴AC：AB≈0.618，
∴AC=0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）或AC=10-6.2=3.8．
故答案为：6.2或3.8．

12.【答案】6-2．

【解析】根据题意可知，BC=AB，
∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，
又∵△BDC也是黄金三角形，
∴∠CBD=36°，BC=BD，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，
∴BD=AD，同理可证DE=DC，
∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=6-2．
故答案为：6-2．

三、解答题

13.【解析】

解：在△ABC中，∠B=180°﹣∠A﹣∠C=79°，

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC∽△DEF．

14.【解析】

解：连接EF，△DEF为等边三角形，由∠ABC=60°，

易得：．

∴△BDE∽△BAC，

∴，

∴DE=AC．

又∵F为中点，

∴在Rt△ADC中，DF=AC，在Rt△ACE中，EF=AC．

所以DE=DF=EF．

即：△DEF为等边三角形．

15.【解析】解：设经过t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似，则BP=2t，AP=8﹣2t，AQ=4t，

∵∠PAQ=∠BAC，

∴当= 时，△APQ∽△ABC，即=，解得t=2（s）；

当= 时，△APQ∽△ACB，即=，解得t=0.8（s）；

即经过2秒或0.8秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似．