初中数学北师大版八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组综合与测试习题

《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；

2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；

3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；

4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；

5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.

要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

2. 不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．

要点二、一元一次不等式

1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．

要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；

（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；

（5）解：解出所列的不等式的解集；

（6）答：检验是否符合题意，写出答案.

要点诠释：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.

要点三、一元一次不等式组
　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
要点诠释：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. 

（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．

要点四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　

【典型例题】

类型一、不等式 

1.用适当的语言翻译下列小题：

（1）x与9的差是正数或0；

（2）b与-5的和既不是正数也不是负数；

（3）y的5倍既大于x又小于3x+2；

（4）a的2倍与-4的差小于5或大于7；

（5）；

（6）；

（7）

（8）

【答案与解析】

解：（1）x -9≥0；

（2）b+(-5)=0；

（3）x<5y<3x+2；

（4）2a-(-4)<5或2a-(-4)>7；

（5）y的一半与x的差非负；

（6）x的一半与3的差既大于-2又小于0；

（7）x>-3或写作：大于-3的数；

（8）2<x≤3或写作：既大于2又小于等于3的数.

【总结升华】对“既……又……”，“既是……也是……”，“是……或是……”等连接词也要逐步领会积累．

2. 设x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少?

【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法．

【答案与解析】

解：可利用作差比较法比较大小．

      -(8-l0x)-[ -(8-l0y)]

    =-8+10x+8-10y

    =10x -10y．

    ∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0

    ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．

    按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．

    ∴．

    ∴x的最小正整数值是1．

【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：

①；

②；

③．

举一反三：

【变式】己知：x<0.5，比较2-4x和18x-9的大小.

【答案】

解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x

而又∵x<0.5，

∴-22x>-11，即11-22x>0．

∴2-4x>18x-9．

类型二、一元一次不等式   

3. 已知关于x的不等式的解集是，求a的取值范围. 

【答案与解析】

解：解法一：，

，

∵它的解集为，

，  . 

解法二：是关于x方程 的解，

，解得．

. 

【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 

举一反三：

【变式1】如果关于ｘ的不等式正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值?

【答案】解不等式得：．

　　　　∵ｋ为正整数且中的正整数解为1，2，3，

　　　　∴．

　　　　∴．

【变式2】（2020•南通）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）

A．﹣3＜b＜﹣2     B．﹣3＜b≤﹣2    C．﹣3≤b≤﹣2   D．﹣3≤b＜﹣2

【答案】D．

解：由x﹣b＞0解得：x＞b，

∵不等式的负整数解只有两个负整数解，

∴﹣3≤b＜﹣2.

类型三、一元一次不等式组

4. 求不等式组的整数解. 

【思路点拨】分别解出各不等式，取所有解集的公共部分.

【答案与解析】

解：

解不等式①得：x＜2 ．

解不等式②得：x≥－1 ．

解不等式③得：x＞-2 ．

∴不等式组的解集为－1≤x＜2 ．

故不等式组的整数解为－1，0,1 ．

【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解．

举一反三：

【变式】若关于不等式组只有四个整数解，求a的取值范围.

【答案】

解：由，得，

   由，得，

   ∴不等式组的解集为，

   ∵只有四个整数解，∴，即，

   ∴a的取值范围：.

5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：

 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?

 (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?

【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴．

【答案与解析】

解：(1)设购进电视机、冰箱各x台．

依题意，得

解这个不等式组得，6≤x≤7

∵  x为正整数．∴  x＝6或7．

方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；

方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．

(2)方案1需补贴：

(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)．

方案二需补贴：

(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)．

    ∴  国家财政最多需补贴农民4407元．

【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．

类型四、一次函数与一元一次方程、不等式（组）

6.如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组 的解集为         ．

【答案】；

【解析】从图象上看，的图象在轴下方，且在上方的图象为画红线的部分，而这部分的图象自变量的范围在.

【总结升华】也可以先求出的解析式，然后解不等式得出结果.

举一反三：

【变式】如图所示，直线经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线过点A，则不等式2＜＜0的解集为(    ) .

A．＜－2    B．－2＜＜－1    C．－2＜＜0    D．－1＜＜0

【答案】B；

提示：由图象可知A(－1，－2)是直线与直线的交点，当＜－1时2＜，当＞－2时，＜0，所以－2＜＜－1是不等式2＜＜0的解集．

类型五、综合应用

7.已知不等式组的解集为，试求m，n的值．

【答案与解析】

解：解不等式，得．

解不等式  n-4(x-1)＜1，得．

因为不等式组的解集为，

所以有，  ∴  ．

答：m、n的值分别1和3．

【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解．

8.（2016•泸州）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？

【思路点拨】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．

【答案与解析】

解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：

，

解得．

答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：

，

解得：12≤m≤13，

∵m是整数，

∴m=12或13，

故有如下两种方案：

方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；

方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．

【总结升华】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．

举一反三：

【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．

（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？

（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？

【答案】

解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元． 

由题意得：，  解得： ．       

（2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株．

 则有：     

解得：．               

 由于a为整数，∴a可取18或19或20，所以有三种具体方案：

①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株；

②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株；

③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株.