专题06 平面图形的滚动问题中圆的应用-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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A．(2＋2eq \r(2))π B．4π C．(2＋eq \r(2))π D．3π
【解析】 ∵正方形ABCD的边AB＝1，∴对角线AC＝eq \r(2)，
∵点A翻滚一周经过的路程弧长l＝eq \f(π,2)×eq \r(2)＋2×eq \f(π,2)×1＝π＋eq \f(\r(2),2)π，
∴当A第3次落在MN上时，
A点运动的路程＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(\r(2),2)π))＝2π＋eq \r(2)π.
2、如图，水平地面上有一面积为eq \f(15,2)π cm2的扇形AOB，半径OA＝3 cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至与三角块BDE接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C，已知∠BCD＝30°，则O点移动的距离至少为( B )
A．3π cm B．4π cm C.eq \f(9,2)π cm D．5π cm
【解析】 ∵扇形AOB的面积为eq \f(15,2)π cm2，
∴圆心角＝eq \f(15π×360,2×32π)＝300°，
连结OC，BC，∵∠BCD＝30°，∴∠BOC＝60°，
∴优弧AC＝eq \f(240×π×3,180)＝4π cm.
3、如图，一个圆作滚动运动，它从位置A开始，在与它相同的其它六个圆上部滚动，到达B位置(六个圆的圆心与A，B在同一直线上)，则该圆上某一定点绕其圆心共滚过的圈数为( B )
A．3 B.eq \f(8,3) C.eq \f(15,6) D.eq \f(4,3)
【解析】 ∵弧长＝eq \f(120π×2r×2＋60π×2r×4,180)＝eq \f(16,3)πr，小圆的周长＝2πr，
∴该圆共滚过了eq \f(16,3)πr÷2πr＝eq \f(8,3)圈．
4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为__6π__．
[来源:Z。xx。k.Cm]
【思路生成】根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③以90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．
【解析】 如答图为滚动路径，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
答图
∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，对角线AC(BD)＝5.
∵根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，[来源:学&科&网]
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A经过的路线长为eq \f(90π×3,180)＝eq \f(3π,2)，
同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为eq \f(90π×4,180)＝2π，
点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为eq \f(90π×5,180)＝eq \f(5π,2).
∴当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为eq \f(3π,2)＋2π＋eq \f(5π,2)＝6π.
【方法概括】 以图形运动为背景，求在图形运动过程中某一线段扫过的区域面积问题．解决这类问题的基本方法是：从特殊位置或极端位置入手，确定点的运动轨迹，从而把握扫过的区域的图形的形状．
5、在Rt△ABC中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积为__eq \f(19,12)π＋eq \f(\r(3),2)__．
【解析】 如答图，在Rt△ABC中，AB＝1，∠A＝60°，
∴BC＝eq \r(3)，∠BCB′＝150°，
∠B′A′E＝120°，第一次滚动的半径为eq \r(3)，根据扇形面积公式S＝eq \f(nπR2,360°)＝eq \f(5π,4)，第二次滚动的半径为1，故扇形面积＝eq \f(π×120,360)＝eq \f(π,3)，△A′B′C的面积为eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，故总面积为eq \f(5π,4)＋eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(19π,12)＋eq \f(\r(3),2).[来源:学&科&网]
答图
6、如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系中，定点A，B分别落在x，y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为(1，0)．将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°…)．当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是__eq \r(3)＋eq \f(17,12)π__．
【解析】 ∵∠OAB＝60°，OA＝1，∴AB＝2，BC＝eq \r(3)，∴扇形ABB1的面积为eq \f(1,6)π×22＝eq \f(2,3)π，扇形C1B1B2的面积为eq \f(1,4)π×(eq \r(3))2＝eq \f(3,4)π.△OAB与△ABC的面积之和为eq \r(3)，∴点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是eq \f(2,3)π＋eq \f(3,4)π＋eq \r(3)＝eq \r(3)＋eq \f(17,12)π.
答图
7、如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图①的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图②位置．若正六边形的边长为2 cm，则正六边形的中心O运动的路程为__4π__cm.
① ②
【解析】 根据题意得，每次滚动，正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°.
∵正六边形的边长为2 cm，∴运动的路径为eq \f(60π×2,180)＝eq \f(2π,3).
∵从图①运动到图②共重复进行了六次上述的移动，
∴正六边形的中心O运动的路程6×eq \f(2π,3)＝4π(cm)．