考点13 中考一轮复习之一次函数-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版）

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考点13 中考一轮复习之一次函数

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共14小题）

1.（2021秋•烈山区期中）一个正比例函数的图象经过点（1，﹣2），它的表达式为（　　）
A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x

【答案】C
【分析】利用待定系数法求正比例函数解析式即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
把（1，﹣2）代入得﹣2＝k×1，解得k＝﹣2，
所以正比例函数解析式为y＝﹣2x．
故选：C．
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求正比例函数解析式

2.（2021秋•浦东新区期末）若正比例函数y＝（2﹣k）x的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2

【答案】D
【分析】根据正比例函数的性质和已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（2﹣k）x的图象经过第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得：k＞2，
故选：D．
【知识点】一次函数图象与系数的关系

3.（2021秋•禅城区期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（　　）
A．y＝x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝4x﹣4

【答案】C
【分析】根据题意得出一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），进而根据待定系数法即可求得．
【解答】解；由题意可知一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3，6），
∴，
解得
∴此函数表达式是y＝3x﹣3，
故选：C．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式

4.（2021春•柳州期末）若函数y＝xk﹣2+4是一次函数，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C
【分析】根据一次函数的定义得到k﹣2＝1，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得k﹣2＝1，
解得k＝3．
故选：C．
【知识点】一次函数的定义

5.（2021春•新罗区期末）如图，一次函数l：y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D
【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中，
令x＝0得：y＝2；令y＝0，解得x＝5，
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．
若∠BAC＝90°，如图，作CE⊥x轴于点E，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAE＝90°，
又∵∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAO．
在△ABO与△CAE中
，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴OB＝AE＝2，OA＝CE＝5，
∴OE＝OA+AE＝2+5＝7．
则C的坐标是（7，5）．
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴直线BC的解析式是y＝x+2．
故选：D．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征

6.（2021春•大化县期末）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（　　）

A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1

【答案】B
【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【知识点】一次函数与一元一次不等式

7.（2021春•荔湾区期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．

【答案】D
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
【知识点】正比例函数的性质、一次函数的性质、一次函数的图象

8.（2021•阿城区模拟）小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y（米）与小亮出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．小明的速度是4米/秒
B．小亮出发100秒时到达终点
C．小明出发125秒时到达了终点
D．小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米

【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
小明的速度为8÷2＝4（米/秒），故选项A正确；
小亮出发100秒时到达终点，故选项B正确；
小明出发500÷4＝125秒时到达终点，故选项C正确；
小亮出发20秒时，小明走的路程是8+4×20＝88（米），小亮走的路程是500÷100×20＝100（米），此时小亮在小明前方100﹣88＝12米处，
故选项D错误；
故选：D．
【知识点】一次函数的应用

9.（2021秋•德城区校级月考）一天，明明和强强相约到距他们村庄560米的博物馆游玩，他们同时从村庄出发去博物馆，明明到博物馆后因家中有事立即返回．如图是他们离村庄的距离y（米）与步行时间x（分钟）之间的函数图象，若他们出发后6分钟相遇，则相遇时强强的速度是（　　）米/分钟

A．80 B．90 C．100 D．不能确定

【答案】A
【分析】根据图象找出点A、B的坐标利用待定系数法求出线段AB的函数解析式，代入x＝6求出点F的坐标，由此即可得出答案．
【解答】解：观察图象可得出：点A的坐标为（5，560），点B的坐标为（12，0），
设线段AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，解得：，
∴线段AB的解析式为y＝﹣80x+960（5≤x≤12）．
当x＝6时，y＝480，
∴点F的坐标为（6，480），
∴所以相遇时强强的速度是480÷6＝80（米/分钟）．
故选：A．

【知识点】一次函数的应用

10.（2021春•樊城区校级月考）某班同学从学校出发去秋游，大部分同学乘坐大客车先出发，余下的同学乘坐小轿车20分钟后出发，沿同一路线行驶．客车中途停车等候5分钟，小轿车赶上来之后，大客车以原速度的继续行驶，小轿车保持速度不变．两车距学校的路程S（单位：km）和大客车行驶的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．
下列说法中正确的个数是（　　）
①学校到景点的路程为40km；②小轿车的速度是1km/min；③a＝15；④当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要15分钟才能到达景点入口．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，
学校到景点的路程为40km，故①正确，
小轿车的速度是：40÷（60﹣20）＝1km/min，故②正确，
a＝1×（35﹣20）＝15，故③正确，
大客车原来的速度为：15÷30＝0.5km/min，后来的速度为：0.5×＝（km/min），
当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要：（40﹣15）÷﹣（40﹣15）÷1＝10分钟才能达到景点入口，故④错误，
故选：C．
【知识点】一次函数的应用

11.（2021•永康市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，所以①正确，符合题意；

②∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+1＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+1＜0，
∴b＞，所以②错误，不符合题意；

③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），
把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1，
∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意；

④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，
即ax2+bx＞kx，
∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意．
故选：B．
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、一次函数的性质

12.（2021•定海区模拟）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴交于点A，与二次函数交于点B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（　　）

A．a2+bc＝c2﹣ab B．＝
C．b2（c﹣a）＝c2（b﹣a） D．＝+

【答案】A
【分析】将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式，求得一次函数的表达式为y＝mx﹣am，而点B、C在该二次函数上，则，对①②两式进行处理，即可求解．
【解答】解：一次函数y＝mx+n与x轴的轴交于点A，故点（a，0），
将点A（a，0）坐标代入一次函数表达式得：0＝am+n，
解得：n＝﹣am，
故一次函数的表达式为y＝mx﹣am，
∵点B、C在一次函数上，故点B、C的坐标分别为（b，mb﹣ma）、（c，mc﹣ma），
设二次函数的表达式为y＝Ax2，
点B、C在该二次函数上，则，
（1）②﹣①得：A（b2﹣c2）＝m（c﹣b），等式两边同除以Ab2得，，即，故B正确，不符合题意；
（2）①÷②得：③，即C正确，不符合题意；
（3）化简③得：a＝，即＝，故D正确，不符合题意；
（4）化简A得：a2﹣c2＝﹣bc﹣ab，化简得：a+b＝c，而从上述各式看，该式不一定成立，故A符合题意，
故选：A．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征

13.（2021•鹿城区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边△ABC，以AO为一边向左作等边△ADO，连结DC交直线l于点E．则点E的坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）

【答案】A
【分析】求出点C、点D的坐标，得到CD的表达式为：y＝x+，将CD的表达式与直线l的表达式联立，即可求解．
【解答】解：y＝﹣x+2①，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，
故点A、B的坐标分别为：（0，2）、（2，0），
即OB＝2，AO＝2＝OD，则AB＝4＝BC，
tan∠ABO＝＝，故∠ABO＝60°，
而△ABC为等边三角形，则BC与x轴的夹角为180°﹣∠ABC﹣∠ABO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则yC＝BCsin60°＝4×＝2，
xC＝xB+BCcos60°＝2+4×＝4，
故点C（4，2），
同理可得点D的坐标为：（﹣3，），
设直线CD的表达式为y＝kx+b，则，解得：，
故直线CD的表达式为：y＝x+②，
联立①②并解得：x＝，y＝，
故点E的坐标为：（，），
故选：A．
【知识点】一次函数的性质、等边三角形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质

14.（2021春•翠屏区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．
正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

【答案】B
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，

∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，
∴DH＝＝，
∴当y＝时，＝﹣x+6，
∴x＝，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为，故④错误，
故选：B．
【知识点】一次函数综合题


二、填空题（共10小题）

15.（2021•黔东南州）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为　　．

【答案】y=2x+3
【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【知识点】一次函数图象与几何变换

16.（2021秋•肃州区期末）已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1　　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【答案】＞
【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵2＞﹣1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【知识点】一次函数的性质

17.（2021秋•九龙县期末）已知y与x﹣1成正比例，且当x＝时，y＝﹣1，则y关于x的函数解析式为　　．

【答案】y=2x-2
【分析】设y＝k（x﹣1），将x＝、y＝﹣1代入求出k即可．
【解答】解：根据题意，设y＝k（x﹣1），
将x＝、y＝﹣1代入，得：﹣1＝k（﹣1），
解得：k＝2，
∴y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，
故答案为：y＝2x﹣2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式

18.（2021秋•肃州区期末）如图，已知y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是　　．


【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答．
【解答】解：∵y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），
∴方程组的解是是．
故答案为．
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程（组）、由实际问题抽象出二元一次方程组

19.（2021秋•白银期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是　　．



【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，1），
所以关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）

20.（2021秋•南关区校级期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y＝kx﹣k+与△ABC有公共点时，k的取值范围是　　．

【分析】利用函数图象，把A点和C点坐标分别代入y＝kx﹣k+中求出对应的k的值，从而得到直线y＝kx﹣k+与△ABC有交点时，k的取值范围．
【解答】解：∵y＝kx﹣k+＝k（x﹣）+，
∴直线经过点（，），
把A（1，1）代入y＝kx﹣k+得2+b＝1，解得：k＝﹣1，
把C（2，2）代入y＝kx﹣k+得2k﹣k+＝2，解得k＝，
所以当直线y＝kx﹣k+与△ABC的边有交点时，k的取值范围是﹣1≤k≤．
故答案为﹣1≤k≤．

【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系

21.（2021•浦口区模拟）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为　　．


【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得小丽和小明的速度，然后即可得到点E的横坐标，再根据图形中的数据，可以得到点E的纵坐标，从而可以得到点E的坐标．
【解答】解：由图可得，
小丽的速度为：36÷2.25＝16（km/h），
小明的速度为：36÷1﹣16＝20（km/h），
故点E的横坐标为：36÷20＝，纵坐标是：（20+16）×（﹣1）＝，
故答案为：（，）．
【知识点】一次函数的应用

22.（2021•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为　　．


【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝＝，
∴点C的坐标为（﹣，2）．
故答案为：（﹣，2）．

【知识点】一次函数图象上点的坐标特征

23.（2021秋•文山市期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为　　．



【分析】作A点关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，交直线y＝x于点P，此时PA+PB最小，利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA′＝1，进而利用勾股定理得出即可．
【解答】解：如图所示：作A点关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，交直线y＝x于点P，
此时PA+PB最小，
由题意可得出：OA′＝1，BO＝2，PA′＝PA，
∴PA+PB＝A′B＝＝．
故答案为：．

【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路线问题

24.（2021•金华模拟）如图，点A（﹣1，0），点P是射线AO上一动点（不与O点重合），过点P作直线y＝x的平行线交y轴于C，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于B，连结AB，AC，BC．
（1）当点P在线段OA上且AP＝PC时，AB：BC＝　　．
（2）当△ABC与△OPC相似时，P点的横坐标为　　．


【分析】（1）AP2＝（m+1）2，PC2＝m2+m2＝2m2，当AP＝PC时，即（m+1）2＝2m2，求出m值，即可求解；
（2）当△ABC与△OPC相似时，则△ABC为等腰直角三角形，再分AC是斜边、AB是斜边、BC是斜边三种情况，讨论求解即可．
【解答】解：设点P（m，0），则点B（m，m），
直线PC∥OB，则直线PC的倾斜角45°，故OP＝CO，故点C（0，﹣m），而点A（﹣1，0），
则AB2＝（m+1）2+m2＝2m2+2m+1，BC2＝m2+（m+m）2＝5m2，同理AC2＝m2+1，
（1）AP2＝（m+1）2，PC2＝m2+m2＝2m2，
当AP＝PC时，即（m+1）2＝2m2，解得：m＝1﹣（不合题意的值已舍去），
AB2＝2m2+2m+1＝（2﹣）2+（1﹣）2＝9﹣6，
同理BC2＝15﹣10，
则＝＝，
故AB：BC＝，
故答案为：；

（2）∵△OPC为等腰直角三角形，
∴当△ABC与△OPC相似时，则△ABC也为等腰直角三角形．
①当AC是斜边时，
则AC2＝AB2+BC2，即m2+1＝2m2+2m+1+5m2，
解得：m＝﹣或0（舍去0），
当m＝﹣时，
AB2＝2m2+2m+1＝，同理BC2＝，即AB＝BC，
即△ABC为等腰直角三角形，符合题意；
②当AB是斜边时，
同理可得：m＝或0（舍去0），
此时，BC2＝，AC2＝，即BC＝AC，
即△ABC为等腰直角三角形，符合题意；
③当BC是斜边时，
同理：5m2＝2m2+2m+1+m2+1，
解得：m＝，
此时，AB≠AC，故m舍去；
综上，m＝﹣或，
故答案为：﹣或．
【知识点】一次函数综合题


三、解答题（共10小题）

25.（2021秋•安庆期中）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？

【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；
（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．
【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，
解得：m≠2；

（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
【知识点】一次函数的定义、正比例函数的定义

26.（2021春•回民区期末）已知：函数y＝（m+1）x+2m﹣6，
（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式；
（2）若函数图象与直线y＝2x+5平行，求其函数的解析式．

【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y＝（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；
（2）根据两直线平行的问题得到m+1＝2，解出m＝1，从而可确定一次函数解析式．
【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y＝（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6＝2，
解得m＝9，
所以一次函数解析式为y＝10x+12；
（2）因为函数y＝（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y＝2x+5平行，
所以m+1＝2，解得m＝1，
所以一次函数解析式为y＝2x﹣4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题

27.（2021春•叙州区期末）如图，矩形ABCO中，点C在y轴上，点A在x轴上，点B的坐标是（﹣8，﹣6），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、y轴分别交于点D、F．
（1）求线段BO的长；
（2）求直线BF的解析式；
（3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）由勾股定理求出BO即可；
（2）由待定系数法求出直线BF的解析式即可；
（3）分情况讨论：①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，得出M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②当OM为菱形的对角线，OE为边时，同②得（﹣，0）；
③当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，由勾股定理求出OM即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣8，﹣6），
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，OA＝BC＝8，AB＝CO＝6，
∴BO＝＝＝10；
（2）由折叠的性质得：BE＝AB＝6，DE＝DA，∠DEB＝∠DAB＝90°，
∴∠DEO＝90°，OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4．
设OD＝a，则DA＝DE＝8﹣a，
在Rt△EOD中，DE2+OE2＝OD2，
即（8﹣a）2+42＝a2，
解得：a＝5，
∴D（﹣5，0），
设直线BF的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣8，﹣6），D（﹣5，0）代入得：，
解得：，
∴直线BF的解析式为y＝2x+10；
（3）存在，理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，
∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②当OE为菱形的边，OM为菱形的对角线时，
如图1所示：

设直线OB解析式为：y＝kx，
由点B（﹣8，﹣6）在图象上可知：﹣6＝﹣8k，
∴k＝，
则直线OB解析式为y＝x，
设点E（x，x），
在Rt△EOG中，OG2+GE2＝OE2，
即：x2+（x）2＝16，
解得：x＝±，
∵点E在第三象限，
∴x＝﹣，
∴点M（﹣，0）；
③当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，作EP⊥OA于P，如图2所示：

由②得：E（﹣，﹣），则OP＝，EP＝，
在Rt△PEM中，由勾股定理得：（﹣OM）2+（）2＝EM2，
∵OM＝EM，
∴（﹣OM）2+（）2＝OM2，
解得：OM＝，
∴点M的坐标为（﹣，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使得M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
【知识点】一次函数综合题

28.（2021秋•江岸区校级月考）如图，已知点A（3，0），C（﹣1，0），点B为y轴正半轴上的一点，且S△ABC＝6．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在y轴上是否存在点T，将直线CB沿直线CT翻折后，点B的对称点H恰好落在x轴上．若存在，求出T点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若P、Q两点在直线AB上，且xP、xQ是方程x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0的两个根，当∠POQ＝90°时，求m的值．


【分析】（1）利用S△ABC＝×AC×yB＝×4×yB＝6，求出点B的坐标，进而求解；
（2）由对称的性质知，求出点H（﹣1，0），利用中点公式求出点N（，），进而求解；
（3）求出点Q（m﹣1，4﹣m）、（m+2，﹣m+1），证明tan∠OPM＝tan∠QON，则，即，即可求解．
【解答】解：（1）S△ABC＝×AC×yB＝×4×yB＝6，解得yB＝3，
故点B（0，3），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+3；

（2）存在，理由：
设直线CT交BH于点N，如图1，

由对称的性质知，CH＝CB＝＝，
则点H（﹣1，0），
由对称的性质知，点N是BH的中点，则点N（，），
由点C、N的坐标得，直线CN的表达式为y＝x+，
令x＝0，则y＝，
故点T（0，）；

（3）x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0，解得x＝m+2或m﹣1，
设点P在点Q的下方，而点P、Q在直线AB上，
则点Q（m﹣1，4﹣m）、（m+2，﹣m+1），如图2，

过点P、Q分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠POQ＝90°，
∴∠QON+∠POM＝90°，
∵∠POM+∠OPM＝90°，
∴∠OPM＝∠QON，
∴tan∠OPM＝tan∠QON，
即，即，
解得m＝1．
【知识点】一次函数综合题

29.（2021秋•南海区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y＝kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．
（1）证明：直线y＝kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；
（2）当直线y＝kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；
（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．


【分析】（1）根据一次函数的图象，不论k取何值，当x＝0时，y＝2一定成立，据此即可判断；
（2）求得直线经过点A和点C时对应的k的值，即可判断；
（3）分成点E在AB上和BC上两种情况进行讨论，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）不论k取何值，当x＝0时，y＝2，则函数一定经过顶点（0，2）；
（2）当直线经过点A时，把点（1，0）代入y＝kx+2得：k+2＝0，解得：k＝﹣2；
当直线经过点C（3，1）时，代入y＝kx+2得：3k+2＝1，解得：k＝﹣，
则k的取值范围是：﹣2≤k≤﹣；
（3）CD＝3﹣1＝2，
当直线经过点B时，把B的坐标（3，0），代入y＝kx+2得：3k+2＝0，解得：k＝﹣，
当﹣2≤k≤﹣时，E在AB上，则S△CDE＝×2×1＝1；
当﹣＜k≤﹣时，E在BC上，在y＝kx+2中，令x＝3，则y＝3k+2，则CE＝1﹣（3k+2）＝﹣3k﹣1
则S△CDE＝×2×（﹣3k﹣1）＝﹣3k﹣1．
即S＝﹣3k﹣1．
【知识点】一次函数综合题

30.（2021春•渝中区校级期中）如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一公路上同时出发，距甲地的路程S（千米）与B出发的时间t（小时）的关系．已知B骑车一段路后，自行车发生故障，进行修理．
（1）B出发时与A相距　　千米，B出发后　　小时与A相遇；
（2）求出A距甲地的路程SA（千米）与时间t（小时）的关系式，并求出B修好车后距甲地的路程SB（千米）与时间t（小时）的关系式．（写出计算过程）
（3）请通过计算说明：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，在途中何时与A相遇？


【答案】【第1空】10
【第2空】3
【分析】（1）从图上可看出B出发时与A相距10千米，B出发后3小时与A相遇；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）求出B不发生故障时的解析式和SA的解析式，再求出两直线的交点坐标，即可得出答案．
【解答】解：（1）由图形可得B出发时与A相距10千米B出发后3小时与A相遇；
故答案为：10，3；
（2）设SA的解析式为；SA＝k2t+b，
由题意得：，
解得：，
则SA的解析式为；SA＝t+10，
设SB的解析式为SB＝mt+n，
由题意得：
解得：，
∴SB的解析式为SB＝10t﹣7.5；
（3）如图，

设B不发生故障时的解析式为：y＝k2t，根据题意得：
7.5＝0.5k2，
解得：k2＝15，
则解析式为y＝15t，
由，
解得：，
∴当t＝时，与A相遇
【知识点】一次函数的应用

31.（2021秋•昌图县期末）如图，一次函数y1＝﹣x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y2＝﹣x图象交于点C（﹣2，n）．
（1）求m和n的值；
（2）求△OAC的面积；
（3）问：在y轴上，是否存在一点P，使得S△BCP＝S△OAC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）直接利用待定系数法可先确定n的值，然后再把C的坐标代入一次函数y＝﹣x+m可得m的值；
（2）首先确定A点坐标，进而可得AO的长，再集合C点坐标可得△OAC的面积；
（3）根据题意可得S△BCP＝PB•|xC|＝S△OAC＝6，解出PB的值，进而可得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵点C（﹣2，n）在正比例函数y2＝﹣x图象上，
∴n＝﹣×（﹣2）＝3，
∴点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C（﹣2，3）在一次函数y＝﹣x+m的图象上，
∴3＝﹣（﹣2）+m，解得：m＝2，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2．
∴m的值为2，n的值为3．

（2）当y＝0时，0＝﹣x+2，解得x＝4，
∴点a的坐标为（4，0），
∴S△OAC＝OA•yC＝×4×3＝6．

（3）存在．
当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴B（0，2），
∵S△BCP＝PB•|xC|＝S△OAC＝6，
∴PB•2＝6，
∴PB＝6，
∴点P的坐标为（0，8）或（0，﹣4）．
【知识点】两条直线相交或平行问题

32.（2021秋•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x﹣1交于点A（3，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣1交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．


【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y＝kx+7中，求得k的值；
（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．
【解答】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣1中，得m＝3﹣1＝2，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，
解得，k＝﹣2；
答：k，m的值为﹣2、2；
（2）由（1）知，直线y＝kx+8为y＝﹣2x+8，
根据题意，如图：

∵点P（n，n），
∴M（n﹣1，n），N（n，﹣2n+8），
∴PM＝1，PN＝|3n﹣8|，
∵PN≤2PM，
∴|3n﹣8|≤2×1，
∴2≤n≤
∵P与N不重合，
∴n≠﹣2n+8，
∴n≠，
综上，2≤n≤，且n≠．
【知识点】两条直线相交或平行问题

33.（2021秋•乐亭县期中）如图，已知直线l的函数表达式为y＝﹣x+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）A点坐标为　　，B点坐标为　　．
（2）当t为　　时，△APQ是直角三角形．当t为　　时，△APQ是以AP为底的等腰三角形．
（3）当t为何值时，△APQ的面积是△ABO面积的？


【分析】（1）对于y＝﹣x+8，令y＝﹣x+8＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝8，即可求解；
（2）利用△BQN∽△QMA∽△BOA，求出Q，P的坐标分别是（t，），（6﹣t，0）；①当PAQ为直角三角形时，分∠QPA为直角、∠PQA为直角了两种情况分别求解即可；②当△APQ是以AP为底的等腰三角形，则点Q在AP的中垂线上，进而求解；
（3）△APQ的面积＝，△AOB的面积＝，则，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+8，令y＝﹣x+8＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝8，
故点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，8），
故答案为：（6，0）、（0，8）；

（2）过Q点分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别是M，N，

∴NQ∥OA，QM∥OB，
∴△BNQ∽△QMA∽△BOA，
设Q（x，y）
∴BQ＝2t，AP＝t
而△BQN∽△QMA∽△BOA，
∴，，
∴，，
即x＝，y＝（10﹣2t），
Q，P的坐标分别是（t，），（6﹣t，0）；
①当PAQ为直角三角形时，
当∠QPA为直角时，则xP＝xQ，即t＝6﹣t，解得t＝；
当∠PQA为直角时，在Rt△APQ中，cos∠QAP＝＝＝，解得t＝，
故答案为或；
②当△APQ是以AP为底的等腰三角形，则点Q在AP的中垂线上，
即xQ＝（xP+xA），则＝（6﹣t+6），解得t＝，
故答案为；

（3）∵△APQ的面积＝，△AOB的面积＝，
∴，解得t1＝2，t2＝3，
当t1＝2秒或t2＝3秒时，△APQ的面积是△ABO面积的．
【知识点】一次函数综合题

34.（2021秋•锦州期末）已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．
（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．
①求点E的坐标；
②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．


【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质和中点坐标公式可求点E坐标；
②先求点F坐标，由“SAS”可证△AOB≌△FOD；
（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）①如图1，连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，

∵一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴点A（1，0），点B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，点C（3，0），
∴点D（﹣3，0），
∵EG⊥OC，EH⊥OB，
∴OE平分∠BOC，
又∵OB＝OC＝3，
∴OE＝BE＝EC，
∴点E（，）；
②△AOB≌△FOD，
理由如下：设直线DE解析式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线DE解析式为y＝x+1，
∵点F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），
∴OF＝OA＝1，
又∵OB＝OD＝3，∠AOB＝∠FOD＝90°，
∴△AOB≌△FOD（SAS）；
（3）∵点G与点B关于x轴对称，点B（0，3），
∴点G（0，﹣3），
∵点G（0，﹣3），点C（3，0），
∴直线GC的解析式为y＝x﹣3，
∵点B（0，3），点A（1，0），
∴AB2＝1+9＝10，
设点P（a，a﹣3），
若AB＝AP时，则10＝（a﹣1）2+（a﹣3﹣0）2，
∴a＝0或4，
∴点P（0，﹣3）或（4，1）；
若AB＝PB时，则10＝（a﹣0）2+（a﹣3﹣3）2，
∴a2﹣6a+18＝0，
∵△＜0，
∴方程无解，
若AP＝BP时，则（a﹣1）2+（a﹣3﹣0）2＝（a﹣0）2+（a﹣3﹣3）2，
∴a＝，
∴点P（，），
综上所述：点P（0，﹣3）或（4，1）或（，）．
【知识点】一次函数综合题