考点05 二次函数基础题-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版）

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考点05 二次函数基础题

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题（共12小题）
1.（2021秋•西城区校级期中）下列图形一定不是中心对称图形的是（　　）
A．正六边形 B．线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）
C．圆 D．抛物线y＝x2+x
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、正六边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、圆是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、抛物线y＝x2+x不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【知识点】一次函数的性质、中心对称图形、二次函数的性质
2.（2021春•北碚区校级期末）关于x的函数y＝（m+2）x是二次函数，则m的值是（　　）
A．2 B．4 C．﹣2或2 D．﹣4或4
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2﹣2＝2，求出即可，
【解答】解：∵关于x的函数y＝（m+2）x是二次函数，
∴m+2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故选：A．
【知识点】二次函数的定义
3.（2021秋•江州区期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【答案】D
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，
∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点
4.（2021秋•安徽月考）把二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1配方成顶点形式y＝﹣2（x+h）2+k，则h，k的值分别为（　　）
A．h＝﹣1，k＝1 B．h＝﹣1，k＝﹣2 C．h＝1，k＝1 D．h＝1，k＝﹣3
【答案】A
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到h、k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴h＝﹣1，k＝1，
故选：A．
【知识点】二次函数的三种形式、二次函数的性质
5.（2021•自贡）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
【知识点】二次函数的图象、反比例函数的图象、一次函数的图象
6.（2021秋•喀什地区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确结论的有（　　）

A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据图象和x＝2的函数值即可确定4a+2b+c的取值范围，根据对称轴为直线x＝1可以确定2a+b＝0是否成立．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，即﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②正确；
根据图象知道当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确；
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，故④正确．
故选：C．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
7.（2021秋•和平区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：
①4a﹣2b+c＞0；
②抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④若0≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a＝a+b+c，b＝﹣2a，c＝﹣3a，则可对①进行判断；抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，配成交点式得y＝a（x﹣3）（x+1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x＝4时，y＝a•5•1＝5a，则根据二次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），
∴x＝﹣＝1，且﹣4a＝a+b+c，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），
结论①正确；
②∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）
结论②正确；
③∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，
结论③错误；
④当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，
∴当0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，
结论④错误．
故选：C．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征
8.（2021•岱岳区二模）关于x的分式方程+＝1的解为非负数，则二次函数y＝a2﹣12a+39的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
【答案】A
【分析】据题意确定a的取值范围，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：解关于x的分式方程+＝1，得，x＝5﹣a，
∵解为非负数，
∴x＝5﹣a≥0，且5﹣a≠2，
解得：a≤5且a≠3，
∵二次函数y＝a2﹣12a+39＝（a﹣6）2+3，
∴当a＜6时，y随a的增大而减小，
∵a≤5且a≠3，
∴a＝5时，二次函数y＝a2﹣12a+39＝4最小，
故选：A．
【知识点】分式方程的解、二次函数的最值
9.（2021•江西）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+ D．y＝x+2
【答案】B
【分析】求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′（1，n），则B′（4，n+3），把B′（4，n+3）代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A'B'的表达式．
【解答】解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，求得y＝﹣3，
∴B（3，0），A（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴A′的横坐标为1，
设A′（1，n），则B′（4，n+3），
∵点B'落在抛物线上，
∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，
∴A′（1，2），B′（4，5），
设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，
故选：B．

【知识点】抛物线与x轴的交点、坐标与图形变化-平移、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式
10.（2021秋•依兰县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④2a+b＝0，其中正确的结论有（　　）

A．②③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0可对②进行判断；根据x＜0时二次函数图象的位置可对③进行判断；利用抛物线的对称轴可对④进行判断．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故②正确；
由图象可知，图象与y轴的交点在x轴的上方，即当x＜0时，y有大于零的部分，故③错误；
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故④正确；
故选：D．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系
11.（2021秋•南关区校级期末）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣5）2﹣1 C．y＝（x﹣5）2+5 D．y＝（x+5）2﹣5
【答案】C
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x﹣1﹣4）2+2+3，即y＝（x﹣5）2+5，
故选：C．
【知识点】二次函数图象与几何变换
12.（2021秋•朝阳区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③b2﹣4ac＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小．（　　）

A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，
∴a＞0；
又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，
∴c＜0；
∴ac＜0，即①正确；
②由图象知，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＜0．故②正确；
③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大；故④错误．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选：C．

【知识点】二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点

二、填空题（共8小题）
13.（2021•普陀区一模）抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是　　　．
【答案】a＜2
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a﹣2＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a﹣2＜0，解得a＜2．
故答案为a＜2．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征
14.（2021•浦东新区一模）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为　　﹣　．
【答案】y=3x2-4
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，
∴抛物线的解析式为y＝﹣3x2﹣4，
故答案为：y＝﹣3x2﹣4．
【知识点】二次函数图象与几何变换
15.（2021•武汉模拟）航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为h＝﹣10t2+700t+21000（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为　　　秒．
【答案】30
【分析】代入h＝31000可求出t值，两个t值做差后即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：﹣10t2+700t+21000＝31000，
解得：t1＝20，t2＝50，
∴整个过程中能体会到失重感觉的时间为50﹣20＝30（秒）．
故答案为：30．
【知识点】二次函数的应用
16.（2021秋•涿鹿县期中）已知二次函数y＝2x2﹣2（a+b）x+a2+b2，a，b为常数，当y达到最小值时，x的值为　　
【答案】a+b
2

【分析】把解析式化成顶点式即可求得．
【解答】解：根据二次函数y＝2x2﹣2（a+b）x+a2+b2＝2（x﹣）2+，
因此当x＝时，y达到最小值．
故答案为．
【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值
17.（2021秋•丰南区期中）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则当y＞3时，x的取值范围是　　．

【答案】0＜x＜2
【分析】根据抛物线与y轴的交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点坐标为（0，3），对称轴为x＝﹣1，
∴点（0，3）关于对称轴的对称点为（2，3），
由图象可知，当y＞3时，x的取值范围是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．
【知识点】二次函数的性质、二次函数的图象
18.（2021秋•番禺区校级期中）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列四个结论：①a＞0；②c＞0；③4a﹣b+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的结论是　　（填写序号）．

【答案】②③④
【分析】根据函数的开口方向，对称轴以及与y轴的交点确定a，c的符号，从而判断①②；根据对称轴的位置判断②；由由题意解得，所以4a﹣b+c＝4a+2a﹣3a＝3a＜0，由此即可判断③；根据二次函数图象落在x轴上方的部分对应的自变量x的取值，判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，故①错误．
②∵抛物线与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，故②正确．
③由题意解得，
∴4a﹣b+c＝4a+2a﹣3a＝3a＜0，
故③正确．
④由图象可知当﹣1＜x＜3时，图象在x轴上方，
∴y＞0，故④正确．
∴②③④正确，
故答案为②③④．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系
19.（2021秋•天河区期末）如图，以扇形AOB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），∠AOB＝45°．现从中随机选取一个数记为a，则a的值既使得抛物线与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数的概率是　　．

【答案】1
3

【分析】根据题意可以求得点A的坐标，由关于x的方程的解是正数可以求得a的取值范围，抛物线与扇形AOB的边界有公共点，可以求得相应的a的取值范围，从而可以得到满足a的值既使得抛物线与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数的a的取值范围，从而可以得到符合要求的a的值，进而求得概率是多少．
【解答】解：由已知可得，OB＝2，OA＝2，∠AOB＝45°，
则点A的横坐标为：OA•cos45°＝2×，纵坐标为：OA•sin45°＝2×，
即点A的坐标为：（），
∵，
解得x＝，
∴方程的解是正数时，且，得a＞﹣1且a，
又∵抛物线与扇形AOB的边界有公共点，
∴
解得a≥﹣2，
∴a的值既使得抛物线与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数时满足的条件是：a＞﹣1且a，
∴从中随机选取一个数记为a，符合要求的有0和，
∴从中随机选取一个数记为a，则a的值既使得抛物线与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数的概率是：．
故答案为：．
【知识点】二次函数综合题
20.（2021秋•江岸区校级月考）如图，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx+c的两个交点A、B的横坐标分别为﹣1，4，则关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为　　．

【答案】x＜-1或x＞4
【分析】观察函数图象即可求解．
【解答】解：ax2+bx+c＞mx+n，即抛物线在直线的上方，
从图象看，此时，x＜﹣1或x＞4，
故答案为x＜﹣1或x＞4．
【知识点】二次函数与不等式（组）

三、解答题（共10小题）
21.（2021秋•温岭市期中）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的解析式．
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x取值范围．

【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，即可求得二次函数的解析式；
（2）求出点B坐标，根据图象即可写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+m，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1；
（2）把x＝0代入y＝（x+2）2﹣1得y＝3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式（组）
22.（2021秋•西城区校级期中）二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的图象与y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在图中画出二次函数的图象；
（3）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．

【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式求出m即可；
（2）先解方程﹣x2+2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），再配方得到抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）把（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得m＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
如图，

（3）当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4．
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象、待定系数法求二次函数解析式
23.（2021秋•游仙区月考）如图，游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD，AD＝32米，AB＝20米．为了便于养护与运输，养植园内留有四横四纵等宽道路，养植面积与道路面积比为7：3．
（1）求道路的宽度．
（2）养植区域内月季盆裁要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样．每平方米最多能摆放36盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低．大棚内现在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售价为5元．分析发现：每平方米每增加5盆，每盆的出售价会下降0.5元．老板准备增加养植数量，以获得最多的出售总额，那么每平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？

【分析】（1）直接利用养植面积与道路面积比为7：3，结合道路平移得出等量关系；
（2）表示出每平米栽的月季盆数以及每盆的利润，进而得出总利润．
【解答】解：（1）设道路宽x米，则
（32﹣4x）（20﹣4x）＝32×，
解得：x1＝1，x2＝12（不合题意舍去），
故x＝1，
答：道路宽为1米；

（2）∵5：0.5＝10：1，
故设每平方米增加10z盆，则每盆售价降低z元，出售总额为w元/m2，则：
w＝（10+10z）（5﹣z）
＝﹣10（z﹣2）2+90，
∵10z≤36﹣10，
∴z≤2.6，
∴0≤z≤2.6，
又∵a＝﹣10＜0，且z＝2在0≤z≤2.6内，
∴每平米应该养植30盆月季小盆栽才能使出售总额最多．
【知识点】二次函数的应用
24.（2021秋•云县期中）随着双节小长假的到来，旅游成为了国国庆的主旋律．其旅游宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天160元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用，设每个房间的定价为x元，相应的住房数为y间．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）定价为多少元时宾馆当天利润W最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，表示出上涨价格，进而得出减少的房间数；
（2）利用房间数×每间利润＝总利润，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝50﹣＝﹣0.1x+66；

（2）由题意知：W＝（x﹣20）（﹣0.1x+66）＝﹣0.1（x﹣660）（x﹣20），
函数的对称轴为x＝（660+20）＝340，
∵﹣0.1＜0，故W有最大值，此时W为10240，
∴当定价为340元时，宾馆当天利润W最大值为10240元．
【知识点】二次函数的应用
25.（2021•温江区校级自主招生）随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万元/台）与签约后的月份数x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y＝．
估计这一年实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势．
（1）求实际每月的销售量p（台）与签约后的月份数x之间的函数表达式；
（2）请估计这一年中签约后的第几月实际销售利润W最高，最高为多少万元？

【分析】（1）要根据自变量的不同取值范围，运用待定系数法分段计算出p与x的函数关系式；
（2）可根据实际销售利润＝单件的利润×销售的数量，然后根据题目中给出的售价与月次的函数式以及（1）中销售量与月次的关系式，得出实际销售利润与月次的函数关系式，根据自变量的不同的取值范围分别进行讨论，然后找出最高售价．
【解答】解：（1）由题意得p＝，
（2）①当1≤x＜4时，
W＝（﹣0.05x+0.4﹣0.1）×（﹣5x+40）
＝（x﹣6）（x﹣8）＝x2﹣x+12
∵a＝＞0，﹣＝7＞4，
∴当1≤x＜4时，W随x的增大而减小，
∴当x＝1时取得W的最大值为：
×12﹣×1+12＝8.75 （万元）．
②当4≤x≤12时，
W＝（0.2﹣0.1）×（2x+12）＝x+，
∵k＝＞0，
∴当4≤x≤12时，W随x的增大而增大，
∴当x＝12时取得W的最大值为3.6：
×12+＝3.6 （万元）．
综上得：全年中1月份的实际销售利润W最高为8.75万元．
【知识点】二次函数的应用
26.（2021秋•陕西期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，可列出方程，求解即可；
（2）根据总盈利＝每千克盈余×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果；
（3）根据题意列出二次函数解析式，然后求出二次函数的最大值即可得到结果．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；

（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元；

（3）设商场每天的盈利为y元，由（2）可知：
y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000，
∵20＜0，
∴当x＝﹣＝7.5时，y取最大值，
∴当x＝7.5时，y最大值＝（10+7×（500﹣20×7）＝6125（元），
答：应涨价7.5元，每天的盈利达到最大值，为6125元．
【知识点】一元二次方程的应用、二次函数的应用
27.（2021秋•梁子湖区期中）如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．
（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；
（2）求点D的坐标；
（3）结合图象，请直接写出y1≤y2时，x的取值范围：　　．

【答案】x≤0或x≥
13
2

【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）解析式联立，解方程组即可求得交点D的坐标，
（3）根据交点坐标，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（0，2）代入，得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y1＝﹣x2+x+2．
∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴C（2，0），
∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y2＝﹣x+2；
（2）解得或，
∴点D为（，﹣）；
（3）由图象可知，当x≤0或x≥时，有y1≤y2．
故答案为x≤0或x≥．
【知识点】二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式
28.（2021•葫芦岛）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
，得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
【知识点】二次函数的应用
29.（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（3）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．

（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．

（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），
∴m＝1﹣．

（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
则有﹣m+＜﹣m2+m+，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，

当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，
当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，

综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．
【知识点】二次函数综合题
30.（2021秋•射洪市期中）如图所示，已知△ABC中，BC＝30cm，AD＝10cm．AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC边上．设EF＝x，FG＝y．
（1）求y与x的函数关系式．并求自变量x的取值范围．
（2）若x：y＝1：2，求矩形EFGH的面积．
（3）当EF为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）由矩形的对边平行，得到三角形AEH与三角形ABC相似，由相似三角形对应高之比等于相似比求出所求即可；
（2）由x：y＝1：2，可求x，y的值，由矩形的面积公式即可求解；
（3）由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意得：EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴y＝30﹣3x（0＜x＜10）；
（2）∵x：y＝1：2，
∴y＝2x，
∴30﹣3x＝2x，
∴x＝6，
∴y＝12，
∴矩形EFGH的面积＝EF×FG＝6×12＝72；
（3）∵矩形EFGH的面积＝EF×FG＝30x﹣3x2＝﹣3（x﹣5）2+75，
∴当x＝5时，矩形EFGH的面积的最大值为75cm2．
∴当EF为5cm时，矩形EFGH的面积最大为75cm2．
【知识点】二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、矩形的性质