考点15 中考一轮复习之二次函数-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版）

这是一份考点15 中考一轮复习之二次函数-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版），文件包含考点15中考一轮复习之二次函数解析版docx、考点15中考一轮复习之二次函数原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
考点15 中考一轮复习之二次函数

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共14小题）

1.（2021秋•龙岗区期末）将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（　　）
A．y＝2（x+3）2+2 B．y＝2（x﹣3）2+2
C．y＝2（x+3）2﹣2 D．y＝2（x﹣3）2﹣2

【答案】A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x+3）2，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2+2．
故选：A．
【知识点】二次函数图象与几何变换

2.（2021•淮北一模）据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝7.9（1+2x）
B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2
D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2

【答案】C
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第三季度季度GDP总值约为7.9（1+x）元，第四季度GDP总值为7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【解答】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．
故选：C．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式

3.（2021•奉贤区一模）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝2x2﹣1 B．y＝2x2+1 C．y＝2（x+1）2 D．y＝2（x﹣1）2

【答案】C
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝2x2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2，
故选：C．
【知识点】二次函数图象与几何变换

4.（2021•宝山区一模）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（　　）

A．ac＜0
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．a﹣b+c＝0
D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2

【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线上的特殊点利用图象即可判断正误．
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故A正确；
B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；
C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；
D、点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，
∵y1＞0，y2＝0，
∴y1＞y2，故D正确；
故选：B．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系

5.（2021•呼和浩特）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（　　）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点

【答案】C
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x＝2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D．
【解答】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征

6.（2021•德州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（　　）

A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2
B．3a+c＝0
C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根
D．当x≥0时，y随x的增大而减小

【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，
∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，
故A选项不符合题意；
把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，
①×3+②得：12a+4c＝0，
∴3a+c＝0，
故B选项不符合题意；
当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，
由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，
故C选项不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小；
故D选项符合题意；
故选：D．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式、抛物线与x轴的交点

7.（2021•南充）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）

A．≤a≤3 B．≤a≤1 C．≤a≤3 D．≤a≤1

【答案】A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征

8.（2021秋•呼和浩特期末）已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0

【答案】B
【分析】根据二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可以得到该函数的对称轴为y轴，从而可以得到a的值，然后即可求得该函数与x轴的交点，即可得到一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根，再将这两个根相乘，即可解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，
解得a＝﹣2，
∴二次函数y＝4x2﹣1，
∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（﹣）×＝﹣，
故选：B．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、根与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征

9.（2021•巴南区自主招生）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（　　）

A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣ D．4a+2b+c＞0

【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，正确，不符合题意；

B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；

C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；

D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点

10.（2021•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+．
其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

【答案】D
【分析】①利用图象法判断或求出DQ的最大值，PC的最小值判定即可．
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，因为∠A＝∠B＝60°，当＝时，△ADQ与△BPC相似，
即，解得x＝1或，推出当AQ＝1或时，两三角形相似．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，当x取最大值时，可得结论．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．求出CF的长即可判断．
【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，或通过计算可知DQ的最大值为，PC的最小值为，所以PC＞DQ，故①错误．
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴当＝或＝时，△ADQ与△BPC相似，
即或＝，解得x＝1或或，
∴当AQ＝1或或时，两三角形相似，故②正确
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，FH＝﹣﹣＝，
∴CH＝CJ+HJ＝，
∴CF＝＝＝，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+，故④错误，
故选：D．
【知识点】相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题、二次函数的最值

11.（2021•浙江自主招生）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤3 B．﹣1≤a≤2 C．2≤a≤3 D．2≤a≤4

【答案】C
【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，只需最大值与最小值的差小于等于4即可，进而求解．
【解答】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x＝a时，函数的最小值＝5﹣a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，
则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥2，
∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最大值为：6﹣2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，
只需最大值与最小值的差小于等于4即可，
∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，
a2﹣2a﹣3≤0，
解得﹣1≤a≤3，而a≥2，
故选：C．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系

12.（2021春•越城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（　　）
A．＜m≤ B．≤m＜ C．0＜m＜ D．0＜m≤

【答案】A
【分析】根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．
【解答】解：如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，对称轴x＝1，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝，
当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝，
∴m的取值范围为＜m≤．
故选：A．

【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征

13.（2021•徐州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；④当n＝﹣时，△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】D
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：①∵﹣＜，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误；

②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；

③∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故③错误；

④设抛物线的对称轴交x轴于H．连接PA，PB

∵＝﹣，
∴b2﹣4ac＝4，
∴x＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴AB＝2PH，
∵BH＝AH，
∴PH＝BH＝AH，
∴△PAB是直角三角形，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．
故选：D．
【知识点】等腰直角三角形、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式、抛物线与x轴的交点

14.已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．给出下列4个结论：①不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；②不论m为何值，该抛物线与y轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点P，满足S△PAB＝n的点有3个时，则n＝；④若0＜x＜时y＜0，则﹣＜m＜0；其中，正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B
【分析】①利用判别式的值即可判断；②求出抛物线与x轴的交点即可判断；③求出抛物线的顶点坐标，点P是抛物线顶点满足条件，由此即可求出n的值；④构建不等式即可解决问题；
【解答】解：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，故①正确，
令y＝0，解得x＝m或m+1，
∴A（m，0），B（m+1，0），
∵m＜0时，点A在x轴的负半轴上，故②错误，
∵y＝（x﹣m﹣）2﹣，
∴顶点的纵坐标为﹣，
∵抛物线上有一个动点P，满足S△PAB＝n的点有3个时，
∴点P是抛物线的顶点时满足条件，此时n＝×1×＝，故③正确，
∵0＜x＜时y＜0，A（m，0），B（m+1，0），
∴﹣≤m≤0，故④错误，
故选：B．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征


二、填空题（共10小题）

15.（2021秋•虎林市期末）若是二次函数，则k＝　　．

【答案】-1
【分析】直接利用二次根式的定义得出k的值．
【解答】解：∵是二次函数，
∴k2+1＝2且k﹣1≠0，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【知识点】二次函数的定义

16.（2021秋•齐齐哈尔期末）已知抛物线y＝2（x﹣1）2上有两点（x1，y1）、（x2，y2），且1＜x1＜x2，则y1与y2的关系是　　．

【答案】y2＞y1
【分析】根据抛物线的解析式得到该抛物线的对称轴是x＝1，二次函数图象的性质a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，且1＜x1＜x2，故y2＞y1．
【解答】解：∵抛物线的解析式是y＝2（x﹣1）2，
∴对称轴是x＝1，抛物线开口方向向上，
又∵抛物线y＝2（x﹣1）2上有两点（x1，y1）、（x2，y2），且1＜x1＜x2，
∴y随x的增大而增大，
∴y2＞y1．
故答案是：y2＞y1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征

17.（2021•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　　．

【答案】①②④
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换

18.（2021秋•松北区期末）抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为　　．

【答案】2
【分析】由y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，即y＝0，求出x，即得到图象与x轴的交点坐标，与y轴交于点C，即x＝0，求出y，得出与y轴的交点坐标，得出AB，OC的长度，从而得出△ABC的面积．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，
则﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
交点坐标分别为：（﹣1，0），（3，0）；
∵y＝﹣x2+x+1与y轴交于点C，
∴C点的坐标为y＝1，即（0，1）．
∴△ABC的面积为：×AB×OC＝×4×1＝2．
故答案为：2．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点

19.（2021秋•浦东新区期末）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为　　．

【答案】y=（x-3）2-1或y=（x-7）2-1
【分析】设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，然后将（3，3）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【解答】解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，
将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．
整理，得4﹣m＝±2
解得m1＝2，m2＝6．
故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式

20.（2021•武汉模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
3
y
n
﹣3
﹣3
当n＞0时，下列结论中一定正确的是　　．（填序号即可）
①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．

【答案】①②④
【分析】①确定对称轴的位置和对称轴左侧函数y随x的变化情况，即可求解；
②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，即可求解；
③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，即可求解；
④ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即＝﹣，则b＝﹣3a，
∵n＞0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则a＞0，
对称轴在y轴的右侧，故b＜0，而c＝﹣3，故bc＞0正确，符合题意；
②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，故②正确，符合题意；
③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，故③错误，不符合题意；
④当n＝1时，即：x＝﹣1时，y＝1，
ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，
当x＝﹣1，y＝1，即（﹣1，1）是上述两个图象的交点，
根据函数的对称性，另外一个交点的横坐标为：×2＝3，则该交点为（3，﹣3），
故两个函数交点的横坐标为﹣1、3，
即关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，正确，符合题意，
故答案为：①②④．
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点

21.（2021•浙江自主招生）如图所示，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连结PD，DN，则△PDN的面积的最大值是　　．



【分析】根据正六边形的性质求得EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，进而求得∠ADP＝30°，从而求得PD＝PA，设PA＝x．则PB＝10﹣x，根据等腰三角形的性质求得PM＝PB＝（10﹣x），根据三角形的面积就可得出S△PDN＝PD•PM＝﹣（x﹣5）2+，从而得出△PDN的面积的最大值．
【解答】解：连接AD，作NM⊥PB于M，
∵六边形APCDEF是正六边形，
∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADP＝30°
∴PD＝PA，
∵DP⊥AB，NM⊥PB
∴PD∥MN，
∴PM就是△PDN的PD边的高，
设PA＝x．则PB＝10﹣x，
∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，
∴PM＝PB＝（10﹣x），
∴S△PDN＝PD•PM＝×x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+（0＜x＜10），
∴△PDN的面积的最大值为：．
故答案为：．

【知识点】正多边形和圆、等腰三角形的性质、二次函数的最值

22.（2021•内江）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是　　．（填写所有正确结论的序号）


【答案】②④
【分析】①求出y1，y2，求出m的值即可．
②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可．
③画出图象，推出M＝3时，y1＝3，y2＝3转化为方程求出x的值即可．
④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，因为△＝0，推出此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，推出b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，由此即可判断．
【解答】解：①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b的大小，故①错误．
②如图1中，b＝﹣3时，

由，解得或，
∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），
观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，
③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，

M＝3时，y1＝3，
∴﹣x2+4x＝3，
解得x＝1或3，
y2＝3时，3＝2x﹣5，解得x＝4，也符合条件，
故③错误，
④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，
∵△＝0，
∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，
∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，
∴M随x的增大而增大，故④正确．
故答案为②④．
【知识点】二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质

23.（2021•浙江自主招生）如图，平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（2，4），P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别在线段OB，AB上，则这两个二次函数的最大值之积的最大值为　　．


【分析】确定CM、DN与OA之间的关系，得到CM＝OP＝x，ND＝PA＝（6﹣x），即可求解．
【解答】解：设直线OB交抛物线y1于点C，直线AB交抛物线y2于点D，即点C、D分别是这两个抛物线的顶点，

点A（6，0），则OA＝6，
由点B的坐标得，tan∠BOA＝＝2，同理由点A、B的坐标得，tan∠BAO＝1，
OP＝2OM＝2×＝CM，同理PA＝2AN＝2ND，
设OP＝x，则PA＝6﹣x，
CM＝x，ND＝PA＝（6﹣x），
设两个二次函数的最大值之积为y，
则y＝CM•DN＝x•（6﹣x）＝﹣x2+3x，
∵﹣＜0，故y有最大值，
当x＝3时，y的最大值为，
故答案为．
【知识点】二次函数的最值、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象

24.（2021•朝阳区校级二模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　　．


【分析】抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＞2.24，当x＝18时，y＜0，即可求解．
【解答】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；
当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，解得：h≥，
故h的取值范围是为h≥，
故答案为h≥．
【知识点】二次函数的应用


三、解答题（共10小题）

25.（2021秋•越秀区校级期中）已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，﹣2），且经过点（0，﹣）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）结合函数图象，当二次函数的图象位于x轴下方时，求自变量x的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的性质作答．
【解答】解：（1）设该抛物线解析式是：y＝a（x+1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，﹣）代入，得
a（0+1）2﹣2＝﹣，
解得a＝．
故该抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．

（2）由（1）知，抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．
由y＝（x+1）2﹣2＝（x﹣1）（x+3）＝0知，抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（﹣3，0），且抛物线开口向上，
如图，

所以，当二次函数的图象位于x轴下方时，自变量x的取值范围是：﹣3＜x＜1．
【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征

26.（2021秋•秀洲区月考）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B，且当x＝4时，二次函数的值为6．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．


【分析】（1）直接把点A（1，0）代入直线y＝x+m即可得出m的值；再把点A（1，0）与当x＝4时，y＝6代入抛物线y＝x2+bx+c即可得出b、c的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中m、b、c的值即可得出一次函数与二次函数的解析式，故可得出B点坐标，根据函数的图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+m和经过点A（1，0），
∴1+m＝0，解得m＝﹣1；
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），且当x＝4时，二次函数的值为6，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；

（2）∵由（1）知m＝﹣1，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2，
∴直线的解析式为y＝x﹣1，
∴，解得或，
∴B（3，2）．
∵由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，
∴不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3．
【知识点】二次函数与不等式（组）

27.（2021•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，记函数y＝的图象为G，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（2，2），点B在第四象限．
（1）当n＝1时．
①求G的最低点的纵坐标；
②求图象G上所有到x轴的距离为2的点的横坐标之和．
（2）当图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）①画出函数图象，利用图象法解决问题即可．
②求出图象G上所有到x轴的距离为2的横坐标即可解决问题．
（2）求出经过特殊位置n的值结合图象判断即可．
【解答】解：（1）①y＝，
函数图象如图所示：

函数最低点的坐标（3，﹣9），
∴图象G的最低点的纵坐标为﹣9．

②当y＝2时，x2+2x+2＝2，解得x＝﹣2或0（舍弃）
x2﹣6x＝2时，解得x＝3+或3﹣（舍弃），
当y＝﹣2时，x2﹣6x＝﹣2，解得x＝3+或3﹣，
∴图象G上所有到x轴的距离为2的横坐标之和＝﹣2+3++3++3﹣＝7+．

（2）当y＝x2+2nx+2n2的顶点落在AD边上时，n2＝2，解得n＝或﹣（舍弃）

当n＝时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与边AD有一个交点，y＝x2﹣6nx与边BC有一个交点，符合题意．
当2n2≤2，解得n≤1或n≥﹣1，
当y＝x2﹣6nx经过（2，﹣2）时，n＝，
观察图象可知当＜n≤1时，满足条件，
当y＝x2﹣6nx的顶点在BC边上时，﹣9n2＝﹣2，
解得n＝或﹣（舍弃），
当n＝﹣1时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与正方形的边没有交点，
观察图象可知当﹣1＜n＜时，满足条件，
综上所述，满足条件的n的值为﹣1＜n＜或＜n≤1或n＝．
【知识点】二次函数综合题

28.（2021秋•崇川区校级月考）如图，直线y＝x+n与抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）相交于A（1，2）和B（4，m）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）先利用A点坐标确定一次函数解析式为y＝x+1，再利用一次函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设P（t，t+1）（1≤t≤4），则C（t，t2﹣4t+5），所以PC＝t+1﹣（t2﹣4t+5），然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入y＝x+n得1+n＝2，解得n＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
把B（4，m）代入y＝x+1得m＝4+1＝5，
即B（4，5），
把A（1，2），B（4，5）代入y＝ax2+bx+5得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+5；
（2）存在．
设P（t，t+1）（1≤t≤4），
∵PC⊥x轴，
∴C（t，t2﹣4t+5），
∴PC＝t+1﹣（t2﹣4t+5）
＝﹣t2+5t﹣4
＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PC的长有最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、一次函数的性质

29.（2021•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．

（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．

【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到，再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；
（2）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x＝2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，
∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
则，解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

②存在，
如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，
则OB'＝OB，PB'＝PB，
对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴，
∴，
设点P（2，m），
由PB'＝PB可得：，解得：，
∴P（2，）；
同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣）．
综上所述，点P（2，）或P（2，﹣）；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，
∴当b≥4时，，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，
又∵b≥4，
∴4≤b≤7．

【知识点】二次函数综合题

30.（2021•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向　　（填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．


【答案】上
【分析】（1）根据题意借助图象即可得到结论；
（2）由点A（0，2）及△CAN是等腰直角三角形，可知C（﹣2，0），N（2，0），由A、C两点坐标可求直线l；
（3）由S2＝S1，可知B点纵坐标为5，代入直线AB解析式可求B点横坐标，将A、B、N三点坐标代入y＝ax2+bx+c中，可求抛物线解析式．
【解答】解：（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．
∴y＝ax2+bx+2，
令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
∵0＜x1＜x2，
∴＞0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上；

（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，
因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；
②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；
③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），
设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得，
解得，
∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；

（3）过B点作BH⊥x轴于H，
S1＝，S2＝，
∵S2＝S1，
∴BH＝OA，
∵OA＝2，
∴BH＝5，
即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，
∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．

【知识点】等腰直角三角形、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征

31.（2021•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？


【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，即可求解，另外当点P与B，C重合时也满足条件．
（3）①证明tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，即可求解；②m＝﹣n2+n，当n＝时，m的最大值为，即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；

（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，

设直线AB'的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，
联立①②并解得：x＝3或﹣2，
故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3），
当点P与B，C重合时，也满足条件，此时P（0，2）或（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（，）．

（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，

∵∠MNC＝90°，
∴∠MNO+∠CNH＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠MNO＝∠NCH，
∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，
解得：m＝﹣n2+n；

②m＝﹣n2+n，
∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，
而m＞0，
故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个．
【知识点】二次函数综合题

32.（2021•南召县一模）如图，二次函数y＝+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）当P，Q运动到t秒时，将△APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；
（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）将A，B两点的坐标代入二次函数解析式中，求得b、c，进而可求解析式；
（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQ⊥AP于F，根据轴对称的性质及已知条件可得AP＝AQ＝QD＝DP，那么四边形AQDP为菱形．由FQ∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出，，得到．又DQ＝AP＝t，所以．将D点坐标代入二次函数解析式，进而求解即可；
（3）以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①AE＝EQ；②AQ＝EQ；③AE＝AQ．可通过画图得E点大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQ⊥AP 于F，
∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，
∴AP＝AQ＝QD＝DP，
∴四边形AQDP为菱形．
∵FQ∥OC，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∵DQ＝AP＝t，
∴．
∵D在二次函数 上，
∴，
∴，或 t＝0（与A重合，舍去），
∴；

（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．
如图，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），
∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，
∴，AQ＝4．
∵QD∥OC，
∴，
∴，
∴，．
①作AQ的垂直平分线，交x轴于E，此时AE＝EQ，即△AEQ为等腰三角形．
设AE＝x，则EQ＝x，DE＝|AD﹣AE|＝|﹣x|，
∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2＝x2，解得 x＝，
∴OA﹣AE＝3﹣＝﹣，
∴E（﹣，0），点E在x轴的负半轴上；
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE＝QA＝4，
∵ED＝AD＝，
∴AE＝，
∴OA﹣AE＝3﹣＝﹣，
∴E（﹣，0）；
③当AE＝AQ＝4时，
∵OA﹣AE＝3﹣4＝﹣1，或OA+AE＝7，
∴E（﹣1，0）或（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．


【知识点】二次函数综合题

33.（2021秋•官渡区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线y＝x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点（与E，F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）把A与B的坐标代入抛物线的解析式中，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到a与b的值，然后把a与b的值代入抛物线的解析式即可确定出抛物线的解析式；
（2）因为PQ与y轴平行，要使四边形PDCQ为平行四边形，即要保证PQ等于CD，所以令x＝0，求出抛物线解析式中的y即为D的纵坐标，又根据抛物线的解析式求出C的坐标，即可求出CD的长，设出P点的横坐标为m即为Q的横坐标，表示出PQ的长，令其等于2列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，判断符合题意的m的值，即可求出P的坐标；
（3）需要分类讨论：线段AC为底和线段AC为腰两种情况．根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得，
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，

∵PQ∥y轴，
∴当PQ＝CD时，四边形PDCQ是平行四边形，
∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，y＝x+2＝2，
∴C（0，3），D（0，2），
∴CD＝1，
设Q（m，﹣m2+2m+3），则P（m，m+2）
∴PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+2）＝1，
解得m1＝0，m2＝1，
当m＝0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴m＝1，m+2＝3，
∴P点坐标为（1，3）；

（3）存在，理由如下：
由抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，该抛物线的对称轴是直线x＝1．
如图2，设M（1，y）．

设点M（1，y），
∵A（﹣1，0），M（1，y），C（0，3），
∴AC2＝10，CM2＝y2﹣6y+10，AM2＝4+y2
①当AC＝CM时，10＝y2﹣6y+10，
解得：y＝0或y＝6（舍去），
②当AC＝AM时，10＝4+y2，
解得：y＝或y＝﹣，
③当CM＝AM时，y2﹣6y+10＝4+y2，解得：m＝1，
检验：当y＝6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点M坐标为（1，0）、（1，）、（1，﹣）、（1，1）．
【知识点】二次函数综合题

34.（2021•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）先求出点A坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点C坐标，由平移的性质可得可求平移后的解析式，即可求点D坐标；
（3）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+4＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2），
设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），
∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，
∵抛物线与y轴的交点为D，
∴令x＝0，得y＝1，
∴点D坐标为（0，1）；
（3）存在，
①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，

∴△BDP1∽△BOA，
∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，
得，
∴P1的坐标为（，1）；
②过点D作P2D⊥AB于点P2，
∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，
又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），
∴△BP2D∽△BOA，
∴，
∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），
又∵D（0，1），
∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，
∴，
∴，
∴，
过P2作P2M⊥y轴于点M，
设P2（a，2a+4），
则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，
在Rt△BP2M中 ，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴P2的坐标为（，），
综上所述：点P的坐标为：（，1）或（，）．
【知识点】二次函数综合题