专题07 综合探究类-2022届中考数学压轴大题专项训练

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专题07 综合探究类 2022届中考数学压轴大题专项训练（解析版）
1．综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．

操作与发现：
（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ；
（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ．
操作与探究 ：
（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．
【解析】（1）如图所示：

△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ACBF是矩形，AB=4，
AB=CF=4；
故答案为：矩形，4 ；
（2）如图所示：

△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ECBF是平行四边形，
点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，
EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，
，，
故答案为：菱形，；
（3）证明：如图所示：

∵
∵
∴
∴
∵
∵
∴为等边三角形
∴
∴
∵
∴四边形ACBF为平行四边形
∵
∴四边形ACBF为矩形．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，为格点，为小正方形边的中点.

（1）的长等于_________；
（2）点，分别为线段，上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）.
【解析】解：（1）由图可得：
AC=，
故答案为：5；
（2）如图，与网格线相交，得点；取格点，，连接，与网格线相交，得点，取格点，，连接，与网格线相交，得点，连接，与相交，得点.连接，.线段，即为所求.
如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，
由计算可得：AB=，BC=，AC=5，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∴tan∠ACB=2，
∵tan∠BCT=PT：TC=2，
∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，
根据画图可知：GH∥BC，
∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，
∵∠BCT=∠BCA，
∴∠CQH=∠GHC，
∴CQ=CH，
由题意可得：BS=CH，
∴BS=CQ，
又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，
∴△BPS≌△CPQ，
∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，
∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，
∴所画图形符合要求.

3．数学实验室：

制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．
探索研究：
（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；
数学思考：
（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．
【解析】（1）解：如图3所示，

图形的面积表示为：，
图形的面积也可表示：，
∴a2+b2+ab=c2+ab，
∴a2+b2=c2
（2）解：如图4所示，

大正方形的面积表示为：(a+b)2，
大正方形的面积也可以表示为：，
∴，
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2；
4．综合与探究
（实践操作）三角尺中的数学
数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
（问题发现）
（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是　 　，∠DCB的度数　 　，∠ECD的度数是　 　．
②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
（类比探究）
（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．

【解析】解：（1）①，
；
②结论：，；
证明：∵，
∴
∵
∴
（2）结论：当与没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴上述②中发现的结论依然成立．
故答案为：（1）①55°， 55°， 35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析
5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究：

(1)如图②，当点在上时，求证：.
(2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.
【解析】(1)证明：过点作，分别交于点，交于点，
则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，
∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，
在△QNP和△BMP中，
∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=BP．
(2)成立.

过点作于,交于点
在正方形中,
∴
∴是矩形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：
（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；
（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若，求的值．
【解析】（1）解：∵ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处
∴
∴
∵
∴四边形的形状是正方形
故最后答案为：四边形的形状是正方形；
（2）
理由如下：如图，连接，由（1）知：
∵四边形是矩形，
∴
由折叠知：
∴
又，
∴
∴
∴

（3）∵，∴
由折叠知：，∴
∵
∴
设，则
在中，由勾股定理得：
解得：，即
如图，延长交于点G，则
∴
∴
∴
∵，∴
∴
7．综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

（1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　 　°；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值　 　．
【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
8．综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，．
解决问题
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放(点在同一条直线上) ，连接．发现，请你给予证明；

（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积；

拓展延伸
（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将沿方向平移得到连接，当恰好是以为斜边的直角三角形时，求的值．请你直接写出的值．

【解析】（1）∵和是两个等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；
（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，
过点B作BF⊥AC，交AC的延长线于F，
∴∠BCF=180°-∠ACD-∠ECB=60°，∠F=90°，
∴∠CBF=30°，
∴CF=BC=1cm，
∴BF=cm，
∴=；

（3）由题意得∠ACD==60°，
∵∠=90°，
∴,
∵,
∴,
∴=2cm，
∴a=2.

9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：
（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；
（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；
（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．

【解析】（1）如下图

（2）如下图

（3）如下图

10．已知：如图1，在中，弦，，．直线相交于点．
（1）求的度数；
（2）如果点在上运动，且保持弦的长度不变，那么，直线相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．
①如图2，弦与弦交于点；
②如图3，弦与弦不相交：
③如图4，点与点重合．

【解析】解：（1）连接、，如图：

∵
∴是直径
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴
（2）①结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变依然是
证明：连接、、，如图：

∵
∴为等边三角形
∴
∴
∴
∵
∴
②结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变依然是
证明：连接、，如图：

∵
∴是直径
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴
③结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变依然是
证明：如图：

∵当点与点重合时，则直线与只有一个公共点
∴恰为的切线
∴
∵，，
∴
∴．
故答案是：（1）（2）①结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解．②结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解．③结论：直线 、相交所成锐角的大小不发生改变，依然是；证明过程见详解．
11．综合与实践：折纸中的数学
问题背景
在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．
操作发现
(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？
实践探究
(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形？
(3)再探究：在图③中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状．

【解析】解：（1）矩形的长、宽之比应是．
证明：设，
等边三角形，
，
四边形为矩形，
，．
在中，，，，
，，
，
，
．
（2）四边形是平行四边形．
证明：四边形为矩形，
，
，，．
由翻折的特性可知：，，
，，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（3）△为直角三角形．
证明：连接交于点，如图所示．

，
，
，
，
．
，
△为等腰三角形，
，
．
，
，
△为直角三角形．
12．综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．
操作发现：

（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是　 　．
（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．
实践探究：
（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．
（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是　 　cm．
【解析】解：操作发现：
（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．
∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，
∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，
∴C'D＝BD，
∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，
∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，
∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠ADC'＝∠BAD，
∴AB∥C'D，
∴四边形BDC'E是平行四边形，
∵BD＝C'D，
∴四边形BEC'D是菱形，
故答案为：菱形；
（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，
理由如下：
∵BD＝CD，
∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'
∴△MDB'≌△NDC'（ASA）
∴MD'＝ND，
∵△ACD沿DB方向平移，
∴MD'∥DN，
∴四边形MNDD'是平行四边形，
∵∠BD'M＝90°，
∴四边形MNDD'是矩形；
（3）由图形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，
∴AD＝＝＝6cm，
∵四边形MNDD'为正方形，
∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，
∴△BD'M∽△BDA，
∴，
∴，
∴a＝；
（4）如图5，过点D作DG⊥AB于点G，

∵DP＝DQ，
∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，
又∵∠A＝∠PDQ，
∴△DQP∽△AQD，
∴∠ADQ＝∠DPQ，
∴∠ADQ＝∠AQD，
∴AQ＝AD＝6，
∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，
∴△DGA∽△BDA，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣＝，
∴PG＝QG＝，
∴AP＝AG﹣PG＝﹣＝，
故答案为：．