第22章 与圆有关的位置关系-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

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2022年中考数学一轮复习(通用版)
第22章 与圆有关的位置关系

考 点 梳 理

考点一 点与圆、直线与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
如图，如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔ ，如点A；点在圆上⇔ ，如点B；点在圆内⇔ ，如点C.

2．直线与圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
示意图



d与r的关系
d r
d r
d r
交点的个数
没有交点
有且只有一个交点
有两个交点
3．过三点的圆
(1)经过在同一直线上的三点不能作圆；
(2)经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．

考点二 切线的判定与性质
1．切线的概念
直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线．
2．切线的判定方法
(1)经过半径的 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离 半径的直线是圆的切线．
3．切线的性质
(1)圆的切线垂直于经过 的半径；
(2)圆心到切线的距离等于 ．
4．切线长概念
在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的 的长度，叫做这点到圆的切线长．
5．切线长定理
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

考点三 三角形的外接圆与内切圆
1．三角形的外接圆
(1)概念：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的 叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
(2)三角形的外心的性质：三角形的外心是三角形三边 的交点，它到三角形三个顶点的距离 ．
2．三角形的内切圆
(1)概念：和三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形．
(2)三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形三条 的交点，它到三边的距离相等，且在三角形 ．
【点拨】直角三角形外心为其斜边的中点，其外接圆半径R＝，其内切圆半径r＝(其中a，b为直角边长，c为斜边长)．






重 难 点 讲 解

考点一 切线的判定与性质
方法指导：
判定圆的切线常见思路：(1)若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；(2)若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．
解决与圆的切线有关的角度和长度的相关计算时，一般先连接半径构造直角三角形，利用切线长定理结合圆周角和圆心角有关性质求解角度，利用切线长定理结合垂径定理、直径所对的圆周角是直角等知识构造方程或利用解直角三角形知识求解长度．在和圆的切线有关的问题中，一般需要连接圆心和切点．
经典例题1 (2020•阜阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．

(1)证明：如图所示，连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD(SSS)，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线.
(2)解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2＋OB2，∴(4－r)2＝r2＋22，∴r＝1.5，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，AC＝＝＝3．∴圆的半径为1.5，AC的长为3．


考点二 三角形的外接圆与内切圆
方法指导：
解决三角形的外接圆与内切圆的问题的常用方法：(1)利用三角形的外心和内心的性质构造直角三角形；(2)等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角．
经典例题2 (2020•安徽安庆模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．
(1)求证：AB＝BF．
(2)当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．

(1)证明：连接AF，∵AE是⊙O的直径，∴AF⊥EG，∵四边形BDGE是平行四边形，∴BD∥EG，∴BD⊥AF，∵∠BAC＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD垂直平分AF，∴AB＝BF.
(2)解：∵当F为BC的中点，∴BF＝BC，∵AB＝BF，∴AB＝BC，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝3，∵AB＝BF，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝，BD＝2AD＝2，∴⊙O的直径长为2．










过 关 演 练

1．(2020·江苏苏州模拟)如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线与点D，连接AB，若∠B＝25°，则∠D的度数为(　　)

A．25° B．40° C．45° D．50°
2．(2020·江西模拟)如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，则∠DAF的度数是(　　)

A．45° B．30° C．15° D．10°
3．(2020·安徽淮南模拟)如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
4．(2020•广东广州中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是(　　)

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
5．(2020·河北一模)如图，在平面直角坐标系中，点P是以C(－，)为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A(－1，0)，B(1，0)，连接PA，PB，则PA2＋PB2的最小值是(　　)

A．6　　　　 　 B．8 C．10 D．12
6．(2020·山东德州二模)如图，已知直线y＝x－6与x轴、y轴分别交于B，C两点，A是以D(0，2)为圆心，2为半径的圆上一动点，连接AC，AB，则△ABC面积的最小值是(　　)

A．26 B．24 C．22 D．20
7．(2020·安徽亳州二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5
8．(2020·山西模拟)如图，点I为△ABC的内心，连接AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为(　　)

A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
9. (2019•辽宁锦州模拟)如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．其中正确的结论有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．(2020•重庆中考B卷)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为(　　)

A．65° B．55° C．45° D．35°
11．(2020•黑龙江哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为(　　)

A．25° B．20° C．30° D．35°
12．(2020•山东泰安中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为(　　)

A．4 B．4 C． D．2
13．(2020•山东济宁中考)如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是(　　)

A．4 B．2 C．2 D．4
14．(2020•山东枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　 　．

15．(2020•黑龙江中考)如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝　 　．

16．(2020·安徽模拟)如图，点A，C，D在⊙O上，四边形OACD是平行四边形，连接OC并延长线交⊙O的切线于点B，则∠B＝ ．

17．(2020·黑龙江模拟)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为 ．

18．(2020•广东珠海中考)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　 　．

19. (2020•安徽芜湖无为市一模)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．

20．(2020•浙江湖州中考)如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
(1)求证：∠CAD＝∠ABC；
(2)若AD＝6，求的长．







21. (2020•安徽合肥庐江县模拟)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．
(1)求证：AC与⊙O相切．
(2)若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．







22．(2020·安徽合肥蜀山区模拟)如图，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接OE，若∠EDA＝30°，AE＝1，求OE的长．








23. (2020•辽宁丹东中考)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．
(1)判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若tan∠FBC＝，DF＝2，求⊙O的半径．








参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. d>r d＝r d ＝ <
考点二 1. 唯一 2. (1)外端 等于 3. (1)切点 (2)半径 4. 线段 5. 相等
考点三 1. (1)圆心 (2)垂直平分线 相等 2. (1)相切 内心 外切 (2)内角平分线 内部

过关演练
1. B 【解析】连接OA.∵∠B＝25°.∴∠DOA＝2∠B＝50°.∵AD是⊙的切线，∴∠OAD＝90°.∴∠D＝180°－90°－50°＝40°.
2. C 【解析】连接AC，BD，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴AC，BD是⊙O的直径，∵△AEF是等边三角形，∴AO平分∠FAE，∴∠FAO＝30°，∠DAO＝45°，∴∠DAF＝15°.
3. C 【解析】∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵△ABC的周长为14，∴AD＋AF＋BE＋BD＋CE＋CF＝14，∴2(BE＋CE)＝10，∴BC＝5.
4. B 【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，∴＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝3，∵r＝3，∴⊙B与AC的位置关系是相切．
5. C 【解析】设P(x，y)，∵PA2＝(x＋1)2＋y2，PB2＝(x－1)2＋y2，∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2(x2＋y2)＋2，∵OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP的最小值为CO－CP＝3－1＝2，∴PA2＋PB2最小值为2×22＋2＝10.
6. C 【解析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，由题意：B(8，0)，C(0，－6)，∴OB＝8，OC＝6，BC＝10，则由三角形面积公式得，S△BCD＝×BC×DM＝×OB×DC，∴10×DM＝64，∴DM＝6.4，∴圆D上点到直线y＝x－6的最小距离是6.4－2＝4.4，∴△ABC面积的最小值是×10×4.4＝22.
7. B 【解析】过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点 G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tanB＝2，∴＝2，即AF＝4，∴AB＝＝2，∵D为AB的中点，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝＝，∴CD＝CG＝，∵点B在⊙D内，点C在
⊙D外，∴＜r＜.
8. C 【解析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM.∵I是△ABC的内心，∴∠IAC＝∠IAB＝∠BCD，∠ICA＝∠ICB，∵∠DIC＝∠IAC＋∠ICA，∠DCI＝∠BCD＋∠ICB，∴∠DIC＝∠DCI，∴DI＝DC＝DM，∴∠ICM＝90°，∴CM＝＝8，∵AI＝2CD＝10，∴AI＝IM，∵AE＝EC，∴IE是△ACM的中位线，∴IE＝CM＝4.
9. A 【解析】连接OC，OD. ∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，∴△CMO≌△DMO(SSS)，∴∠ODM＝∠OCM，∵MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∴∠ODM＝90°，∴MD与⊙O相切；故①正确；∵△CMO≌△DMO，∴∠COM＝∠DOM，∴∠AOC＝∠AOD，∵OA＝OA，∴△AOC≌△AOD(SAS)，∴AC＝AD，∴AC＝AD＝CM＝DM，∴四边形ACMD是菱形，故②正确；∵AC＝CM，∴∠CAM＝∠CMA，∵∠COM＝2∠CAM，∴∠COM＝2∠CMO，∴∠CMO＝30°，∴OC＝OM，∵OC＝AB，∴AB＝OM，故③正确；∵四边形ACMD是菱形，∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，∴∠ADM＝120°，故④正确．
10. B 【解析】∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°－∠B＝55°．
11. B 【解析】∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，∵∠ADC＝35°，∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，∴∠ABO＝90°－70°＝20°．
12. B 【解析】连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°－30°－30°＝120°，∴∠D＝180°－∠B＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4．
13. B 【解析】如图，过点B作BH⊥CD于点H．∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)，∴∠BDC＝90°＋∠A＝90°＋×60°＝120°，则∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝2，∵CD＝2，∴△DBC的面积＝CD•BH＝×2×2＝2．

14. 27° 【解析】∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，∴∠B＝∠AOP＝27°．
15. 50° 【解析】∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°．
16. 30° 【解析】∵四边形OACD是平行四边形，∴OD＝AC，又∵OA＝OD，OA＝OC，∴OA＝AC＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA＝60°，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∴∠B＝90°－∠COA＝30°.
17. 2 【解析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠C＝90°，∴BC⊥AC，∴OE∥BC，∵AO＝OB，∴AE＝EC＝AC＝4，∵OA＝AB＝5，∴OE＝3，∴OD＝3，在Rt△ABC中，OC是斜边AB上的中线，∴OC＝AB＝5，∴CD＝OC－OD＝5－3＝2.
18. 2－2 【解析】如图，连接BE，BD．由题意BD＝＝2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE＝MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2－2．

19. 或 解：设BD＝x，由折叠知AD＝BD＝x，CD＝16－x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82＋(16－x)2，解得，x＝10，∴CD＝10，∵AB＝＝＝8，∴AE＝BE＝AB＝4，∴DE＝＝2＜5，∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F，如图1，∴PF＝5，PF∥CD，∴△APF∽△ADC，∴＝，即＝，∴AP＝；②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，
∴PG＝5，PG∥AC，∴△DPG∽△DAC，∴＝，即＝，∴DP＝，∴AP＝10－＝，综上，AP的长为或．

图1 图2
20. 解：(1)∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；
(2)∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴的长＝××π×6＝π．
21. (1)证明：连接OD，如图所示，∵OD＝OB，∴∠1＝∠2，又∵BD平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥BC，而∠C＝90°，∴OD⊥AD，∴AC与⊙O相切于点D.
(2)解：∵OD⊥AD，∴在RT△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，又∵AD＝15，AE＝9，设半径为r，∴(r＋9)2＝152＋r2，解方程得，r＝8，即⊙O的半径为8．

22. (1)证明：连接OD.∵AD平分∠MAN，∴∠EAD＝∠OAD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EAD＝∠ODA.∵DE⊥AM于点E，∴∠AED＝90°.∴∠EAD＋∠EDA＝90°，∴∠ODA＋∠EDA＝90°，∴OD⊥ED，∴DE是⊙O的切线．　
(2)解：∵∠EDA＝30°，∴∠ODA＝60°.∵OA＝OD，∴△ADO为等边三角形．在Rt△AED中，AE＝1，可得AD＝2，ED＝.∴OD＝AD＝2.在Rt△ODE中，由勾股定理可得OE＝.
23. 解：(1)BC所在直线与⊙O相切；理由：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF，∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBF＋∠C，∴∠ABD＝∠C，∵∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；
(2)∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF，∴tan∠FBC＝tan∠DBF＝＝，∵DF＝2，∴BD＝6，设AB＝AF＝x，∴AD＝x－2，∵AB2＝AD2＋BD2，∴x2＝(x－2)2＋62，解得x＝10，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．