第16章 等腰三角形与直角三角形-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

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2022年中考数学一轮复习(通用版)
第16章 等腰三角形与直角三角形

考点一 等腰三角形与等边三角形
1．等腰三角形(如图1)

图1
(1)概念：有 相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另外一边叫做底．
(2)性质：①两腰相等，两底角 ；②顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简写“三线合一”)；③等腰三角形是 ，有一条对称轴．
【点拨】在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：(1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)利用三角形三边关系检验是否能构成三角形．(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形．(4)面积：S＝ah(h是边a上的高)．
2．等边三角形(如图2)
(1)概念：三边都 的三角形叫做等边三角形．
(2)性质：①三边相等；②每一个角都等于60°；③等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴．
(3)判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的 是等边三角形．

图2
(4)面积：S＝ah＝a2(h是边a上的高)．
3．线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

考点二 直角三角形与勾股定理
1．直角三角形的概念与性质
(1)概念：有一个角是 的三角形是直角三角形．
(2)性质：①直角三角形的两个锐角 ；②直角三角形斜边上的中线等于 的一半．
2．含30°角的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ．
3．直角三角形的面积：S＝ch＝ab(a，b为直角边，h是斜边c上的高)．
4．勾股定理及其逆定理
(1)勾股定理：直角三角形 平方的和等于斜边的平方．
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足关系 ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C＝90°.







重 难 点 讲 解

考点一 等腰(边)三角形的性质与判定
方法指导：
在三角形中，证明两条线段或两个角相等，常用的方法如下：
(1)如果线段或角在同一个三角形中，先考虑用“等边对等角”或“等角对等边”来证明；
(2)如果线段和角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等或通过等腰三角形“三线合一”来解决．
经典例题1 (2020•安徽芜湖模拟)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝10，则线段MN的长为 ．

【解析】 ∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE. ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE，∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝MB，NE＝NC，∴MN＝ME＋NE＝BM＋CN＝10.
【答案】 10

考点二 直角三角形的性质与判定
方法指导：
勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、斜边上的中线等于斜边的一半、等腰直角三角形三边之比为1∶1∶、直角三角形两直角边的乘积等于斜边乘以斜边上的高等性质在题目中往往需要综合运用．
经典例题2 (2020•安徽合肥模拟)如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连结DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则(　　)

A．y＝x B．y＝－x＋90
C．y＝－2x＋180 D．y＝－x＋90
【解析】 ∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵点F是AB的中点，∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°－2∠CAB，∠BFE＝180°－2∠ABC，∴x°＝180°－∠AFD－∠BFE＝2(∠CAB＋∠CBA)－180°＝2(180°－y°)－180°＝180°－2y°，∴y＝－x＋90．
【答案】 B









过 关 演 练

1．(2020·河北模拟)如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D，E，F分别是AC，AB，BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC.若PF＋PD＋PE＝a，则△ABC的边长为(　　)

A. a　　　　　 B．a C. a D．a
2．(2020·江西模拟)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为(　　)

A．6 B．8 C．10 D．12
3．(2020•山东聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是(　　)

A．120° B．130° C．145° D．150°
4．(2020•四川南充中考)如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝(　　)

A． B． C．a－b D．b－a
5．(2020•四川甘孜州中考)如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是(　　)

A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
6．(2020•江苏常州中考)如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A，B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
7．(2020·安徽铜陵模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝，则BF的长为(　　)

A. B．3 C．2 D．4
8．(2020·吉林三模)如图，在△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于点E，F，G分别为BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为(　　)

A．2 B． C．8 D．9
9. (2020•山东青岛二模)如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于点F，设∠BAC＝α，则(　　)

A．∠EOF＝α B．∠EOF＝2α
C．∠EOF＝180°－α D．∠EOF＝180°－2α
10. (2020•安徽四模)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于CA的长为半径画弧两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是(　　)

A．BE＝3EC B．5BE＝3EC C．3BE＝2EC D．BE＝2EC
11．(2020·陕西西安模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，那么图中等腰三角形有 个．

12．(2020•山东滨州中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　 　．
13．(2020•黑龙江绥化中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是　 　．
14．(2020•湖南岳阳中考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝　 　°．

15．(2020•贵州黔西南州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为　 　．

16．(2020•湖北黄冈中考)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”(注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺)这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是　 　尺．

16. (2020•河南模拟)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF；②∠BOC＝90°＋∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn． 其中正确的结论是 ．(填序号)

17．(2020·青海模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E，F分别是BC，AC的中点，则∠EDF＝ ．

18. (2020•四川凉山州模拟)在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝ ．
19．(2020·安徽二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB.
(1)求∠B的度数；
(2)求证：BC＝3CE.




20．(2020·浙江宁波模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.
求证：(1)EF⊥AB；
(2)△ACF为等腰三角形．




21. (2020•安徽庐江县一模)英雄的武汉人民在新冠肺炎疫情来临时，遵照党中央指示：武汉封城．经过76天封城于4月8日解封．小红同学与小颖同学相约在公园一角相距200m放风筝．已知小红的风筝线和水平线成30°，小颖的风筝线和水平线成45°，在某一时刻他们风筝正好在空中相遇(如图所示)，求风筝的高度．即在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，AD⊥BC，D为垂足，BC＝200m，求AD．





22．(2020·上海模拟)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，
(1)请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
(2)当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．



23．(2020•浙江台州中考)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)判断△BOC的形状，并说明理由．



24．(2020•山东泰安中考)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
(1)如图1，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．

图1 图2



参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. (1)两条边 (2)①相等 ③轴对称图形 2. (1)相等 (2)③3 (3)③等腰三角形 3. 相等
考点二 1. (1)直角 (2)①互余 ②斜边 2. 一半 4. (1)两直角边 (2)a2＋b2＝c2

过关演练
1. D 【解析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD.又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE＋PD＋PF＝AH＋DH＋CD＝AC，∴AC＝a.
2. C 【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∵△AED的周长为16，∴AE＋ED＋AD＝AB＋AD＝16，∵AD＝6，∴AB＝10.
3. B 【解析】∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE＋∠C＝65°＋65°＝130°．
4. C 【解析】∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∵AB＝AC＝a，BC＝b，∴CD＝AC－AD＝a－b．
5. B 【解析】∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．
6. A 【解析】∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3．
7. C 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝60°，∠F＝30°，∴∠BAE＝∠EAF＝90°，∵∠B＝∠F＝30°，∴BE＝EF，∴BF＝2AF＝2.
8. A 【解析】连接EF，DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2.
9. B 【解析】设∠ABD＝β，则∠BDC＝∠ABD＋∠A＝β＋α，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°－β，∵O为BD中点，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE，同理得OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝α＋β，∴∠EOD＝180°－2(90°－β)＝2β，∠COD＝180°－2(α＋β)＝180°－2α－2β，∴∠EOF＝180°－∠EOD－∠COD＝180°－2β－(180°－2α－2β)＝2α．
10. D 【解析】在△ABC中，AB＝AC，∠BC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．连接EA，由尺规作图可知直线MN是线段CA的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝90°．在Rt△BAE中，∠B＝30°，∴BE＝2EA，∴BE＝2EC．
11. 3 【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵DE∥AB，∴△CED是等腰三角形，∴∠BDE＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BDE，∴△EBD是等腰三角形；则图中等腰三角形的个数有3个．
12. 80° 【解析】∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°－2×50°＝80°．
13. 17 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB－AC＝2，BC＝8，∴AC2＋BC2＝AB2，即(AB－2)2＋82＝AB2，解得AB＝17．
14. 70 【解析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠B＝70°，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝70°．
15. 2 【解析】∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝3，∴CD＋2CD＝3，∴CD＝，∴DB＝2．
15. 12 【解析】设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12，故水池里水的深度是12尺．
16. ①②③ 【解析】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°－∠A，∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°＋∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE＋S△AOF＝AE•OM＋AF•OD＝OD•(AE＋AF)＝mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．

17. 48° 【解析】∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝AC＝AF，∴∠FDA＝∠CAD＝28°，∴∠DFC＝∠FDA＋∠CAD＝56°，∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，∴∠EFC＝∠CAB＝28°，∴∠EFD＝56°＋28°＝84°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠EDF＝∠DEF＝×(180°－84°)＝48°.
18. 2 【解析】如图所示，连接DH，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴H为BC的中点，又∵D为AC的中点，∴DH为△ABC的中位线，∴DH∥AB，DH＝AB，∴△DEH∽△BEA，∴＝＝＝，又∵BD＝3，∴BE＝2，∴Rt△BEH中，EH＝＝，∴AE＝2EH＝2．

19. (1)解：∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF＋∠ACF＝∠ACF＋∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B＋∠CAB＝90°，∴∠B＝30°.　
(2)证明：∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE.
20. 证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB.　
(2)∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB－∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
21. 解：设AD＝xcm，在Rt△ADC中，∠ACB＝45°，∴CD＝x，BD＝200－x，在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，tanB＝，即tan30°＝，＝，解得x≈73.2m. 答：AD约为73.2米．
22. 解：(1)EF⊥AC.证明：连接AE，CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE＝DB，∵∠DCB＝90°，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC.　
(2)∵AC＝8，BD＝10，E，F分别是边AC，BD的中点，∴AE＝CE＝5，CF＝4，∵EF⊥AC，∴EF＝＝＝3.
23. 证明：(1)∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)△BOC是等腰三角形，理由：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．
24. 解：(1)四边形BEAC是平行四边形，理由：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四边形BEAC是平行四边形；
(2)①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC(SAS)，∴BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF(SAS)，∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．