第05章 一次方程(组)-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

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2022年中考数学一轮复习(通用版)
第05章 一次方程(组)

考 点 梳 理

考点一 一元一次方程及其解法
1．等式的基本性质
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个 或同一个 ，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(2)等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数 )，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)．
(3)如果a＝b，那么 (对称性)．
(4)如果a＝b，b＝c，那么 (传递性)．
【点拨】(1)用等式的基本性质进行等式变形，必须注意不能漏项；(2)等式两边都除以同一个数和式子时，除数(式)必须不为0.
2. 一元一次方程及其解法
(1)概念：只含有 个未知数(元)，未知数的次数都是 ，且等式两边都是 的方程叫做一元一次方程．
(2)形式：一般形式：ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)，最简形式： ．
(3)解法步骤：①去分母(若未知数的系数有分母，则要去分母，注意不要给不含分母的项漏乘最简公分母)；②去括号(若方程含有括号，且去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项要变号)；③移项(移项要变号)；④合并同类项[把方程化成ax＝－b(a≠0)的形式]；⑤系数化为1(在方程两边都除以未知数的 ，得到方程的解为x＝－)．
【点拨】解一元一次方程时必须注意以下几点：(1)根据分数的基本性质把分母转化为整数，不含分母的项漏乘；(2)去分母后分子忘记加括号；(3)去括号时漏乘或弄错符号；(4)移项时没有改变符号；(5)系数化为1时，弄错符号或分子、分母弄颠倒.

考点二 二元一次方程(组)及其解法
1. 二元一次方程
含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，形如ax＋by＝c(a，b，c是常数)．
2. 二元一次方程组
由 二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为 其中x，y为未知数．
3. 二元一次方程组的解
二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解．
4. 解二元一次方程组的基本思想
，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5. 二元一次方程组的解法
(1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
(2)加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加(或相减)消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
【点拨】消元法的使用技巧：(1)当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数为1和－1时，选择代入消元法较合适；(2)当方程组中两个方程同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选择加减消元法较合适.
6. 三元一次方程组
(1)概念：由三个一次方程组成的含 未知数的方程组，叫做三元一次方程组．
(2)解法：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程．

考点三 一次方程(组)的应用
1．列方程(组)解决问题的一般步骤
(1)审：审清题意，分清题中的已知量和未知量；
(2)设：设未知数，有时需要设直接未知数，有时需要设间接未知数；
(3)列：根据题意寻找等量关系列方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)验：检验方程(组)的解是否符合题意；
(6)答：写出答案(包括单位)．
2．列一次方程(组)常见的题型及关系式
常见类型
基本数量关系式
工程问题
工作量＝工作效率×工作时间(工作量常被看作单位1)
行程问题
基本关系：路程＝速度×时间
相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
追及问题：(1)同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；(2)同时不同地出发：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程；
航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度
增长率问题
增长率＝×100%
销售问题
售价＝标价×折扣(打几折相当于十分之几)；销售额＝售价×销量；
利润＝售价－进价；利润＝进价×利润率；
储蓄问题
本金×利率×期数＝利息，本金＋利息＝本息和
分配问题
甲的数量＋乙的数量＝总量；
甲的数量×甲的单位金额＋乙的数量×乙的单位金额＝总金额
【点拨】用一次方程(组)解应用题的技巧：(1)用一次方程(组)解决实际问题的关键是读懂题意，找出题中存在的等量关系列出方程；(2)找等量关系时，是要抓住关键词语，如多、少、共、几分之几、倍等.设未知数时，可采取直接设元，也可以采取间接设元；(3)对于求得的解，还要检验其是否符合实际意义.





重 难 点 讲 解

考点一 一元一次方程的解法
方法指导：
解一元一次方程时，方程中有小数系数的，通常把小数化为分数，去分母、去括号、移项是解方程的基本步骤．但应注意，移项要改变符号，去括号时要看清括号前的符号，去分母时，不含分母的项也要乘以各分母的最小公倍数，并且去分母后，分子是多项式的要加括号．
经典例题1 (2020•湖北武汉模拟)解方程：15x－3＝3(x－4).
解：去括号，得15x－3＝3x－12，
移项，合并同类项得12x＝－9，
解得x＝－．

考点二 二元一次方程组的解法
方法指导：
解二元一次方程组的基本思想是消元，基本方法是代入消元法与加减消元法. 当某一未知数的系数较简单时(如±1)，可选择代入消元法求解；当两个方程中同一个未知数的系数成倍数关系时，选用加减消元法较合适.
经典例题2 (2020•黑龙江哈尔滨模拟)已知则a＋b等于(　　)
A． B．3 C．2 D．1
【解析】 ①＋②得：4a＋4b＝12，则a＋b＝3．
【答案】 B

考点三 一次方程(组)的应用
用方程或方程组解应用题的一般步骤如下：(1)审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及相等数量关系(这是关键)；(2)找：找出题中所有的等量关系，特别是隐含的数量关系；(3)设：设出未知数，既可设直接未知数(求什么就设什么)，也可设间接未知数(一般是与所求问题有直接关系的量)；(4)列：列出方程或方程组；(5)解：解这个方程或方程组；(6)验：检验解是否符合实际意义或是否正确；(7)答：根据所得结果作出回答．
经典例题3 (2020•安徽淮南模拟)我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九；盈十一；人出六；不足十六，问人数、鸡价各几何？”其大意是：今有人合伙买鸡，若每人出9钱，则多11钱：若每人出6钱，则差16钱，问合伙人数、鸡价各是多少？
解：设合伙人数为x.
根据题意可知：9x－11＝9x＋16，解得x＝9，
所以鸡价为9x－11＝70.
答：合伙人数为9人，鸡价为70钱；





过 关 演 练

1．(2020·河南模拟)下列等式变形：①如果x＝y，那么ax＝ay；②如果x＝y，那么＝；③如果ax＝ay，那么x＝y；④如果＝，那么x＝y.其中正确的是(　　)
A．①④　　　　 B．③④ C．①② D．②③
2．(2020·江西模拟)下列方程中，是一元一次方程的是(　　)
A．x2＋3＝0 B．x＋3＝y＋2
C．＝4 D．x＝0
3．(2020·浙江温州模拟)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝2；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a＋b＋c的值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
4．(2020•重庆)解一元一次方程(x＋1)＝1﹣x时，去分母正确的是(　　)
A．3(x＋1)＝1﹣2x B．2(x＋1)＝1﹣3x
C．2(x＋1)＝6﹣3x D．3(x＋1)＝6﹣2x
5．(2020•浙江金华)如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是(　　)

A．3×2x＋5＝2x B．3×20x＋5＝10x×2
C．3×20＋x＋5＝20x D．3×(20＋x)＋5＝10x＋2
6．(2020•江苏徐州模拟)已知方程组的解也是方程3x－2y＝0的解，则k的值是(　　 )
A．k＝－5 B．k＝5 C．k＝－10 D．k＝10
7．(2020•山东荷泽二模)我国古典数学文献《增删算法统宗﹒六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里数羊，如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同，设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为(　　 )
A． B．
C． D．
8．(2020•黑龙江齐齐哈尔)母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有(　　)
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．(2020•山东青岛模拟)代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝　 　．
10．(2020﹒安徽安庆模拟)已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝5，则k的值为 ．
11．(2020·江苏无锡模拟)已知三元一次方程组 则xyz＝ ．
12．(2020•湖南常德)今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　 　次．
13．(2020·吉林长春模拟)用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A，B两种型号的钢板共
块．
14．(2020•四川凉山州)解方程：x﹣＝1＋．



15．(2020·河北模拟)解方程：＝1－.



16．(2020•江苏连云港)解方程组：



17．(2020·湖南常德模拟)解方程组：



18.(2020•四川攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？



19．(2020·山西模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，问绳长、井深各是多少尺？”若设这个问题中的绳长为x尺，求x的值．



20. (2020•安徽一模)《孙子算经》是我国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”非常有趣．原题是今有妇人河上荡杯，津吏问日：“杯何以多？”妇人日：“有客．”津吏曰：“客几何？“妇人日：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？“
大意：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客？”妇女答：“洗65只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗．问：有多少客人用餐？”请解答上述问题．





21．(2020•安徽合肥二模)力“皖”狂澜，新冠肺炎期间，安徽共出动八批，共计1362位医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130人乘坐飞机返回合肥，其中第二批人数是第八批人数的3倍还多10人，第八批安徽共出动了多少名医护人员？



22．(2020•安徽一模)古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．




23. (2020•上海金山区模拟)“春蕾”爱心社给甲、乙两所学校捐赠图书共5000本，已知捐给甲校的图书比捐给乙校的2倍少700本，求捐给甲、乙学校图书各多少本？







参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. (1)数 整式 (2)不能为0 (3)b＝a (4)a＝c 2. (1)一 一次 整式 (2)ax＝b(a≠0) (3)⑤系数
考点二 1. 两 2. 两个 3. 公共解 4. 消元 6. (1)三个

过关演练
1. A 解析：①x＝y，等式两边同时乘以a，得ax＝ay，正确；②x＝y，若a＝0，则和无意义，错误；③ax＝ay，若a＝0，则x不一定等于y，错误；④＝，等式两边同时乘以a，得x＝y，正确，即正确的是①④.
2. D 解析：x2＋3＝0是一元二次方程，故选项A错误；x＋3＝y＋2是二元一次方程，故选项B错误；＝1是分式方程，故选项C错误；x＝0是一元一次方程，故选项D正确．
3. C 解析：把x＝0时，y＝2；x＝－1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得 ∴a＋b＋c＝1＋3＋2＝6.
4. D 解析：方程两边都乘以6，得3(x＋1)＝6﹣2x．
5. D 解析：设“□”内数字为x，根据题意可得3×(20＋x)＋5＝10x＋2．
6. A 解析：根据三元一次方程组的概念，解方程组 得 把x，y代入4x－3y＋k＝0，得－40＋45＋k＝0，解得k＝－5．
7. C 解析：根据乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数＋9＝2×(乙的羊数－9)；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数－9＝乙的羊数＋9，进而可得方程组
8. B 解析：设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得2x＋3y＝30，∴y＝10﹣x．∵x，y均为正整数，∴ ∴小明有4种购买方案．
9. ﹣1 解析：根据题意，得＋3﹣2x＝4，去分母，得2x﹣1＋9﹣6x＝12，移项合并同类项，得﹣4x＝4，解得x＝﹣1.
10. 2 解析：①＋②，得3(x＋y)＝6k＋3　x＋y＝2k＋1，∵x＋y＝5，∴2k＋1＝5，解得k＝2.
11. 6 解析： ①＋②，得x－z＝2④，③＋④，得2x＝6，解得x＝3，将x＝3代入①，得y＝2，将x＝3代入③，得z＝1，故原方程组的解是 ∴xyz＝3×2×1＝6.
12. 4 解析：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意，得整理得，解得
13. 11 解析：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，依题意，得 (①＋②)÷5，得x＋y＝11.
14. 解：去分母，得6x﹣3(x﹣2)＝6＋2(2x﹣1)，去括号，得6x﹣3x＋6＝6＋4x﹣2，移项，得6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得﹣x＝﹣2，系数化为1，得x＝2．
15. 解：去分母，得6x－2＝6－4x＋1，移项，合并同类项，得10x＝9，解得x＝0.9.
16. 解： 把②代入①，得2(1﹣y)＋4y＝5，解得y＝．把y＝代入②，得x＝﹣．∴原方程组的解为
17. 解：整理方程组得： ①×6＋②得：22x＝33，解得x＝1.5，把x＝1.5代入①得y＝2，则方程组的解为
18. 解：设这些学生共有x人，根据题意得−＝2，解得x＝48．答：这些学生共有48人．
19. 解：设绳长为x尺，由题意可得方程：x－4＝x－1，解得x＝36，即x的值为36.
20. 解：设共有客人x人，根据题意得x＋x＋x＝65．解得x＝60． 答：有60位客人用餐．
21. 解：设第八批安徽共出动了x名医护人员，由题意可知：3x＋10＋x＝130，解得x＝30． 答：第八批安徽出动了30名医护人员．
22. 解：设有客房x间，房客y人，由题意得： 解得 答：该店有客房8间，房客63人．
23. 解：设捐给甲校图书x本，捐给乙校图书y本，依题意，得 解得 答：捐给甲校图书3100本，捐给乙校图书1900本．