2022年 人教版数学九年级中考第一轮专题训练二次函数

这是一份2022年 人教版数学九年级中考第一轮专题训练二次函数，共19页。试卷主要包含了))等内容，欢迎下载使用。

二次函数


命题点1　二次函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2021·四川眉山)已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－2 B．a＜3
C．－2≤a＜3 D．－2≤a≤3
2．(2021·江西)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为（ ）
A．y＝x B．y＝x＋1
C．y＝x＋ D．y＝x＋2
3．(2021·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：

甲：若b＝5，则点P的个数为0.
乙：若b＝4，则点P的个数为1.
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
命题点2　二次函数解析式的确定(与几何图形的综合)
4．(2021·黑龙江牡丹江)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P.已知B(1，0)，C(0，－3).

请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标．
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AP，AP的垂直平分线交直线PE于点M，则线段EM的长为____．











5．(2021·四川雅安)已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，－3).
(1)求二次函数的解析式及A点的坐标．
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标．
(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以M，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标．(不写求解过程)











6．(2021·山东泰安)若一次函数y＝－3x－3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A，B，C三点，如图1.
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧)，若BC恰好平分∠DBE，求直线BE的解析式．
(3)如图2，若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF.
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．












命题点3　二次函数的解析式的确定(纯代数问题)
7．(2021·北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c.
(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．










8．(2021·湖南湘潭)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋5与x轴交于A，B两点．


(1)若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y最大≤15，求b的取值范围．














1．(2021·江苏淮安)二次函数y＝－x2－2x＋3的图象的顶点坐标为__(－1，4)__．
2．(2021·浙江杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8.（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
3．(2021·四川南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3).若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）

A.≤a≤3 B．≤a≤1
C．≤a≤3 D．≤a≤1
4．(2021·贵州毕节)已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1＜x2，－1＜
x1＜0，则下列说法正确的是（ ）

A．x1＋x2＜0 B．4＜x2＜5
C．b2－4ac＜0 D．ab＞0
5．(2021·四川遂宁)新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A，B两种花苗．据了解，若购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；若购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
(1)求A，B两种花苗的单价．
(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A，B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？












6．(2021·上海)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与x轴，y轴分别交于点A，B.抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A.

(1)求线段AB的长．
(2)如果抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的解析式．
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．















7．(2021·河南模拟)如图，直线y＝x＋交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A，交y轴于点C(0，－).点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP.

(1)求抛物线的解析式．
(2)若以点P，A，D为顶点的三角形与△ABO相似，求点P的坐标．
(3)将△ABO绕点A旋转，当点O的对应点O′落到抛物线的对称轴上时，请直接写出点B的对应点B′的坐标．
















8．(2021·河南模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)的图象过原点O和点A(1，)，且与x轴交于点B，△AOB的面积为.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求点M的坐标；
(3)点F是x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，且PE＝，直接写出点E的坐标(写出符合条件的两个点即可).





















二次函数


命题点1　二次函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2021·四川眉山)已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　D　)
A．a≥－2 B．a＜3
C．－2≤a＜3 D．－2≤a≤3
2．(2021·江西)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为(　B　)
A．y＝x B．y＝x＋1
C．y＝x＋ D．y＝x＋2
3．(2021·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：

甲：若b＝5，则点P的个数为0.
乙：若b＝4，则点P的个数为1.
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是(　C　)
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
命题点2　二次函数解析式的确定(与几何图形的综合)
4．(2021·黑龙江牡丹江)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P.已知B(1，0)，C(0，－3).

请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标．
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AP，AP的垂直平分线交直线PE于点M，则线段EM的长为____．
解：(1)将B(1，0)，C(0，－3)两点代入抛物线的解析式y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴顶点P的坐标为(－1，－4).
(2) ∵直线PE为抛物线的对称轴，
∴E(－1，0).
∵B(1，0)，
∴A(－3，0)，
∴AP＝＝2.

如图，取AP的中点N.
∵MN垂直平分AP，
∴AN＝NP＝，∠PNM＝90°.
∵∠APE＝∠MPN，
∴△PMN∽△PAE，
∴＝，即＝，解得PM＝，
∴EM＝PE－PM＝4－＝.
故答案为.
5．(2021·四川雅安)已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，－3).
(1)求二次函数的解析式及A点的坐标．
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标．
(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以M，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标．(不写求解过程)

解：(1)把B(1，0)，C(0，－3)代入y＝ax2＋2x＋c，
得解得
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3.
令y＝0，得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或1，
∴A(－3，0).
(2)如图1，连接AD，CD.
点D到直线AC的距离取得最大值时，△DAC的面积也取得最大值．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b.
∵A(－3，0)，C(0，－3)，
∴解得
∴直线AC的解析式为y＝－x－3.
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为(x，x2＋2x－3)，则G(x，－x－3).
∵DG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x－3－x2－2x＋3＝－x2－3x，
∴S△ACD＝·DG·OA＝(－x2－3x)×3＝－x2－x＝－(x＋)2＋，
∴当x＝－时，S最大＝，此时点D(－，－)，
∴点D到直线AC的距离取得最大值时，点D的坐标为(－，－).
(3)点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5).
【提示】如图2，图3，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N(－2，－3)或N′(0，－3).
如图4，当OB为对角线时，点N″的横坐标为2.
x＝2时，y＝4＋4－3＝5，
∴N″(2，5).
综上所述，满足条件的点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5).

6．(2021·山东泰安)若一次函数y＝－3x－3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A，B，C三点，如图1.
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧)，若BC恰好平分∠DBE，求直线BE的解析式．
(3)如图2，若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF.
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．

解：(1)由一次函数y＝－3x－3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，易知点A，C的坐标分别为(－1，0)，(0，－3).
将点A，B，C的坐标代入抛物线的解析式，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)如图①，设直线BE交y轴于点M.
由(1)易知，抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵CD∥x轴交抛物线于点D，
∴点D(2，－3).
由点B，C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，
∴∠MCB＝∠DCB＝45°.
∵BC恰好平分∠DBE，∴∠MBC＝∠DBC.
而BC＝BC，故△BCD≌△BCM(ASA)，
∴CM＝CD＝2，∴OM＝3－2＝1，
故点M(0，－1).
设直线BE的解析式为y＝kx＋n，将点M，B的坐标代入，
得解得
故直线BE的解析式为y＝x－1.

(3)如图②，过点P作PN∥x轴交BC于点N，
则△PFN∽△AFB，则＝.
∵S△BFP＝mS△BAF，
∴＝＝，解得m＝PN.
①当m＝时，PN＝2.
设点P(t，t2－2t－3).
由点B，C的坐标知，直线BC的解析式为y＝x－3.
当x＝t－2时，y＝t－5，故点N(t－2，t－5)，
故t－5＝t2－2t－3，解得t＝1或2，
故点P的坐标为(2，－3)或(1，－4).
②点N在直线BC上，由①知直线BC的解析式为y＝x－3，
∴当y＝t2－2t－3时，x＝t2－2t，
∴PN＝t－(t2－2t)＝－t2＋3t，
∴m＝PN＝(－t2＋3t)＝－＋.
∵－＜0，
∴当t＝时，m有最大值，为.
命题点3　二次函数的解析式的确定(纯代数问题)
7．(2021·北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c.
(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
解：(1)由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0.
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点M，N关于直线x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝t，当x1＋x2＝3，且y1＝y2时，对称轴为直线x＝，此时t＝，∴若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，则x1＋x2＞3≥2t，∴t≤.
8．(2021·湖南湘潭)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋5与x轴交于A，B两点．


(1)若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y最大≤15，求b的取值范围．
解：(1)①抛物线y＝－x2＋bx＋5的对称轴为直线x＝－＝.
∵过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
∴＝2，解得b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.
②存在．如图，若点P在x轴上方，点B关于直线OP的对称点B′在对称轴上，连接OB′，PB，BB′，

则OB′＝OB，PB′＝PB.
对于y＝－x2＋4x＋5，令y＝0，则－x2＋4x＋5＝0，
解得x1＝－1，x2＝5，
∴A(－1，0)，B(5，0)，∴OB′＝OB＝5，
∴CB′＝＝＝，
∴B′(2，).
设点P(2，m)，由PB′＝PB，得－m＝，解得m＝，
∴P.
同理，当点P在x轴下方时，有P.
综上所述，点P的坐标为或.
(2)∵抛物线y＝－x2＋bx＋5的对称轴为直线x＝－＝，
∴当b≥4时，x＝≥2.
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
即y最大＝－4＋2b＋5＝2b＋1，
∴3≤2b＋1≤15，
解得1≤b≤7.
又∵b≥4，∴4≤b≤7.

1．(2021·江苏淮安)二次函数y＝－x2－2x＋3的图象的顶点坐标为__(－1，4)__．
2．(2021·浙江杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8.(　C　)
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
3．(2021·四川南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3).若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(　A　)

A.≤a≤3 B．≤a≤1
C．≤a≤3 D．≤a≤1
4．(2021·贵州毕节)已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1＜x2，－1＜
x1＜0，则下列说法正确的是(　B　)

A．x1＋x2＜0 B．4＜x2＜5
C．b2－4ac＜0 D．ab＞0
5．(2021·四川遂宁)新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A，B两种花苗．据了解，若购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；若购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
(1)求A，B两种花苗的单价．
(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A，B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
解：(1)设A，B两种花苗的单价分别是x元和y元，
则解得
答：A，B两种花苗的单价分别是20元和30元．
(2)设购买B种花苗m盆，购买A种花苗为(12－m)盆，总费用为w元．
由题意，得w＝20(12－m)＋(30－m)m＝－m2＋10m＋240＝－(m－5)2＋265(0≤m≤12).
∵－1＜0，故w有最大值，当m＝5时，w的最大值为265；当m＝12时，w的最小值为216.
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
6．(2021·上海)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与x轴，y轴分别交于点A，B.抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A.

(1)求线段AB的长．
(2)如果抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的解析式．
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
解：(1)对于直线y＝－x＋5，令x＝0，得y＝5，∴B(0，5).
令y＝0，则－x＋5＝0，解得x＝10，
∴A(10，0)，∴AB＝＝5.
(2)设点C.
∵B(0，5)，∴BC＝＝|m|.
∵BC＝，∴|m|＝，∴m＝±2.
∵点C在线段AB上，∴m＝2，∴C(2，4).
将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)，
得∴
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x.
(3)∵点A(10，0)在抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)上，
∴100a＋10b＝0，∴b＝－10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2－10ax＝a(x－5)2－25a，
∴抛物线的顶点D的坐标为(5，－25a).
将x＝5代入y＝－x＋5，得y＝－×5＋5＝.
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜－25a＜，∴－＜a＜0.
7．(2021·河南模拟)如图，直线y＝x＋交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A，交y轴于点C(0，－).点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP.

(1)求抛物线的解析式．
(2)若以点P，A，D为顶点的三角形与△ABO相似，求点P的坐标．
(3)将△ABO绕点A旋转，当点O的对应点O′落到抛物线的对称轴上时，请直接写出点B的对应点B′的坐标．
解：(1)∵直线y＝x＋交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(－3，0)，B(0，).
∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A(－3，0)，C(0，－)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－.
(2)①当△ADP∽△AOB时，如图1，∠PAD＝∠BAO，此时点P为抛物线与x轴的交点．
令x2＋x－＝0得x1＝－3(舍去)，x2＝1，
∴点P的坐标为(1，0).

②当△PDA∽△AOB时，如图2，∠DAP＝∠OBA，
∴tan∠DAP＝tan∠OBA＝2.
过点B作BE⊥AB且使得BE＝2AB，连接AE，则点P必在直线AE与抛物线的交点上．作EF⊥y轴于点F.
∵∠EBF＋∠ABO＝∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠EBF＝∠BAO，
又∵∠EFB＝∠BOA，∴△BEF∽ABO，
∴EF＝2BO＝3，BF＝2AO＝6，
∴OF＝BF－BO＝，∴点E的坐标为(3，－).
设直线AE的解析式为y＝mx＋n，
则有解得
∴直线AE的解析式为y＝－x－.
联立方程组
解得或(舍去)
∴点P的坐标为(－，－).
综合①②，以点P，A，D为顶点的三角形与△ABO相似时，点P的坐标为(1，0)或(－，－).
(3)点B′的坐标为(－1＋，1－)或(－1－，1＋).
8．(2021·河南模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)的图象过原点O和点A(1，)，且与x轴交于点B，△AOB的面积为.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求点M的坐标；
(3)点F是x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，且PE＝，直接写出点E的坐标(写出符合条件的两个点即可).

解：(1)∵△AOB的面积为，
∴··OB＝，解得OB＝2，
∴B(－2，0).
把A(1，)，B(－2，0)代入y＝ax2＋bx，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，
设直线AB交直线x＝－1于点M，如图1，

∵MB＝MO，∴MO＋MA＝MB＋MA＝AB，
∴此时MO＋MA的值最小，△AOM的周长最小．
设直线AB的解析式为y＝kx＋m，
把B(－2，0)，A(1，)代入得，
解得
∴直线AB的解析式为y＝x＋，
当x＝－1时，y＝x＋＝，
此时点M的坐标为.
(3)如图2，设E，
则P，
∴PE＝
＝，

而PE＝，
∴＝，
解方程x2＋x－＝，
得x1＝，x2＝，
此时点E的坐标为或.
解方程x2＋x－＝－得x1＝0，x2＝－1，
此时点E的坐标为或.
综上所述，点E的坐标为或或或.