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    备考2022中考数学一轮专题复习学案14 一次函数的应用

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    备考2022中考数学一轮专题复习学案14 一次函数的应用

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    这是一份备考2022中考数学一轮专题复习学案14 一次函数的应用,共13页。

    中考命题说明
    思维导图
    知识点1: 一次函数解析式的确定
    知识点梳理
    1.确定一次函数解析式的方法:
    (1)依据题意中等量关系直接列出解析式;(2)待定系数法.
    2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
    确定一个正比例函数,需要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k.
    确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b.
    解这类问题的一般方法是待定系数法.
    (1)设出函数的一般形式.
    (2)根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组.
    (3)解方程或方程组求出待定系数的值.
    (4)将所求得的系数的值代入到一般形式中.
    3.确定正比例函数表达式,只需一对x与y的对应值(即已知正比例函数图象上的一个点即可);确定一次函数的表达式,只需要两对x与y的对应值(即已知一次函数图象上的两个点即可).
    典型例题
    【例1】(2019·柳州)己知A,B两地相距3千米,小黄从A地到B地,平均速度为4千米/小时,若用x表示行走的时间(小时),y表示余下的路程(千米),则y关于x的函数解析式是( )
    A. y=4x(x≥0) B. y=4x-3(x≥) C. y=3-4x(x≥0) D. y=3-4x(0≤x≤)
    【答案】 D.
    【分析】根据路程等于速度乘以时间可以算出小黄所走的路程,然后用两地的总路程减去小黄所走的路程即可得出余下的路程y与所用的时间x的函数关系式,然后根据总路程除以速度等于时间即可求出x的取值范围,从而得出答案.
    【解答】解:根据题意得:
    全程需要的时间为:3÷4= (小时),
    ∴y=3-4x(0≤x≤).
    故答案为:D.
    【例2】(2019·泸州)一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,4),B(-4,-6),求该一次函数的解析式.
    【答案】 D.
    【分析】将点A(1,4),B(-4,-6)代入y=kx+b中,列出关于k和b的二元一次方程组,解方程组即可.
    【解答】解:把点A(1,4),B(-4,-6)代入y=kx+b中,得:

    解得:,
    ∴一次函数解析式为:y=2x+2.
    知识点2: 一次函数的几何应用
    知识点梳理
    1.一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积:
    直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(,0),与y轴的交点坐标为(0,b);直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=·||·|b|=.
    典型例题
    【例3】(2019·沈阳)在平面直角坐标系中,直线y=kx+4(k≠0)交x轴于点A(8,0),交y轴于点B.
    (1)k的值是________;
    (2)点C是直线AB上的一个动点,点D和点E分别在x轴和y轴上.
    ①如图,点E为线段OB的中点,且四边形OCED是平行四边形时,求□OCED的周长;
    ②当CE平行于x轴,CD平行于y轴时,连接DE,若△CDE的面积为,请直接写出点C的坐标.
    【分析】(1)将点A的坐标代入直线y=kx+4(k≠0) 即可算出k的值,从而求出一次函数的解析式;(2) ① 根据直线与y轴交点的坐标特点,求出点B的坐标,从而得出OB的长度,根据中点的定义得出BE=OE=2,根据平行四边形的对边平行得出 CE∥DA, 根据平行线分线段成比例定理得出,所以点C是AB的中点, 进而根据三角形的中位线定理得出 CE=OA=4, 在Rt△DOE中 ,利用勾股定理算出DE长,从而根据平行四边形周长的计算方法即可算出答案; ② 根据点的坐标与图形的性质设出点C的坐标,然后根据三角形的面积计算方法,由 △CDE的面积为建立方程,求解即可得出x的值,从而求出点C的坐标.
    【解答】 (1)将A(8,0)代入y=kx+4,得:0=8k+4,
    解得:k=.
    (2)①由(1)可知直线AB的解析式为y=x+4.
    当x=0时,y=x+4=4,
    ∴点B的坐标为(0,4),
    ∴OB=4.
    ∵点E为OB的中点,
    ∴BE=OE=OB=2.
    ∵点A的坐标为(8,0),
    ∴OA=8.
    ∵四边形OCED是平行四边形,
    ∴CE∥DA,
    ∴ ,
    ∴BC=AC,
    ∴CE是△ABO的中位线,
    ∴CE=OA=4.
    ∵四边形OCED是平行四边形,
    ∴OD=CE=4,OC=DE.
    在Rt△DOE中,∠DOE=90°,OD=4,OE=2,
    ∴DE== 2,
    ∴C平行四边形OCED=2(OD+DE)=2(4+2)=8+4.
    ②设点C的坐标为(x,x+4),则CE=|x|,CD=|x+4|,
    ∴S△CDE=CD•CE=|x2+2x|=,
    ∴x2+8x+33=0或x2+8x﹣33=0.
    方程x2+8x+33=0无解;
    解方程x2+8x﹣33=0,得:x1=﹣3,x2=11,
    ∴点C的坐标为(﹣3,)或(11,).
    知识点3: 一次函数的实际应用
    知识点梳理
    1.一次函数应用问题的求解思路:
    建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答.
    利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用.
    2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤:
    (1)审题,设定实际问题中的变量,明确变量x和y;
    (2)根据等量关系,建立变量与变量之间的函数关系式,如:一次函数的函数关系式;
    (3)确定自变量x的取值范围,保证自变量具有实际意义;
    (4)利用函数的性质解决问题;
    (5)写出答案.
    3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:
    (1)观察图象,获取有效信息;
    (2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;
    (3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.
    【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
    典型例题
    【例4】(2019·河南省20/23)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元;购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.
    (1)求A,B两种奖品的单价;
    (2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
    【分析】(1)设A的单价为x元,B的单价为y元,根据题意列出方程组,即可求解;(2)设购买A奖品z个,则购买B奖品为(30﹣z)个,购买奖品的花费为W元,根据题意得到由题意可知,z≥(30﹣z),W=30z+15(30﹣z)=450+15z,根据一次函数的性质,即可求解;
    【解答】解:(1)设A的单价为x元,B的单价为y元,
    根据题意,得

    ∴,
    ∴A的单价30元,B的单价15元;
    (2)设购买A奖品z个,则购买B奖品为(30﹣z)个,购买奖品的花费为W元,
    由题意可知,z≥(30﹣z),
    ∴z≥,
    W=30z+15(30﹣z)=450+15z,
    当z=8时,W有最小值为570元,
    即购买A奖品8个,购买B奖品22个,花费最少.
    巩固训练
    1.(2019·杭州)某函数满足当自变量x=1时,函数值y=0;当自变量x=0时,函数值y=1.写出一个满足条件的函数表达式________.
    2.(2019·江西)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(,0) , (,1) ,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.
    (1)求点C的坐标;
    (2)求线段BC所在直线的解析式.
    3.(2019·天津)甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x千克(x>0).
    (1)根据题意填表:
    (2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费y2元,分别求y1,y2关于x的函数解析式;
    (3)根据题意填空:
    ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 千克;
    ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120千克,则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少;
    ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多.
    4.(2019·河北)长为300 m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图11-5①和图②,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进,设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m).
    (1)当v=2时,解答:
    ①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围);
    ②当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围).
    (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.
    5.(2019·恩施)某县有A、B两个大型蔬菜基地,共有蔬菜700吨.若将A基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与B基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从A、B两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表:
    (1)求A、B两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨?
    (2)现甲市需要蔬菜260吨,乙市需要蔬菜440吨.设从A基地运送m吨蔬菜到甲市,请问怎样调运可使总运费最少?
    6.(2019·深圳)有A,B两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A发电厂比B发电厂多发40度电,A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电.
    (1)求焚烧1吨垃圾,A和B各发电多少?
    (2)A,B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾,A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍,求A厂和B厂总发电量最大为多少度?
    7.(2019·雅安)某超市计划购进甲、乙两种商品,两种商品的进价、售价如下表:
    若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.
    (1)求甲、乙两种商品的进价是多少元?
    (2)若超市销售甲、乙两种商品共50件,其中销售甲种商品为a件(a≥30),设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元,求w与a之间的函数关系式,并求出w的最小值.
    8.(2019·内江)某商店准备购进A,B两种商品,A种商品毎件的进价比B种商品每件的进价多20元,用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.
    (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元?
    (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A,B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?
    (3)端午节期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠m(10700,∴在乙批发店购买花费少.
    ③当y1=360时,x=60;当y2=360时,x=52.
    ∵60>52,
    ∴在甲批发店购买数量多.
    4.【答案】解:(1)①排头走的路程为2t,则S头=2t+300.
    ②甲从排尾赶到排头时,有4t=2t+300.
    解得t=150.
    此时,S头=2×150+300=600(米).
    S甲=600-4(t-150)=-4t+1200.
    (2)设甲从排尾赶到排头用时为t1,
    则2vt1=vt1+300,∴t1=.
    设甲从排头返回到排尾用时为t2,
    则t2=,
    ∴T=t1+t2=.
    ∴队伍行进的路程是T·v=·v=400(m).
    5.【答案】 (1)解:设A、B两基地的蔬菜总量分别为x吨、y 吨.
    根据题意得:,
    解得: ,
    答:A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨.
    (2)解:由题可知: ,
    ∴ 0≤m≤260
    ∵W=20m+25(300-m)+15(260-m)+24[400-(260-m)]
    =4m+14760 .
    ∵4>0,
    ∴W随m的增大而增大,
    ∴ Wmin=14760.
    答:当A基地运300吨到乙市,B基地运260吨到甲市,B基地运140吨到乙市时,总运费最少为14760元.
    6.【答案】 (1)解:设焚烧1吨垃圾,A发电x度,B发电y度.
    由题意得,解得.
    答:焚烧1吨垃圾A和B各发电300度与260度.
    (2)解:设A发电厂焚烧a吨垃圾,则B发电厂焚烧(90-a)吨垃圾,总发电量为W度.
    由题意得:a≤2(90-a)
    ∴a≤60
    W=300a+260(90-a)
    =40a+23400
    ∵40>0
    ∴W随a的增大而增大
    ∴当a=60时,Wmax=25800
    答:A厂和B厂总发电量最大为25800度.
    7.【答案】 (1)解:依题意可得方程:,
    解得x=60,
    经检验x=60是方程的根,
    ∴ x+60=120元,
    答:甲、乙两种商品的进价分别是120元,60元.
    (2)解:∵销售甲种商品为a件(a≥30),
    ∴销售乙种商品为(50-a)件,
    根据题意得:w=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40a+2000(a≥30),
    ∵ 40>0,
    ∴w的值随a值的增大而增大,
    ∴当a=30时,w最小值=40×30+2000=3200(元).
    8.【答案】 (1)解:设A种商品每件的进价是x元,则B种商品每件的进价是(x-20)元,
    由题意得:,
    解得:x=50,
    经检验,x=50是原方程的解,且正确,
    50-20=30,
    答:A种商品每件的进价是50元,B种商品每件的进价是30元
    (2)解:设购买A种商品a件,则购买B商品(40-a)件,
    由题意得: ,
    解得:≤a≤18,
    ∵a为正整数,
    ∴a=14、15、16、17、18,
    ∴商店共有5种进货方案;
    (3)解:设销售A,B两种商品共获利y元,
    由题意得:y=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)
    =(15-m)a+600,
    ①当10

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