第13讲 函数模型及其应用 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第13讲   函数模型及其应用

思维导图

知识梳理

1．几种常见的函数模型

2.三种函数模型性质比较

题型归纳

题型1    用函数图象刻画变化过程

【例1-1】（2020•徐汇区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天的关系如图所示，则一定有　　

A．比节能效果好 

B．的用电量在，上的平均变化率比的用电量在，上的平均变化率大 

C．两学校节能效果一样好 

D．与自节能以来用电量总是一样大

【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是　　

A． B． 

C． D．

【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务．已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是　　

A． B． 

C． D．

【名师指导】

判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

题型2    应用所给函数模型解决实际问题

【例2-1】（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　

A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天

【例2-2】（2020•新课标Ⅲ）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　

A．60 B．63 C．66 D．69

【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为　　

A． B．0.3 C． D．

【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保鲜时间是　 　．

【名师指导】

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

题型3    构建函数模型解决实际问题

【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为万件时利润为万元，当时，年利润为，当时，年利润为．

（1）若公司生产量在且年利润不低于400万时，求生产量的范围；

（2）求公司年利润的最大值．

【例3-2】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．

【例3-4】（2019秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x（ 百个），需另投人成本C（x）（万元），且，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．

（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）

（2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．

【跟踪训练3-1】（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足．其中星等为，星的亮度为．

（1）若，则　　；

（2）若太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　．

【跟踪训练3-2】（2019秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表：

根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（　　）

A．16.5 B．19.5 C．21.5 D．22

【跟踪训练3-3】（2019秋•临沂期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p（t）与发车时间间隔t满足：其中t∈N．

（1）求p（5），并说明p（5）的实际意义；

（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．

【名师指导】

建模解决实际问题的三个步骤