第11讲 函数的图象 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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知识梳理
1．利用描点法作函数的图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留x轴及上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留y轴及右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
eq \f(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)→y＝f(ax)．
②y＝f(x)
eq \f(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变,0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变)→y＝af(x)．
题型归纳
题型1 作函数的图象
【例1-1】（2019秋•海淀区校级期中）已知函数．
（Ⅰ）画出函数的图象；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）直接写出的值域．
【跟踪训练1-1】（2019秋•石河子校级月考）已知函数．
（1）作出函数的图象；
（2）由图象写出函数的单调区间．
【名师指导】
作函数图象的两种常用方法
1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型2 函数图象的识辨
【例2-1】（2020•天津）函数的图象大致为
A． B．
C． D．
【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为
A． B．
C． D．
【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角的始边与的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为点，的面积为，则函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数在，的图象大致为
A．B．
C．D．
【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是
A．B．
C．D．
【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点在以为直径的半圆弧上，点沿着运动，记．将点到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为
A．B．
C．D．
【名师指导】
识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
题型3 函数图象的应用
【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数的图象
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于直线对称D．关于原点对称
【例3-2】（2019秋•琼海校级月考）已知定义在上的偶函数部分图象如图所示，那么不等式的解集为 ．
【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数其中表示不超过的最大整数，如：，，．若直线与函数的图象恰好有三个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
【跟踪训练3-1】（2019秋•大同期末）函数，若函数的图象与函数的图象有公共点，则的取值范围是 ．
【跟踪训练3-2】（2019•嘉定区一模）已知函数和的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【名师指导】
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．