第15讲 导数的应用——导数与函数的单调性 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第15讲  导数的应用——导数与函数的单调性

思维导图

知识梳理

函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

题型归纳

题型1    证明（判断）函数的单调性

【例1-1】（2019春•合肥期中）已知函数，讨论函数的单调性．

【跟踪训练1-1】（2020春•吉林期末）函数在区间上　　

A．单调递减 

B．单调递增 

C．上单调递增，上单调递减 

D．上单调递减，上单调递增

【跟踪训练1-2】（2019秋•南充期末）试证明函数在上是减函数．

【名师指导】

讨论函数f(x)单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；

(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．

题型2    求函数的单调区间

【例2-1】（2020春•克什克腾旗校级月考）函数的单调递增区间为　　

A． B． C． D．

【例2-2】（2020春•和平区校级月考）求函数的单调区间．

【跟踪训练2-1】（2020春•工农区校级期末）函数的单调递增区间为　　

A． B． C． D．

【跟踪训练2-2】（2019秋•启东市期中）确定函数，的单调区间．

【名师指导】

利用导数求函数单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．

(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．

(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

题型3    函数单调性的简单应用——比较大小或解不等式

【例3-1】（2020•海东市模拟）已知，则　　

A． B． C． D．

【例3-2】（2020春•沈阳期末）是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【跟踪训练3-1】（2020春•海淀区校级期末）对于定义在上可导的任意函数，若满足，则必有　　

A．（a） B． （a） C．（a） D．（a）

【跟踪训练3-2】（2020春•南充期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且（2），则不等式的解集为　　

A．， B．， C． D．

【跟踪训练3-3】（2020春•玉林期末）已知函数的定义域为，且，则不等式的解集为　　

A．， B．， C． D．

【名师指导】

一般地，在不等式中如同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的积或商的新函数来求解，再借助导数考查新函数的性质，继而获得解答．如本题已知条件“2f(x)＋xf′(x)>0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．

题型4    函数单调性的简单应用——根据函数单调性求参数

【例4-1】（2020春•利通区校级期末）若函数在，上为增函数，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【例4-2】（2020春•五华区校级期末）已知函数，若存在，使，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【例4-3】（2020春•肥城市期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是　     　；若函数在区间内不单调，则的取值范围是　      　．

【跟踪训练4-1】（2020春•烟台期末）若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为　　

A．或 B． C． D．

【跟踪训练4-2】（2020春•潍坊期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是　　            ．

【跟踪训练4-3】（2020•莆田二模）已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为　　       ．

【名师指导】

已知函数单调性求参数范围

(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；

(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；

(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；

(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．